STX 3.g
Studieretningsprojekt – Matematik A og Historie A
STX 3.g
STX 3.g
Side 2 af 34
Abstract:
This project investigates how the society of the Old Kingdom of Egypt was structured and
how the old Egyptians used mathematics in the process of building the great Pyramids.
During the Old Kingdom the Pyramids in Giza were build, and we still do not know how it
was possible to build such monuments.
In this project, the Egyptian system of arithmetical notation and methods of calculations will
be approached. Also, modern solid geometry will be used to calculate angles of a pyramid. To
explain their mathematical knowledge and need for religious structures such as Pyramids, a
review of the society in ancient Egypt with special view on the Kings political and religious
position will be made, including an analysis of Herodotus’ writing on the building of the
pyramids. Finally, a discussion of different theories on how the Pyramids were build, with
both new and old theories will be made.
In summary, it is clear that the mathematics had a big influence on the society in the Old
Kingdom. By putting the subject under a historical and mathematical perspective, the
conclusion is that the Egyptians very well could have constructed the pyramids. The
civilization had all the means to construct and maintain a highly developed culture.
Side 3 af 34
Indholdsfortegnelse
Abstract: ............................................................................................................................................................. 2
Indledning: .......................................................................................................................................................... 5
Hieroglyffer og hierarkisk skrift : ........................................................................................................................ 6
Det ægyptiske talsystem samt regnemetoderne: .............................................................................................. 7
Addition og subtraktion: ................................................................................................................................ 7
Multiplikation : ............................................................................................................................................... 8
Division : ......................................................................................................................................................... 8
Brøker : ......................................................................................................................................................... 10
De røde hjælpetal: ........................................................................................................................................ 10
- tabellen ............................................................................................................................................... 11
- reglen : .................................................................................................................................................. 12
Ægyptiske ligninger : ........................................................................................................................................ 13
Matematikkens anvendelse i forbindelse med pyramiderne: ......................................................................... 14
Rumfang af pyramidestub : ......................................................................................................................... 15
Forklaring af PM14 : ................................................................................................................................. 17
Moderne beregning af vinklerne i Cheopspyramiden :................................................................................ 18
Det Gamle Riges samfundsstruktur : ................................................................................................................ 20
Socialklasser og politik i det feudale samfund: ............................................................................................ 20
Økonomi og handel: ..................................................................................................................................... 21
Konges guddommelighed: ............................................................................................................................ 22
Religion: ........................................................................................................................................................ 22
Var det et sakralt kongedømme? ............................................................................................................. 23
Herodots skildringer af Det Gamle Ægypten samt pyramiderne : ................................................................... 24
Herodots troværdighed: ............................................................................................................................... 26
En Diskussion af udvalgte pyramide teorier: .................................................................................................... 27
Bent Heick Hansen: ”Om at bygge pyramider på snor”: .............................................................................. 27
Hubert Paulsen - er der et skjult gravkammer under Cheopspyramiden? .................................................. 28
Diskussion af Hubert Paulsen og Bent Heick Hansen: .............................................................................. 28
Rampeteorier: .............................................................................................................................................. 30
Jean-Pierre Houdin: ”Pyramiderne blev bygget indefra”. ............................................................................ 30
Konklusion: ....................................................................................................................................................... 31
Litteraturliste: ................................................................................................................................................... 33
Bilag 1, fra Jesper Frandsens:”Ægyptisk Matematik” side 31: ......................................................................... 34
Side 4 af 34
Bilag 2, fra ”Regn med en skriver” af Jens Lund, side 25 ................................................................................. 34
Bilag 3: .............................................................................................................................................................. 34
Bilag 4, fra bogen ”Pyramider og pionere”, side 74: ........................................................................................ 34
Bilag 5, fra ”Pyramider og pionerer” side 75:................................................................................................... 34
Bilag 6, fra ”Pyramider og pionererne” side 77: .............................................................................................. 34
Bilag 7, fra ”Pyramider og pionerer” side 91:................................................................................................... 34
Side 5 af 34
Indledning:
Pyramiderne står i dag i den varme ørken i Egypten, som de gjorde det for 4000 år siden. Vi
beundrer dem som kunstværker, og vores matematiske viden har endnu ikke gjort os i stand til
en entydig teori af bygningen af disse monumenter. Teorierne kommer i en stadig strøm,
hvoraf nogle endda påstår at rumvæsner har bygget disse kolosser. Men måske er det ikke så
besværligt endda. Måske har egypterne bare været så geniale, at de kunne konstruere
bygningsværkerne ved hjælp af matematisk kunnen og simple ramper.
Men hvad ved vi egentlig om egypternes matematiske kunnen? Dette vil min SRP belyse ved
at redegøre for det egyptiske talsystem samt mulige regnemetoder, med eksempler på
ligningsløsning, ud fra fundne papyri. Derefter vises, at moderne rumgeometriske metoder
kan bruges til løsning af problemer omkring pyramiderne, heriblandt vinkelberegning.
Herefter tages et kig på den samfundsmæssige struktur, da denne gjorde den matematiske
udvikling muligt. Dette fører til en stillingtagen til, om Det Gamle Rige var et sakralt
kongedømme, som herefter går over i en vurdering af Herodots fremstilling af
pyramidebygningen. Afslutningsvis opstilles en diskussion af udvalgte teorier om, hvordan
pyramiderne, med henblik på Cheopspyrmiden, blev bygget.
Omfanget af opgaven er på ca. 21 normalsider, eks. indholdsfortegnelse, litteraturliste, bilag
osv.
Side 6 af 34
Hieroglyffer og hierarkisk skrift
1
2
:
Hieroglyfferne var det oprindelige ægyptiske skriftsystem og består af ca. 800 tegn.
Hieroglyfferne forestiller legemsdele, dyr, fugle, redskaber osv., og de kan både optræde som
ideogrammer (billedtegn) eller fonogrammer (lydtegn). Dog var det kun konsonanterne, der
blev nedskrevet, hvilket har gjort det svært at kortlægge, hvordan der har lydt. De eneste, der
beherskede skriftsproget, var præsterne og skriverne, der havde en samfundsmæssig
nøglestilling
3
, og hieroglyfferne blev set som guds ord, indeholdende magisk kraft.
Læseretningen for hieroglyffer samt senere hierarkisk skrift er fra højre mod venstre,
medmindre andet har været foretrukket, da læseretning også kan afgøres ved at se på
figurernes synsretning. I 1822 lykkedes det franskmanden Jean-Francois Champollion at tyde
hieroglyfferne for første gang. Hieroglyfferne befandt sig på Rosettastenen, der er delt i tre
afsnit, hvoraf det øverste er hieroglyffer, midten er demotisk skrift, derefter ægyptisk
kursivskrift, og nederst græsk skrift
4
. Succes skyldes to navne, Ptolemæus og Kleopatra, som
var nøglerne til Champollions løsning, da det var muligt at læse græsk og dermed oversætte
Egyptisk.
Hieroglyfferne havde også en matematisk betydning, og lige som os havde det ægypternes
talsystem ti som basis. Eksempelvis betyder én streg 1 og to streger 2 osv. Tal i 10-tabellen op
til 90 skrives med en stående bøjle, 100-tabellen til 900 beskrives med et sammenrullet reb
osv. Dette ses på illustrationerne
5
:
= 2302
Figuren viser også hierarkisk skrift, hvilket man begyndte at bruge omkring år 2400 f.Kr.
Tegnene blev mere afrundede og forenklede
6
og er en slags kursivskrift af hieroglyfferne.
Både Papyrus Rhind og Papyrus Moskva er nedskrevet i denne skriftart, hvor der findes
1
Baseret på Jesper Frandsens (JF)”Ægyptisk matematik” side 14-18.
2
Baseret på Jens Lunds (JL) ”Regn med en skriver” side 13-21.
3
Per Andersen ”Cheops, pi og talmanipulation” side 10.
4
http://www.freemaninstitute.com/rosettastone.htm .
5
Figur fra ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen, samt http://www.virtual-
egypt.com/framed/framed.cgi?url==http://www.jimloy.com/egypt/numbers.htm.
6
Per Andersen ”Cheops, pi og talmanipulation” side 10.
Side 7 af 34
symboler for hvert tal. Der er desuden specielle symboler for fire hierarkiske brøker, måske
pga. oftere brug end andre:
Alle brøker var stambrøker, undtagen
, hvilket betyder, at tælleren havde tallet 1 som fx
,
,
osv. Ved Hieroglyffer skrev man ved
, en over symbolet for 10. I hierarkisk
skrift viste man, at det var en brøk ved hjælp af en prik. For nemheds skyld vil brøkerne blive
beskrevet, som ægypterne gjorde det, hvor brøken
skrives som , fx
=
osv., hvor den
eneste ikke-stambrøk
, skrives med to streger over 3 =
Brøkerne vil beskrives grundigere
senere i opgaven sammen med de fire kendte regnearter samt en kort beskrivelse af de røde
tal,
- tabellen og
-tabellen.
Det ægyptiske talsystem samt regnemetoderne:
Addition og subtraktion
7
:
De matematiske papyri har ikke været nummererede, og PR79 beskriver en addition,(se bilag
2). Tallene er både skrevet med hierarkisk skrift og hieroglyffer for i højre spalte at være
oversat til arabiske tal. Læseretning mht. tal er ikke så vigtig, da det er tallenes størrelse, det
kommer an på.
Der er følgende sammenhæng mellem addition og subtraktion, som vi også kender fra i dag:
Ægypterne har derved under addition stillet spørgsmålet ”Hvad skal jeg addere til b for at få
a”. Det kaldes også at komplettere (at gøre noget komplet). Nedenfor vises et additionsstykke:
7
JF ”Ægyptisk Matematik” side 19 – 22.
Side 8 af 34
Havde vores regnestykke haft fx 10 bøjler, ville de have overgået til at blive til et reb. Det
samme ville være tilfældet for andre overgange for at lette nedskrivningsarbejdet.
Ved subtraktion har ægypterne ved beregningen a – b stillet spørgsmålet ”hvad skal jeg
addere til b for at få a”. De papyri, der er blevet fundet har meget få fejl, hvilket gør det
åbenlyst, at det ikke har voldt ægypterne problemer. Skriverne kan have haft additionstabeller
til hjælp, udført beregninger andre steder, eller også har skriverne kunnet dem udenad.
Multiplikation
8
:
Multiplikation bygger på addition, fx 3*5 = 3+3+3+3+3=15. Ægypternes metode så således
ud:
Ægypterne:
Forklaring:
/1 3
1 * 3 = 3
I venstre kolonne startede man altid med 1.
2 6
2 * 3 = 6
Man fordobler begge kolonner.
/4 9
4 * 3 = 12
Man fordobler igen begge kolonner, og vi bliver nu
nødt til at stoppe, da det næste tal ville være 8, der er
større end 5.
De tal, der er markeret med en skrå streg, viser, at de tal lagt sammen giver 5. For så at finde
resultatet bruger vi addition 3 + 9 = 15, da 3 * 5 = (1 + 4) *5 = (1 * 5) +(4 * 5) = 3 +12 = 15.
Metoden bygger på, at man i venstre søjle finder de tal, der giver den første faktor, i dette
tilfælde 5. Tallene i venstre søjle er 1, 2, 4, 8, 16 osv., og vi kan i dag bekræfte, at det altid er
muligt at finde tal, der kan skrives i 2-talssystemet, hvilket ægypterne garanteret også har
antaget, dog ubevidst.
Ægypterne udnyttede, at faktorernes orden var ligegyldig og ombyttede derfor multiplikand
og multiplikator, hvis dette kunne lette udregningen. Desuden har ægypterne nogle gange haft
overblik til at fravige fra fordoblingsteknikken ved at indskyde fx en 10-dobling. Dette ville
gøre det nemmere at regne fx 25 * 30 ud.
Division
9
:
Ægypterne byggede division på multiplikation. Det var den sværeste regneform for de gamle
ægyptere, ligesom den også i dag er den regneform, der volder folk problemer. Dette betyder,
at de i stedet for at sige 98 divideret med 7 sagde ”regn med 7 for at få 98”, der betyder,” hvad
8
JL ”Regn med en skriver” side 26-27, og JF ”Ægyptisk Matematik” side 20-22.
Side 9 af 34
skal man gange 7 med for at få 98?” Der er derfor følgende sammenhæng mellem
multiplikation og division:
De udførte det som vi i dag kender som divisionsprøven. Division minder dermed meget om
multiplikation, dog skal man her holde øje med den højre søjle. Fordoblingsresultatet må ikke
være større end slutsummen 98, og man lægger højre søjle sammen, til man finder det
resultat:
Ægypterne:
Forklaring
1 7
1 * 7 = 7
/2 14
2 * 7 = 14
/4 28
2 * 14 = 28
/8 56
2 * 28 = 56.
I alt 14.
I alt 98.
Man stopper ved 56, da det næste tal ville være 112 (2 * 56), der ville være større end 98. Vi
kan se, at 56 + 28 + 14 = 98 og derfor må 2 + 4 + 8 = 14 være det rigtige resultat.
Dog kan man ikke altid være så heldig, at tallene går op, og derfor må der andre metoder til.
Her vil forklare PR25, der omhandler division, der ikke går op. Den beskæftiger sig både med
stambrøker og ikke-stambrøken
hvor divisionen af
skal udføres. PR25 udføres vha.
-
følgen her:
Ægyptisk måde
Forklaring
/1 3
1 * 3 = 3
2 6
2 * 3 = 6
/4 12
Den sidste fordobling: 2 * 6 = 12
2
Division af det første tal:
9
JL ”Regn med en skriver” side 27-29, og JF ”Ægyptisk Matematik” side 23-24.
Side 10 af 34
/
1
Halvering af tallet før: 2/2 = 1
I alt 5
3 + 12 +1 = 16. Dette svarer til 1 + 4 +
Desuden brugte skriverne også genveje, når de opdagede, at tallene gav mulighed for det.
Dette kan ses i PR21, division af
. For at se forklaring se bilag 3.
Brøker
10
:
Som allerede nævnt, brugte ægypterne kun stambrøker og
. Det er besværligt at regne med
brøker, da 1) ikke-stambrøker skulle skrives som en sum af indbyrdes forskellige stambrøker
og
2) de havde ikke positionssystem og decimalbrøker og 3) mange af symbolerne var
hierarkisk skrift. Et egyptisk brøkregnestykke kunne være 25 * (
):
/1
Vi vil gerne have venstre søjle til at give en sum på 12, og derfor
fordobler vi brøkerne, indtil dette opnås.
2
Kolonne 1 og 2 fordobles. Ægypterne vidste, at
og
4
Her har ægypterne været så smarte at lave en 2/n-tabel, og den
slog de op i for at finde ud af at
/8
/16
Vi lægger de tal i den venstre kolonne sammen for at få 25,
hvilket er 16 + 8+1 = 25.
Tallene i den midterste kolonne lægges sammen:
.
De røde hjælpetal
11
:
Nogle af tallene i PR er skrevet med rødt, der kaldes de røde hjælpetal, og de har en afgørende
betydning. Deres betydning står ikke formuleret i kilderne, men man er i almindelighed enige
om deres anvendelse. De røde hjælpetal bruges til at ”hjælpe” ægypterne ved at sætte brøker
på fælles brøkstreg, som vi kender det. Man finder derfor den højeste nævner og ganger de
resterende brøker op. De røde hjælpetal er markeret med rødt, som det ses i PR21:
10
JF ”Ægyptisk Matematik” side 25 – 29.
11
JF ”Ægyptisk Matematik” side 26-27
Side 11 af 34
Hvis vi skal kontrollere dette, sætter vi som sagt på fælles brøkstreg:
Der skiftes enhed, hvilket betyder, at en sort enhed svarer til 15 røde enheder. Hvad der er
endnu mere spændende er, eksemplet i PR7, hvor ægypterne multiplicerede
med
.
Ægyptisk
udregning
Forklaring
Røde tal
1
Det er en trinvis halvering, og de
sættes på fælles brøkstreg, her 28.
7 1
Vi halverer.
Vi halverer igen.
I alt
Vores resultat bliver:
Til sammen bliver de røde tal:
Ægypterne har indset i dette tilfælde, at de har skiftet enheder fra alen til fingre, da 1 alen er
28 fingre, som har gjort det nemmere for dem at regne netop dette problem ud.
- tabellen
12
Selve tabellen er vedhæftet som bilag 1. Denne tabel er en af ægypternes vigtigste redskaber
til at regne med brøker. Brøkerne skal være ulige, da en lige brøk som
blev til
. Derfor
består 2/n-tabellen af n-tallene 3-101 for hurtigt at finde ud at fx
=
. Selve
opløsningerne ser lidt tilfældige ud, men nogle regler, der kan stilles op, er bl.a., at 1) jo færre
stambrøker, der opstår, jo bedre, 2) at der ikke er nogen opløsninger, der består af mere end 4
stambrøker, 3) der foretrækkes lige nævnere frem for ulige, også selv om der kommer større
nævnere og evt. flere led.
12
JF ”Ægyptisk Matematik” side 30-32.
Side 12 af 34
Eksempel på en division af
:
Ægyptisk udregning
Forklaring
1
= 1.
2
.
4
.
. Resultatet fra før
halveres.
I alt =
- reglen
13
:
- reglen er det nærmeste ægypterne kommer på en moderne matematisk sætning. PR61B
giver an anvisning på, hvordan man bestemmer
af en stambrøk med ulige nævner:
PR61B
Hvordan man bestemmer
af en ulige brøk. Hvis det siges til dig, hvad er
af
? Så skal du
gange med
; det er
af det. Gør det samme med alle ulige brøker.
Det PR61B siger, er, at hvis vi skal bestemme
af
, kan det se således ud:
af
af
Derfor kan vi opstille denne formel, hvor m både kan være lige og ulige tal:
Efter at have gennemgået alle disse regnemetoder, kan vi se, at ægypterne har haft et ret
avanceret matematisk system, da de skulle have styr på flere måder at regne bl.a.
divisionsstykker ud på. Dertil kan lægges, at andre kilder tillægger skriverne en plads som
højtstående i hierarkiet.
13
JF ”Ægyptisk Matematik” side 37.
Side 13 af 34
Ægyptiske ligninger
14
:
Det er i dag nemt at løse ligninger som a)
. Vi har lavet os et symbolsprog og
nogle regneregler, der følges af alle. I det gamle Ægypten skrev man det som
”Det hele plus syvendedelen af 7 er 19”.
Denne formulering af opgaver blev brugt helt frem til 1500-tallet, før de blev erstattet af
taludtryk. Man var i Ægypten i stand til at løse opgaver som eksempel a omkring år 1800
f.Kr.
Selve princippet er, at man indsætter en tilfældig værdi og regner ud, hvad der kommer ud af
det. Her har vi syvendedele, så kan man vælge at indsætte 7. Udregningen vises i opgave a.
a)
. Ligningen findes i det berømte papyrus, PR, der er nedskrevet ca. 1650
f.Kr.
Ligningen hedder: ”Det hele plus syvendedelen af 7 er 19”.
1 gange 7 er 8
/
gange 7 er 2
/ 2 gange 7 er 16
/
gange 7 er 1
gange 7 er 4
Da 16 +2+1= 19. Dvs. at (2+
) * 7 er løsningen.
b)
Ligningen hedder: ”Det hele plus tredjedelen deraf er 29”.
1 gange 3 er 4
4 gange 3 er 16
2 gange 3 er 8
5 gange 3 er 20
gange 3 er 2
6 gange 3 er 24
gange 3 er 1
/7 gange 3 er 28
3 gange 3 er 12
Da 28 +1 = 29. Dvs. at
er løsningen.
14
Kopisider fra ”Matematik Grundbog 1” af Klaus Holth m. fl.
Side 14 af 34
c)
Ligningen hedder: ”Tre gange det hele plus tredjedelen deraf er 13”. Denne er lidt
sværere end de foregående og derfor følger en forklaring:
3 3
3
Det antages at 3 er løsning. Derfor er 3* 3 og * 3 = 10.
Den rigtige løsning er derfor
gange større.
Altså bliver
Den rigtige x-værdi vil være
.
1
2
x-værdien beregnes her ud fra
fordobling.
I alt:
=
Løsningen er altså
Denne ligning er sværere, da der skal bruges
og grund til mulige
problemer.
Matematikkens anvendelse i forbindelse med pyramiderne:
Pyramiderne ved Giza, blev opført under Det Gamle Rige, og dermed kan de ældste
pyramider dateres helt tilbage til 2700 f.Kr.(Djosers trinpyramide)
15
. Under pyramidernes
opførelse mener man, at de gamle ægyptere har gjort brug af matematik, selv om de første
dateringer herom først er bestemt til omkring år 1780 f.Kr.
16
, efter pyramiderne blev bygget.
Uden matematikken har det været umuligt at udføre pyramiderne så præcist, bl.a. med den
kvadratiske grundflade og hældningen. Desuden har man ud fra kilder, der er blevet dateret
over en lang periode, grund til at tro, at matematikken ikke ændrede sig synderligt fra
pyramidebyggeriets storhedstid til PR og PMs nedskreven. Matematikken holdt sig næsten
helt uforanderlige, og det menes, at PR er en afskrift af en papyrus fra omkring år
f.Kr.
17
Matematikken har altså haft en stor betydning i forbindelse med bygningen af pyramiderne.
Ægypterne kendte til metoder - at beregne pyramidens hældningsvinkel, rumfang og en
pyramidestubs rumfang. Nogle matematiske tekster viser faktisk, at ægypterne kendte til en
15
http://da.wikipedia.org/wiki/Det_gamle_Egypten
16
Per Andersen ”Cheops, pi og talmanipulation” side 14.
17
Per Andersen ”Cheops, pi og talmanipulation” side 15.
Side 15 af 34
værdi for pi, som ligger utrolig tæt på den rigtige værdi fx Cheops-pyramidens base ved
jorden, divideret med højden * 2, giver en tilnærmelsesvis værdi af pi. Desuden underbygger
oplysninger fra Herodot, at Cheops-pyramiden er bygget, sådan at arealet af hver side er det
samme som kvadratet på højden, der så giver pi-forholdet
18
. Jeg vil nu give mig i kast med
nogle teorier for beregningen af rumfanget af en pyramidestub, da det ikke står oplyst,
hvordan ægypterne beregnede dette. Rumfanget kunne give en ide om hvor mange sten, der
skal bruges til pyramiden.
Rumfang af pyramidestub
19
20
:
Den vigtigste opgave i Papyrus Moskva, PM14, beskriver hvordan rumfanget af en
pyramidestub beregnes. Det har været ganske nyttigt at kende en pyramides rumfang, da der
ellers kun ville have været gisninger omkring antallet af stenblokke, der skulle bruges til
opførslen. Dog kender vi ikke til ægypternes fremgangsmåde, men der findes derimod en hel
del teorier som eksperter har udfor-met. Der ses på et par af teorierne, hvor de fleste kommer
frem til
.
Teori 1:
Terningen på figur 2 kan, som vist, inddeles i tre pyramider, der har toppunkt i T. En hel
sideflade vil derfor også være pyramidens bund samt højde. Figur 3 viser pyramiderne rykket
fra hinanden.
Rumfanget af et kvadrat bestemmes som højde *
bredde * dybde. Hvis vi betegner én pyramides
siderne som a, så bliver rumfanget:
.
Da der er tale om tre pyramider vil hver enkelt pyramide have en tredjedel af rumfanget:
Det sidste udtryk kan også formuleres sådan:
18
Per Andersen ”Cheops, pi og talmanipulationer” side 35-36.
19
JF ”Ægyptisk Matematik” side 75- 79, samt JL ”Regn med en skriver side 68 – 69.
20
Figurer brugt i følgende afsnit er taget fra JF ”Ægyptisk Matematik” side 76-79.
Side 16 af 34
En anden teori deler kvadratet i 6 dele, hvor samme grundligning fremkommer.
Teori 2:
På figuren ses, at højden er det halve af siden i grundfladens kvadrat. Vi har i dette tilfælde
fire pyramider, hvoraf den ene er fremhævet. Da vi
har fire får vi:
Dette opfylder igen udtrykket:
Teori 3:
Hvis vi denne gang forudsætter at rumfanget af pyramiden er en kendt størrelse, kan vi
beregne rumfanget af pyramidestubben. Ud fra figuren herunder, fremgår målene, og vi kan
se at:
Og ved indsættelse af bogstaverne får vi:
I PM14 fremgår det, at a=2 og b=4, og dermed er m = h (betegnes nu bare h):
Side 17 af 34
Da vi tidligere bestemte værdierne for a og b, ved vi også at b-a= a og 2a = b. Dette medfører:
Vi kan bekræfte denne formel ved den moderne formel for beregning af en pyramidestub,
ifølge Lars Pedersens ”Matematik 112”, hvor G og g er grundfalderne og h = højden:
Ved at omskrive formlen, så G = b
2
og g = a
2
, kan vi bestemme ægypternes formel:
Forklaring af PM14
21
:
Beskrivelse af, hvordan selve teksten til PM14 skal forståes:
1
Metode til beregning af en pyramidestub. Hvis det siges til dig,
2
At en pyramidestub med højden 6 alen,
3
Den nederste side er 4 alen og den øverste 2.
4
Regn med de 4, kvadreret. Resultat 16.
5
Fordobl du de 4. Resultat 8.
6
Kvadrer de2. Resultat 4.
7
Adder de 16 til de 8 og de 4. Resultat 28.
8
af 6. Resultat 2
9
Regn med 28 2 gange. Resultat 56.
10
Se: det er 56.Du har fundet det rigtige.
Med hjælp fra illustrationen
22
, er teksten ikke svær at forstå, men en kort forklaring følger
alligevel:
Linje 1- 3: Pyramidestubben har en højden 6 alen, bunden 4 alen og toppen 2 alen.
Linje 4-8: Her beregnes 4
2
+2 *4 + 2
2
= 28, og vi finder 1/3 af højden, nemlig 1/3 *6 = 2.
21
JF ”Ægyptisk Matematik” side 75.
22
JL ”Regn med en skriver”, side 69, dog med nogle ændringer fra min side.
Side 18 af 34
Linje 9: Vores resultater multipliceres, altså 28 * 2 = 56, som er det endelige resultat.
Hvis vi i stedet for opgavens tal, indsætter betegnelserne fra illustrationen, vil a = 2, b =4 og h
=6.
Vi har fundet frem til den rigtige formel.
Moderne beregning af vinklerne i Cheopspyramiden
23
:
Opg. 1) Beregn vinklen mellem en sidekant og grundfladen: Vi kender til Cheopspyramidens
mål, da den har en kvadratisk grundflade med siden 233 m. Sidekanterne var oprindelig 220
m lange.
Først vælges en normalvektor for grund-planen(x,y-
plan):
Punktet P, der ligger i midten af pyramiden, også
kaldet origo, hedder så
Punktet Q er også pyramidens toppunkt, og vi kan derfor bruge Pythagoras læresætning
Vi kan så stille denne ligning op, hvor vi finder højden til sidst:
Denne højde stemmer godt overens med andre beregninger af Cheopspyramidens højde, selv
om der dog er uenigheder om det præcise tal (enten 146,73m
24
eller 147m
25
).
23
Kapitel: vektorer i rummet, i ”Vejen til Matematik A2”.
24
Side 80 fig. 43, ”Pyramider og Pionerer” af Torben Holm-Rasmussen og Johnny Thiedeche.
Side 19 af 34
Man beregner krydsprodukt således, da
dette krydsprodukt er det samme som retningsvektoren:
Opg. 2) Beregning af vinklen mellem to sideflader: Vi har oplyst de samme mål som i forrige
opgave, altså er sidekanterne 220 m og grundfladen er 233 m. Farverne illustrer vinklen
mellem to sideflader.
Punkternes værdier:
Vi har så 3 retningsvektorer, en fra B til Q, en A til B og en C til B. Disse udregnes her:
25
Per Andersen, ”Cheops, pi og talmanipulationer” side 16.
Side 20 af 34
Nu da vi har vores retningsvektorer, kan vi regne krydsprodukterne ud:
Disse vinkler, 51, 36 og 67,06 passer med andre opmålinger og beregninger som bl.a. Per
Andersens beskriver i ”Cheops, pi og talmanipulationer”. Afvigelser skyldes afrundinger og
upræcise tal i opgavestillingen, da metoden til udregning af vinkler er korrekt.
Det Gamle Riges samfundsstruktur
26
:
Samfundet var under Det Gamle Rige et agerbrugssamfund, hvor kongen formelt set herskede
enevældigt, og det guddommelige kongedømme var kernen i den nationale enhed. (Titlen
farao blev først brugt under det 18. dynasti
27
). Det gamle Rige strakte sig fra
28
, og
i denne periode, gennemgik Egypten en kæmpe udvikling i flere henseender.
Socialklasser og politik i det feudale samfund:
I det feudalistiske samfund blev kongen set som gud på jord, og en efterkommer af solgud og
skabelsesgud Ra. Kongen skulle opretholde det bestående samfund, forsvare Egypten, ofre til
guderne og sørge for templerne. Indenrigspolitisk blev konges magt udøvet via hierarkisk
bureaukratisk system, og da Egypten ikke havde nogen fjender, gik udenrigspolitikken på
observation af fyrsterigernes aktivitet. Kongen blev set som hersker over hele universet, han
ejede alt jord og alt foregik efter hans befaling. Under kongen administrerede et bureaukrati af
embedsmænd og præster i praksis, hvor viziren var konges rådgiver og højeste embedsmand.
Viziren stod for lov og retfærdighed og havde kontrollen af over praktisk talt alle grene af
26
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Pyramider og Pionerer” side 24-35.
27
http://en.wikipedia.org/wiki/Pharaoh.
28
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Pyramider og Pionerer side 8.
Side 21 af 34
regeringen. Selve Egypten var stadig opdelt, først i to administrative områder; Øvre og Nedre
Egypten, der opdeles i ca. 40 nomer. Nomerne blev ledet af en lensherre, en nomark.
Nomarken havde ansvar for ledelsen af sin nom og virkede nogle gange som en selvstændig
enhed. Administrationen var også opdelt i det kongelige hus, hæren, templerne og
civiladministrationen. Sidstnævnte tog sig af landbrugets regulering, indsamling af skatter og
opretholdt ro og orden, hvor embedsmændene og præsterne styrede landet i kongens navn, og
soldaterne skulle forsvare landet. Den tredje gruppe, den langt største i det feudale samfund,
omfatter bønderne, håndværkerne og slaver, der producerede værdierne i landet
29
. Bønderne
sørgede for afgrøderne og betalte skat af disse, hvor håndværkerne producerede møbler,
smykker, malede osv. Slaverne blev sat til at arbejde i minerne eller landbrug for kongen. Der
har altså været en tredeling af samfundet, der allerede ses på Narmers palet fra omkring
3100.f.Kr.
30
.
Økonomi og handel:
Samfundet havde en redistributionsøkonomi og var derfor ikke underlagt de frie
markedskræfter. Det var et velorganiseret bureaukratisk samfund, hvor centralmagtens
stabilitet var karakteristisk for samfundsstrukturen, og kongedømmets rigdomme kom fra
skatter og de naturalier, der blev indkrævet af bønderne. Rigdomme blev også importeret, der
har styrket konges magt, da han havde monopol herpå. Disse handelsveje gik fra Egypten til
Asien for at få råmaterialer som lapsis lazuli(blå ædelstene), keramik, cedertræ og
cylindersegl, hvor megen handel foregik på skibe. Egypten eksporterede efter al
sandsynlighed, guld og andre mineraler. Landbruget var utrolig effektivt, pga. Nilens
frugtbarhed, der førte til en god landbrugsøkonomi, der skabte en overflodsproduktion, og
dermed kunne kongens embedsmænd indkræve skatter o. lign. Landbruget var fundamentalt
for Egypten, og naturalierne fra bønderne blev brugt til opretholdelse af den politiske struktur,
da kongen også brugte indtægterne som gaver til stormænd, nomarker og præster som tak for
deres loyalitet og skabte en politisk stabilitet og ro.
Håndværksfagene blev mere specialiserede, og med den voksende differentiering begyndte
man at producere varer specielt til overklassen. Kunstnere og højtspecialiserede håndværkere
opnåede viden og dygtighed på et nyt plan, med en fantastisk stabilitet. Luksusvarer skulle
29
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Mumier og mennesker” side 8.
30
Thiedecke og Holm-Rasmussen “Ansigt til ansigt med ægypterne” side 20. Narmer var herskeren over Øvre-
egypten, og førte rigerne sammen. På forsiden af paletten inspicerer Narmer med sin embedsmand og soldater
de faldne fjender, og størstedelen af figurerne markerer samfundets tredeling
Side 22 af 34
laves af importmaterialer som elfenben, ibenholt, ædelstene, cedertræ osv., så handelsruter
mod øst lå til grund for megen af rigdommen i Egypten.
Kongens guddommelighed:
Rigdommene ses også i gravkulturen, da gravkonstruktioner og gravgaver kostede formuer.
Ved en konges død, blev han ophøjet til guddom, og man skulle bevare hans kraft, der gav
frugtbarhed til naturen og menneskene. Først blev kongen begravet i mastabaer, som udvik-
lede sig til trinpyramiden og senere til den traditionelle pyramide. Pyramidebyggeriet krævede
mange materialer og arbejdere. Materialer som cedertræ til kisten blev importeret, og arbejd-
skraft ”importerede” man fra Nubien og sendte ud til stenbrud i ørkenen
31
. Disse mange opga-
ver førte til et voksende antal af embedsmænd, der medførte en ændring i det bureaukratiske
hierarki. Efter 4.dynasti blev administrationen oftere varetaget af folk uden for kongefamilien,
og embedsmændene begyndte at indtage betydelige lokale stillinger omkring 6.dynasti.
Kongen og centralstyrets magt vokser frem til 4.-5.dynasti, hvorefter provinsaristokratiet
vokser og reducerer magten til fordel for religiøse, politiske og økonomiske aktiviteter.
Embedsmændenes gravkamre viser dog ingen forøget rigdom, der kan skyldes, at der ikke var
lige så mange ressourcer til rådighed for den enkelte embedsmand. Samfundets voksende
kompleksitet, nationalt og regionalt betyder en decentralisering
32
.
Religion:
Egypterne havde en kultreligion, da ritualer og ceremonier blev udøvet i templer. Derfor har
det været vigtigt at ofre til guderne, da de troede alt i samfundet var bestemt af guderne. Om
egypterne var monoteister eller polyteister bliver stadig diskuteret, da der er tvivl, om der var
én gud, som ansås for at være den øverste. Religionen var dog baseret på mange guder, der
tilsammen udgjorde kosmos. I Det Gamle Rige troede egypterne, at de første konger havde
været guder som fx Horus, og derfor var kongen arving til tronen. Kongen udførte nøje
arrangerede ritualer i gudernes templer pga. forfædrene. Den egyptiske tro beror på
gentagelser, en cyklus, og derfor skulle de ritualer i templerne repræsentere gentagelser af
gudernes historie. Kongen kunne ændre en guds status og dermed skabe politiske og religiøse
fordele for sig selv ved eksempelvis at gøre Ypperstepræstens gud mere mægtig.
Religionen kan deles i gudekulturen(dyrkelsen af guderne) og dødekulturen (balsameringen af
lig og ritualer, der gjorde det muligt at leve et liv efter døden). Dødekulturen viser sig i
31
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Ansigt til ansigt med ægypterne” side 9
Side 23 af 34
pyramiderne, ved de mumificerede konger og stormænd gennem tiderne. Gudekulturen skulle
behage guderne, og præsterne ville ofre og messe tilbedelseshymner i deres templer. Til
gengæld ville de give livets gave til kongen og præsten. For kongen selv foregik mange af
ritualerne og lovprisningerne af guderne ved procession gennem hovedstadens gader, mens
præsternes mere blev udført i landets mange templer
33
.
Var det et sakralt kongedømme?
Om der var tale om et sakralt kongedømme, må afgøres af flere kilder, hvor de officielle
kilder har den traditionelle opfattelse af kongen som ”gudernes søn”. Disse skrifter mener, at
kongedømmet er indstiftet af guderne, og kongerækken blev opfattet som startende med
guderne selv. Dermed er kongen en efterkommer af guderne og selve bindeleddet mellem
guderne og menneskene. Han skulle sørge for ro og orden i samfundet og sørge for, at der
blev ofret til guderne. De uofficielle kilder giver derimod et mere menneskeligt billede af
kongen, hvor kongen optræder under to betegnelser, hm: legeme eller person/majestæt, og
niswt: hans embede som hersker. Han er igen gudernes forlængede arm. Kongen går altså fra
at være guds søn til at være et menneske. Dog var kongeembedet dannet af guderne, så når
kongen skulle udføre sine pligter ”spillede” kongen rollen som gud.
34
Derfor var der tale om
et sakralt kongedømme, da alle egypterne tilbad guderne, selv om det ikke har været muligt at
danne en samlet statsreligion. Man kunne ikke ensrette religionen, hvilket medførte direkte
modstridende trosretninger og sammensmeltninger af guderne
35
. At der er tale om et sakralt
kongedømme beskriver meget godt kongens funktion, men det skal huskes, at den egyptiske
konges guddommelighed refererer til hans rituelle roller, og ikke om hans undersåtters tro
eller ideologi
36
.
Afslutningsvis kan det nævnes, at pyramiderne var vigtige for landets økonomi, da
etableringen af en pyramide medførte nye landbrug og byer i provinserne. Pyramiden var en
katalysator for intern kolonisation og udvikling af Egypten til et af verdens første ægte
statssamfund
37
. Derfor skal vi nu se, hvad Herodots beretning siger.
32
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Pyramider og Pionerer” side 29.
33
http://netspirit.dk/new/?page=573.
34
Per Andersen ”Cheops, pi og talmanipulationer” side 11-13.
35
http://netspirit.dk/new/?page=573.
36
http://www.denstoredanske.dk/Samfund,_jura_og_politik/Religion_og_mystik/Primitiv_religion/sakralt_konge
d%C3%B8mme.
37
Mark Lehner “” side 9.
Side 24 af 34
Herodots skildringer af Det Gamle Ægypten samt pyramiderne
38
:
Herodot, levede fra ca. 480 f.Kr. til omkring 430-425 f.Kr. og skrev værket ”Historie”.
Herodot var ikke den første historieskriver, men den første historiker, der fik sit værk
overleveret. Selv om Herodot skrev 2000 år efter pyramidernes storhedstid, havde han den
fordel, at han kunne snakke med Egyptiske præster og lærde, der havde bevaret minder og
erindringer samt teknikker brugt under pyramidebygning. Herodot var græker og boede i
Halikarnassos i det sydvestlige Lilleasien, der på dette tidspunkt var regeret af Perserne,
hvilket kommer til at spille en rolle under hans rejse til Egypten. Selve beretningen om
Pyramiderne findes i ”Historie”, bog II, kapitel 124-134, og Herodots skildringer er, som han
selv siger, objektive.
”Til og med Rampsinitos’ regeringstid herskede der ifølge præsterne i alle henseender lov og
god orden i Ægypten, og landet trivedes vældigt, men da Cheops blev konge efter ham, førte
han det ud i lutter elendighed”
39
. Herodot beskriver en kong Rampsinitos, vi ikke kender til,
og selv hvis Herodot har ment Ramses (I), giver det forvirring, da Ramses regerede i det 19
dynasti, og Cheops i det 4. Dynasti. Herodot har altså ikke haft kendskab til kongerækken, da
alle pyramiderne ved Giza blev opført under det 4. Dynasti. Herodot beskriver endog at
Cheops ”førte landet ud i elendighed”. Kongen lukkede mange templer, hvor Herodot så har
opfattet dette som lutter elendighed for folket. Dog er det lidt svært at være enten enig eller
uenig i denne skildring, da kilder siger, at ægypterne opfattede kongen som guds søn, og var
beærede over at tjene han. Egyptologer mener ikke, at Cheops var en tyran eller at han, som
Herodot senere beskriver, tvang folk til at arbejde som slaver for sig, selv om det arbejde der
blev udført på pyramiderne har været slidsomt, da beviser siger, at det var Egyptiske arbejdere
der byggede pyramiderne og ikke slaver. ”Derefter befalede han alle ægypterne at arbejde for
sig, idet nogle havde fået pålæg om at slæbe sten fra stenbruddet i det arabiske bjerg til
Nilen, medens han satte andre til at tage imod stenene…”
40
Nilen blev brugt til fragt af
Stenblokke, men havde Cheops befalet alle Egypterne at arbejde på pyramiderne, hvilket er
lidt ekstremt, ville deres økonomi ikke kunne have holdt til det. Færre kunne færdiggøre
projektet. Under det 4. Dynasti rådede Egypten over en befolkning på 1-2 millioner
41
, hvoraf
½ mio var mænd, så heller ikke Herodots beretning om hele Egypten på 100.000 mennesker
er rigtig. Disse store tal har Herodot garanteret brugt, for at imponere sine læsere.
38
Dick Parry ”Engineering the Pyramids” side 91-95. Er brugt gennem hele kapitlet.
39
Herodot ”Historie” kap. 124.
40
Herodot ”Historie” kap. 124.
Side 25 af 34
Herodots tal er ikke korrekte, men han kunne se, at et kæmpe arbejde var påkrævet til ikke
bare bygning af pyramiderne, men også selve vejen, der skulle transportere stenblokkene fra
stenbrudene og Nilen. Det var en næsten lige så stor opgave som at bygge selve pyramiden.
Han vidste, fra hans diskussioner med præsterne, at nogle at stenene kom fra de Arabiske
bjerge, der i sig selv er en vældig stor opgave. ”Ti år tog det folket med hårdt slid alene at
bygge den vej, ad hvilken de slæbte stenene, og de udførte derved efter min mening et arbejde,
der ikke var meget mindre krævende end opførelsen af pyramiden”
42
. At det skulle have taget
10 år at bygge vejen til pyramiden er helt sikkert for lang tid, da det ville have taget tid fra
selve pyramidekonstruktionen. Påstanden, at ” Ingen af stenene måler under tredive fod”
43
er
endda forket med en faktor 10. Fejlen kan skyldes, at en fejl har fundet vej ind i tidligere
oversættelser, eller at pyramiden var i bedre stand (man kunne måske kun se den glatte side af
pyramiden og ikke stenene).
Herodot skriver i kap. 125, hvordan selve pyramiden blev bygget: ”Denne pyramide blev
bygget som en slags trappe i hvad nogle kalder afsatser, andre trin. Når de først havde lagt
den således an, løftede de øvrige sten op ved hjælp af nogle apparater, der var bygget af korte
stykker træ, i første omgang fra jorden op på det første trin. Når stenen var kommet derop,
blev den anbragt på et anden apparat, der stod på første trin, og fra dette blev den slæbt op
på andet trin på et nyt apparat. Der var lige så mange apparater, som der var trin i trappen,
eller måske var der kun ét apparat, som var let at transportere, som de så flyttede op på næste
trin, når de havde fjernet stenen”
44
. Der svirer mange teorier omkring pyramidernes opførsel,
og da pyramiderne har forskellige udseender, er det muligt at der har været forskellige
metoder til hver pyramide. Herodot mener, at egypterne skulle have haft en form for maskine,
der skulle hjælpe med at løfte stenene. Der er ikke noget bevis for, at disse maskiner er blevet
brugt, hvad der dog er fundet er ramper. Under Cheops er det ikke sandsynligt, at man har
udviklet en maskine, men derimod er det meget sandsynligt, at de har lavet ramper af ler, kalk
og mudder, da der var millioner af tons af disse materialer
45
.
”Det øverste af pyramiden blev først gjort færdigt, derefter de tilstødende partier, og til sidst
gjorde man de nederste dele ved jorden færdig. Det er angivet på pyramiden i ægyptisk skrift,
41
Bruce G. Trigger ”The mainlines of socio-economic development in dynastic Egypt to the end of the Old
Kingdom s. 101.Dick Perry ”Engineering the Pyramids” side 152.
42
Herodot ”Historie” kap. 124.
43
Herodot ”Historie” kap. 124.
44
Herodot ”Historie” kap.125.
45
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Pyramider og Pionerer” side 70. Udtalelse af Mark Lehner.
Side 26 af 34
hvor meget der er brugt til ræddiker, svibler og hvidløg til arbejderne”
46
. Hvad Herodot
mener med, at færdiggøre pyramiden, må antageligt betyde afhugningen af stenene på de
yderste sider, for at opnå en glat overflade. Skriften på pyramiden kan være en inskription til
guderne om mad og drikke i det næste liv, eftersom ægypterne troede på et liv efter døden,
eller det kan beskrive, hvad der blev brugt af mad og tøj til arbejderne under byggeriet.
Cheops var en meget rig konge, så at skulle have anbragt sin datter på et bordel for at skaffe
Cheops penge er en skrøne, Herodot har viderebragt. Cheops døtre var respekterede kvinder i
datidens samfund. Efter Cheops kom Chefren, hans bror til magten og dette blev, ifølge
Herodot, til 106 år, hvor ægypterne var udsat for alt muligt ondt, da templer endnu ikke blev
åbnet. Da Mykerinos overtog magten, tog han afstand til sin far, Cheops, handlinger, og han
lod templerne åbne, og dette blev en meget bedre tid.
Herodots troværdighed:
Som nævnt indledningsvis, var Herodots hjemby under Persisk kontrol, det samme gjaldt
Egypten. De præster og lærde Herodot talte med under sin rejse, turde ikke bringe sig selv i et
dårligt lys overfor perserne, og derfor var det sikrere at beskrive Cheops og Chefren som
tyranner, da Perserne censurerede Herodots tekster. I dag er egyptologer sikre på, at Cheops
og Chefren blev set som guder, der varetog befolkningens velfærd.
Herodot er en 2. håndskilde, da han fik sine oplysninger fra de ”gamle” egyptere. Han er dog
også en primær kilde, fordi disse egyptiske beretninger for en stor dels vedkommende er tabt,
og definitionen på en primær kilde er den kilde, der ligger tættest på den begivenhed den
skildrer og som er bevaret. Selve måden Herodot skrev på, kan være en afspejling af, at hans
originale skrifter, var designet til at holde opmærksomheden hos et publikum, hvilket også er
grunden til, at de pudsige og morsomme historier, der i bund og grund var noget vrøvl, blev
nedskrevet. Herodot kan derfor ikke ses som en troværdig kilde. Han kommer med nogle
forkerte udsagn, og vi bliver nødt til at søge andre kilder/tekster for at få en rigtig beretning
om . Selv om Herodot er utroværdig, vil man altid henvise til hans
beretning, da det var den første beskrivelse af pyramidebyggeriet, men nu skal vi se på
nutidige teorier.
46
Herodot ”Historie” kap. 125.
Side 27 af 34
En Diskussion af udvalgte pyramideteorier:
Pyramiderne har altid været til forundring, for hvordan skulle en civilisation der levede for
over 4000 år siden dog kunne konstruere sådan et monument? Der er ikke nogen kilder der
direkte fortæller hvordan pyramiderne blev bygget, og derfor er der mange teorier omkring
emnet.
Bent Heick Hansen: ”Om at bygge pyramider på snor”:
En af dem er danskeren Bent Heick Hansen, der har fremsat en teori om de gamle egypteres
målemetoder. Et udsnit af hans teori fra 1988, ”Om at bygge pyramiderne med snor”, taget fra
bogen: ”Pyramider og pionerer” side 73-76 diskuteres. Bent Heick Hansens (HH) teori tager
udgangspunkt i egypternes dygtighed indenfor landopmåling og deres forståelse for geometri.
De brugte harpedonapternes udmålingsmetoder, og HH mener, at de har udviklet deres egen
anvendelse af snoren. Det bliver underbygget med, metoden i dag bruges af
bygningshåndværkerne i dag. Hvad der skal være så specielt ved Cheops-pyramiden, skal
ifølge HH, være arkitektens grundidé, der for ”Keopskompleksets vedkommende
karakteriseres ved en udstrakt anvendelse af et deleforhold på 7-9, hovedsageligt anvendt på
vandrette falder, og en mindre anvendelse af det traditionelle 4-3, hovedsageligt anvendt i
opadgående retning”
47
(se bilag 4og 5). En målesnor kan altså deles i forholdet 9-7 eller 9-3-
4,og man kan danne den grundflade som består af tre kvadrater(se bilag 6) som
Cheopspyramiden er konstrueret over. Man kan yderligere se, at hvis figuren placeres over
gravtemplet, viser det placeringen af bestemte søjler, offerstedet og nichernes bredde. HH
konkluderer, at Cheops sarkofags mål giver mening ved hjælp af denne grundfigur, da den
kan ses som et produkt af kammerets mål, for ”lægges grundfiguren over den vestlige del af
kammeret, fremkommer sarkofagens længde, bredde og placering
48
”. Disse geometriske
beregninger fører HH, ligesom Herodot, til den konklusion at der må ligge et kammer nede
under pyramiden, hvor Nilens vand må strømme ind. Ved en indtegning af halvdiagonaler
(bilag 7), mener HH, at linjen m-k skærer gennem pyramiden og fører til punktet k, som
burde ligge 57,59 meter under basen, hvilket stemmer, overens med vandstanden af Nilen.
Hvis vi skal tro på Pochan, der ligeledes tror på teorien om et kammer under pyramiden,
burde kammeret ligge i en dybde af 58,62 meter
49
. Om denne teori er rigtig, ved vi ikke, så vi
ser lige på et par stykker mere.
47
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Pyramider og Pionerer” side 74.
48
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Pyramider og Pionerer” side 76
49
Ibidem.
Side 28 af 34
Hubert Paulsen - er der et skjult gravkammer under Cheopspyramiden?
Den danske arkitekt, Hubert Paulsens teori omhandler, hvad der har været grundlag for
Cheopspyramidens specielle opbygning. Indledningsvis beskrives pyramidens geometriske
grundprincip, hvor kvadratet er en afgørende figur. ”Fra det stramme, kvadratiske princip,
som synes at fastbinde den ægyptiske billedkunst, er det nærliggende at antage, at også
bygningskunsten må være holdt inden for rammerne af faste normer. Måleenhederne til såvel
billedkunsten som til bygningskunsten har taget deres udgangspunkt i menneskelegemet”
50
.
Pga. kvadratets vigtighed er Paulsens postulat dermed, at ”der må være et rum, endda et
særlig betydningsfuldt rum, synes de forudgående udregninger at give beviser på – eller i al
fald formodninger om”
51
. Dette ender alt sammen i spørgsmålet: Hvorfor er
Cheopspyramiden den eneste pyramide der har et gravkammer over basis? Det har Paulsen
selvfølgelig et svar på, og han gennemgår de kamre der er blevet fundet, så nu går vi på
opdagelse efter det rigtige kongekammer. Det underjordiske rum udelukkes, selv om det
ligger over basis, da det aldrig blev færdiggjort, konges kiste ikke kunne komme gennem
skakten til rummet, og rummet er placeret for langt fra centrum. Rejsen går videre til
dronningekammeret, der ligger oppe i pyramiden, hvilket taler imod dette som gravkammer.
Cheopspyramiden er den mest nøjagtigt byggede af alle pyramiderne og dronningekammeret
har luftkanaler og ligger 5,23m fra centrum, og ”I samtlige andre pyramider er gravkammeret
altid anbragt omtrent direkte under apex”, siger den engelske egyptolog I. E. S. Edwards. Det
efterlader kun det såkaldte kongekammer, men dette synes Paulsen heller ikke passer, da
rummet ligger over jorden, ikke i centrum og har luftkanaler. Paulsen afviser, at kisten i
rummet skulle have tilhørt Cheops, da den åbenbart er for lille til at han kunne have ligget
der. Men hvor blev kongen så begravet? Paulsen mener, at det rigtige gravkammer ikke kan
”ligge andre steder end netop [grundplanen]; måske et par meter højere eller lavere i
klippen”
52
. Eftersom alle Paulsens geometriske tilfælde passer, er han sikker på at dette
kammer findes, da centrum var kongens plads.
Diskussion af Hubert Paulsen og Bent Heick Hansen:
HH’s beregninger er matematisk korrekte, men problemet med Cheopspyramiden er, at den
indeholder mål og betydninger som både matematikere og ægyptologer vil kunne finde
fascinerende. Ud fra skrifter ved man, at det egyptiske samfund var rimelig stabilt, hvilket
også gælder for matematikken. Derfor er der megen kritik af Paulsens teori, hvor bl.a. HH har
50
Hubert Paulsen ”Den Store Pyramide” side 35.
51
Hubert Paulsen ”Den Store Pyramide” side 35.
52
Ibidem.
Side 29 af 34
udtrykt et notat omkring Paulsens fejlberegninger og opmålinger
53
. Ved de rigtige målinger,
ifølge Petire, ligger kamrene tættere på centrum, end først angivet. Vinklen på pyramiden er i
Paulsens teori kun 50 grader 21’ 19’’, hvilket vil gøre pyramiden 139 meter høj. Han har ret i
dele af teorien, bl.a. den smalle korridor til kongekammeret, men fejl i beregningerne gør
teorien upålidelig. Skikken med at begrave folk under jorden, startede med et simpelt hul i
jorden, og sten ovenpå, for at tyve ikke skulle stjæle fra graven. Senere kom mastaberne til
(trinpyramiden er en udviklet form af mastabaen), og derefter kom pyramiderne. Vigtigt at
notere sig er, at Heick Hansen selv skrev en teori, 8 år efter Paulsen, og det giver stof til
eftertanke, at Heick Hansen prøver at gøre Paulsens teori mindre troværdig. Samme år som
Paulsen udgav sin teori, skrev egyptologen Lise Manniche en kronik, hvor hun tager afstand
til hans teori, da hun som så mange andre mener, at gravkammeret allerede er fundet. ”Nu er
Keopspyramiden og de andre pyramider ikke ment som monumenter over de gamle ægypteres
matematiske færdigheder, og i betragtning af, at de ægyptiske bygmestre ofte improviserede
og pludselig ændrede plan i deres bygningsværker, er der kun ringe grund til at formode, at
Keopspyramiden er opbygget over så stramt et system, at skjulte elementer kan beregnes
alene på grund af deres lovmæssighed”
54
. Paulsens teori sættes igen i et dårligt lys, da
sarkofagens længde på næsten 2 meter, sagtens kunne rumme et menneske, og Paulsen ved
ikke hvor stor Cheops var. Ydermere er Cheopspyramiden ikke den eneste pyramide med et
gravkammer der ikke ligger helt i centrum, om end det er den eneste der har gravkammeret
over jordoverfladen. Omkring luftkanalerne underbygger Manniche sin argumentation ved at
egyptologen I. E. S. Edwards konstaterer, at disse lufthuller skulle være kongens vej til
stjernerne, da åbningerne er orienteret mod stjernerne. Kongen skulle have den letteste vej til
himmelfarten, og skakternes hældning gav den korteste vej gennem pyramiden
55
. Egyptens
tidlige religion var baseret på observationer af stjerner. Trinpyramiden kan ses som symbol på
en trappe op til stjernerne, hvor Cheopspyramiden ses som et symbol på solen, da kongen
kaldte sig selv for søn af Solguden Ra.
Det vil altid være muligt at finde mål som lige pludselig giver mening, hvis man leger med
tallene. Det er netop derfor at man betragter hvert forslag som teorier, da man ikke kan vide
noget med sikkerhed. Dette kan bl.a. ses i Per Andersens bog ”Cheops, pi og
talmanipulationer”, der omtaler mange teorier og faktisk viser hvor få, der har noget reelt på
sig.
53
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Pyramider og Pionerer” side 95.
54
Ibidem.
Side 30 af 34
Rampeteorier:
De forrige teorier har ikke beskæftiget sig med hvordan selve pyramiden blev bygget, men
nærmere hvordan den blev designet. De fleste Egyptologer anerkender ramperne som den
mest holdbare metode til at hæve stenblokkene, men alligevel ses denne metode også som
ufuldendt, da toppen af pyramiden ikke kunne dannes uden hjælp fra et andet apparat, en form
for kran. Desuden har Mark Lehner
56
kun fundet beviser på få ramper, men hvilken slags er så
blevet brugt?
Figurerne viser ramper
57
man har diskuteret, hvor den lange rampe dog hurtigt udelukkes, da
der mangler arkæologiske beviser for en sådan rampe, der både bliver omtalt af Lehner
58
,
Isler
59
og Arnold
60
. Desuden ville en sådan rampe have krævet mange materialer, og da det
højst var muligt at slæbe sten på en 8 % hævning skulle rampen være 1,5 km lang ved toppen
af pyramiden. De andre ramper, (zigzag rampen, den lige rampe der bruger den ufuldendte del
af strukturen og spiralrampen) løber dog også ind i nogle problemer. Dows Dunhams
mulighed er den spiralformede rampe
61
. Den begynder i stenbruddet, og bevæger sig rundt om
pyramiden må være den rigtige. Selve stenene må være blevet slæbt op ad pyramiden på
slæder, hvor vand vil være blevet brugt som smøremiddel. Denne teori er dog kritiseret pga.
dens manglende evne til at konstruere hele monumentet, grundet manglende
konstruktionsevne til toppen af pyramiden. Dog forklarer det hvorfor der ikke er fundet så
mange ramper. En kran skulle, ifølge Lehner, løfte de øverste 3% af materialet, hvor det skal
bemærkes at 4% af materialet er 1/3 af pyramidens højde. Det vil betyde, at kraner skulle løfte
en lille smule sten, men meget højt. Dieter Arnold siger:”During the whole construction
period, the pyramid trunk would have been completely buried under the ramps. The surveyors
could therefore not have used the four corners, edges, and foot line of the pyramid for their
calculations”
62
. Men hvis ikke disse teorier er rigtige, hvad er så?
Jean-Pierre Houdin: ”Pyramiderne blev bygget indefra”.
En ny metode blev i 2007 fremsat af franskmanden Jean-Pierre Houdin, der mener at de
gamle egyptere byggede pyramiderne indefra. Bob Brier
63
, der også forsker i pyramideteorier,
55
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Pyramider og Pionerer” side 96.
56
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Pyramider og pionerer” side 70.
57
http://en.wikipedia.org/wiki/Egyptian_pyramid_construction_techniques#cite_note-Lehner-18.
58
Mark Lehner er pyramideekspert og har skrevet flere bøger herom.
59
Martin Isler har skrevet bogen "On Pyramid Building,”.
60
En pyramide ekspert, Dieter Arnold, ved det Metropolitanske Museum for kunst.
61
Mark Lehner ”” side 125.
62
http://www.archaeology.org/0705/etc/pyramid.html.
63
Bob Brier er en senior forsker ved C. W. Post Campus of Long Island University.
Side 31 af 34
har skrevet en artikel omkring denne nye teori
64
. Ifølge Houdins nye teori, var der bygget en
udvendig rampe, der kun skulle bruges til 30 % af pyramiden, nemlig det nederste. Derfra var
stenene taget igennem en indvendig rampe, der skulle danne de højere lag. Grunden til at man
så ikke har kunnet finde rester fra ramperne er fordi, at de stadig eksistere, inde i pyramiden.
Den indvendige rampe ville hæve sig omkring 7 %.
Selve teorien er fra 2007 og er stadig ikke bevist, og Egyptolog David Jeffrey beskrev i 2007
den indre spiral som ”far-fetched and horribly complicated”. Samtidig beskrev Oxford
Universitets professor John Baines, at han var”suspicious of any theory that seeks to explain
only how the Great Pyramid was built”
65
. Teorien kræver, at der i siderne af pyramiden skulle
være steder at vende stenene. Houdins bevis for dette er, at der findes åbninger i pyramidens
hjørner, da et fransk forskningsteam så en ræv gå ind igennem et hul i pyramiden. Desuden
udførte det franske team nogle undersøgelser på pyramiden, hvor de målte densiteten
forskellige steder, og opdagede derved gemte kamre.
Altså er det ikke muligt at afgøre hvilken teori der er ”den rigtige”. Alle de teorier der findes,
og som kan bevises matematisk kan være en mulig løsning til gåden, men da pyramiden i sig
selv er så ”modtagelig” for matematiske beviser kan det væres svært at afgøre hvad man skal
tro på. Jeg vil her til sidst citere egyptologen Lise Manniche som en passende afslutning:
”Enhver kan finde en løsning i pyramiden. Er du matematiker, står pyramiden til rådighed
med sine evige mål. Er du astronom, vil pyramidernes relation til stjernelegemerne
interessere dig. Er du ingeniør, kan du se pyramiden som et oldtidskræftværk. Er du
ægyptolog, vil du se de gamle tekster bekræftet. Er du bare et ganske almindeligt menneske,
har forretnings folk defineret dine behov (…) Pyramiden er svaret på dine drømme”
66
.
Konklusion:
Matematikkens anvendelse har spillet en væsentlig rolle i Det Gamle Egypten, og de har
været i stand til at udføre forholdsvis svære beregninger uden vores moderne teknologiske
hjælpemidler. Der blev brugt tabeller og simple regler til at holde styr på matematikken.
Deres matematiske formåen kan ses inden for pyramidekomplekset, selv om vi i dag kun har
teorier om, hvordan pyramiderne blev bygget. Samfundet har været afhængigt af Nilen og
64
http://www.archaeology.org/0705/etc/pyramid.html.
65
Skrevet i den engelske ”ingeniøren”, hvor UCL Egyptologen Professor David Jeffrey og Oxford universitets
professor John Baines beskriver teorien.
http://en.wikipedia.org/wiki/Egyptian_pyramid_construction_techniques.
66
Thiedecke og Holm-Rasmussen ”Pyramider og Pionerer” side 96.
Side 32 af 34
næsten lige så afhængige har befolkningen været af pyramidebyggeriet, da pyramiden har
kunnet samle folk om en fælles sag. Dette bygger på deres religiøse holdninger, da kongen for
dem var gud på jord. Samfundet var et feudalt samfund, præget af hierarki, hvor kongen
herskede.
Jeg kan dermed konkludere, at uden Nilens årlige oversvømmelse, ville samfundet ikke kunne
have blomstret og dermed ville matematikken ikke have fundet vej til Egypterne. Uden
matematikken ville vi i dag ikke kunne se de fantastiske pyramider, så hvis ikke Nilen havde
bragt Egyptens marker frugtbarhed, ville samfundet have været meget anderledes.
Side 33 af 34
Litteraturliste:
Bøger:
- Frandsen, Jesper, ”Ægyptisk matematik”, Forlaget Systime, 1.udgave 1996.
- Thiedecke, Johnny og Holm-Rasmussen, Torben,” Pyramider og Pionerer”, Pantheon,
1.udgave 1998.
- Lund, Jens, ”Regn med en skriver”, Munksgaard, 1. udgave 1997.
- Lehner, Mark, ””, Thames and Hudson, 1.oplag 1998.
- Parry, Dick, ”Engineering the Pyramids”, Sutton Publishing, 1.udgave 2004.
- Andersen, Per, “Cheops, pi og talmanipulationer”, Skepticas Forlag, 1.udgave 1982.
- Holm-Rasmussen, Torben, ”Det gamle Egypten”, Politikken, 1.udgave 2003.
- Shaw, Ian og Nicholson,Paul, ”Dictionary of Ancient Egypt”, British Museum Press 2008.
- David, Rosalie, “Discovering Ancient Egypt”, Michael O’Mara Books, 1.udgave 1993.
- Pedersen, Lars, “Matematik 112 – førstehjælp til formler”, Nyt Teknisk Forlag, 3.udgave 2008.
- Holth, Klaus m. fl., ”Matematik Grundbog 1”, Forlag Trip.
- Herodot, ”Herodots historie- Bind 1”, Gyldendal, 2.oplag 1997.
- Nielsen, Knud Eriksen og Fogh, Esper, ”Vejen til Matematik A2”, Forlaget Hax, 1.udgave 2006.
- Holm-Rasmussen, Torben, ”Ansigt til ansigt med ægypterne”, Pantheon, 2.udgave 2003.
- Holm-Rasmussen, Torben og Thiedecke, Johnny, ”Mumier og mennesker”, Pantheon,
1.udgave 1997.
Internetadresser:
- http://www.virtual-
egypt.com/framed/framed.cgi?url==http://www.jimloy.com/egypt/numbers.htm , 6/12-
2010.
- http://www.kost.dk/kokkenliv/artikler/2004/4/402 , 6/12-2010.
- http://www.freemaninstitute.com/rosettastone.htm , 6/12-2010.
- http://www.math.wichita.edu/history/topics/num-sys.html#egypt, 6/12-2010.
- http://da.wikipedia.org/wiki/Det_gamle_Egypten, 6/12-2010.
- http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus, 6/12-2010.
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pharaoh, 10/12-2010.
- http://www.ancient-egypt.org/index.html, 10/12-2010.
- http://en.wikipedia.org/wiki/Egyptian_pyramid_construction_techniques#Construction_met
hod_hypotheses, 11/12-2010.
- http://www.archaeology.org/0705/etc/pyramid.html, 11/12-2010.
Side 34 af 34
- http://netspirit.dk/new/?page=573, 12/12-2010.
- Figuren fra forsiden: http://www.historyonthenet.com/Egyptians/society.htm, 12/12-2010.
- http://www.denstoredanske.dk/Samfund,_jura_og_politik/Religion_og_mystik/Primitiv_relig
ion/sakralt_konged%C3%B8mme, 13/12-2010.
Bilag 1, fra Jesper Frandsens:”Ægyptisk Matematik” side 31:
Bilag 2, fra ”Regn med en skriver” af Jens Lund, side 25:
Bilag 3:
Ægyptisk (genvejs)metode
Forklaring
1 15
Starter ud som vi plejer med 1 * 15 =15
1
Her ser vi genvejen:
/
3
Så fordobler vi det foregående:
/
1
Til sidst tager de så
I alt
3+1 = 4, og vi har nu
Bilag 4 fra bogen ”Pyramider og pionere”, side 74:
Bilag 5, fra ”Pyramider og pionerer” side 75:
Bilag 6, fra ”Pyramider og pionererne” side 77:
Bilag 7, fra ”Pyramider og pionerer” side 91: