Studiekompasset.dkKlasse: STX 3.g · Fag: SRP, Historie A, Matematik A
1
Abstract
I have in the subjects history and mathematics, created this project which covers a part of the
ancient Egyptian mathematics in the time of the pyramids. I start by explaining where we have our
knowledge from, and which sources tell us the most. Then move on to the Egyptian numerals, and
cover the four arithmetic methods, addition, subtraction, multiplication and division, by showing
examples of each one. I then explain the mathematics that was involved in building the pyramids;
area, volume and slope. Lastly I take a look at the historical sources regarding the pyramids and
their function, and I discuss whether they are credible or not. In the end I have summarized the main
views of the project and concluded upon them.
Indholdsfortegnelse
Indledning
Kilderne til den ægyptiske
matematik
STX 3.g
STX 3.g
Læderrullen
Kilderne til pyramiderne
Ægypten på Herodots tid
Ægypternes talsystem
De 4 regningsarter
Addition og subtraktion
Multiplikation
Division
Brøkregning
2
n
2
- tabellen
2 De røde hjælpetal
3 Pyramidernes matematik
3 Arealbestemmelse
3 Rumfang
4 Hældning
4 Pyramiderne
5 Herodot om pyramiderne
7 Pyramidernes funktion
7 Andre teorier
7 Konklusion
8 Litteraturliste
11 Bilag
12
12
14
14
15
16
18
18
20
21
21
23
25
2
Indledning
Matematikken har været en del af menneskene i flere årtusinder, og nogle af de ældste matematiske
tekster stammer fra Ægypten. Ved 3.000 f.Kr. havde ægypterne allerede udviklet deres hieroglyffer,
og det markerer begyndelsen af det Gamle Riges periode, hvor pyramiderne blev bygget. Dette
giver det klareste tegn på, at samfundet i denne periode allerede havde opnået utroligt meget.
Ægypterne var meget konkrete i deres tilgang til matematik og deres handel krævede, at de kunne
bruge multiplikation og division. Så de udtænkte bemærkelsesværdige metoder til at overvinde de
mangler som var nødvendige for deres arbejde. Ægypterne havde faktisk udtænkt metoder til
multiplikation og division, der kun involverede addition
1
.
Jeg vil i opgaven starte med at redegøre for hvilke kilder vi har vores viden om pyramiderne og
gammel ægyptisk matematik fra, samt give en vurdering af disse. Derefter vil jeg gennemgå det
ægyptiske talsystem og forklare, hvordan ægypterne har udført de fire regningsarter. Herudover vil
jeg komme ind på stambrøker, der er et centralt element i ægyptisk matematik, og de hjælpemidler
ægypterne brugte til regning med disse. Dette vil lede til den vigtige
n
2
-tabel samt de røde
hjælpetal, og herefter vil jeg forklare hvilke metoder ægypterne brugte til bestemmelse af
grundfladeareal, hældning og rumfang af pyramiderne, samt diskutere pyramidernes funktion.
Jeg har valgt at forklare de ægyptiske metoder at regne på, ved at gennemgå nogle eksempler, da
jeg synes forklaringerne er lettere at forstå, når man har et konkret eksempel at forholde sig til. Jeg
vil benytte ægypternes måde at skrive udregningerne på, efter at have forklaret dem. Min
litteraturhenvisning er angivet med fodnoter, hvor jeg angiver, hvilken bog/kilde der er tale om. I
fodnoterne forklarer jeg også nogle specielle ord eller navne som jeg bruger, og alle mine kilder er
angivet sidst i litteraturlisten. For ikke at skrive forfatternes navne om og om igen, har jeg blot brugt
deres initialer.
Kilderne til den ægyptiske matematik
Vor viden om det gamle Ægypten kommer fra kilder som kan deles i to hovedgrupper:
1) de skriftlige overleveringer og 2) hvad arkæologien, bygninger, monumenter og anden kunst kan
fortælle os. Overleveringer fra Ægypten er nogle af de rigeste kilder til viden om matematik i
oldtiden. Der er tre vigtige kilder til ægyptisk matematik, nemlig ,
og Læderrullen. De indeholder opgaveformuleringer med tilhørende løsningsforskrifter.
1
Oplysninger i dette afsnit fra: An overview of Egyptian mathematics, J. J. O'Connor & E. F. Robertson
3
2
Hovedkilden til oldtidens ægyptiske matematik er , som er fra omkring 1650 f.Kr.,
som er kopieret fra en ældre tekst af Ahmes
3
fra omkring 1850 f.Kr., der ikke længere
eksisterer. Det vil sige, at vi gennem får kendskab til næsten 4000 år gammel
matematik
4
. Papyrussen er navngivet Rhind efter den britiske opdagelsesrejsende Henry Rhind, som
købte den i 1858. Selve papyrussen er 33cm høj og 564cm lang og står nu på British Museum. Det
er den længste matematiske tekst der kendes fra tiden før grækerne, og består af næsten 100
gennemregnede eksempler, samt nogle tabeller.
Ægypternes måder at udregne forskellige problemstillinger på, adskiller sig på mange områder fra
vor tids matematik. Opgaverne drejer sig mest om praktiske problemer, såsom at bestemme hvor
mange brød der kan fremstilles af en given mængde korn, at beregne arealet af en rektangulær mark
eller rumfanget af en cylinderformet silo og at bestemme hældningen af en pyramide.
Den anden kilde er den såkaldte Moskva-papyrus; af denne fremgår det, at ægypternes kundskaber i
matematik gik meget længere, end Rhind-papyrussen antyder. Papyrussen indeholder 25
matematiske problemer, som blandt andet viser, at ægypterne må have kendt til formlen for
en pyramides rumfang. Et af problemerne viser yderligere, at de også må have kendskab til formlen
for rumfanget af en pyramidestub. Selve papyrussen er 544cm lang men kun 8cm høj, og stammer
fra samme periode som Rhind
5
.
Læderrullen
6
Læderrullen er, som det fremkommer af navnet, et 25x43cm stykke læder, og er fra ca.
f.kr., altså nogenlunde samme tid som de to forrige kilder. Det indeholder igen matematiske
problemer men især brøker og 2 tabeller med summer af stambrøker. Læderrullen og Rhind-
papyrussen er begge fundet ved Ramses II’s tempel i Luxor, og er begge købt af Henry Rhind og
står på British Museum i dag.
2
Oplysninger i dette afsnit hovedsageligt fra OP s. 17-19
3
Ahmes, ægypter, antages at have levet mellem år 2000 og 1700 f.Kr. Han skrev den ældste, matematiske lærebog, vi
kender.
4
JL s. 8-9
5
OP s. 18
6
JF s. 11
4
Jeg har selvfølgelig ikke selv siddet med ovennævnte papyrus mens jeg skrev opgaven, men jeg har
flittigt brugt både engelske og danske oversættelser af teksterne som de findes i mine historiebøger.
Jeg har sammenlignet forskellige historikeres oversættelser og tolkninger af den ægyptiske
matematik, og de stemmer alle nogenlunde overens. Ud fra dette kan jeg vurdere disse kilder som
brugbare, især også fordi der ikke findes andre om mit emne. Da man ikke selv sidder med
førstehåndskilderne, er det meget vigtigt man ikke drager til konklusioner efter blot at have læst én
historiebog, men derimod sammenligner en masse med viden om stoffet. Selvom tolkningerne er fra
nyere tid, (altså ca. 6000 år de egentlige kilder blev nedskrevet) kan de stadig være meget korrekte.
Vi har i dag meget mere viden og meget veludviklede metoder til at tyde samt datere oldtidens
kilder.
Kilderne til pyramiderne:
Jeg har fundet nogle historiske kilder, primært af den græske Herodot, med henblik på først meget
kort at illustrere samfundsforholdene i det gamle Ægypten. Her vil jeg komme ind på
Kheopspyramiden som den er beskrevet kort af Herodot, og pyramidernes funktion, som den er
beskrevet af historikeren Edwards vha. pyramideteksterne. Da der ikke er mange kilder, der
omhandler det 4. dynasti (f.Kr.) hvor pyramiderne blev opført, har jeg – så vidt muligt –
valgt kilder, der lægger umiddelbart op til perioden eller nyere kilder, der fortæller om perioden.
Selve min vurdering af disse kilder vil forekomme senere i opgaven, under afsnittet Pyramider.
Ægypten på Herodots tid
7
Der begyndte omkring 650 f.Kr. at komme en del grækere til Ægypten som lejetropper eller
købmænd. Den kultur (arkitektur, skulpturer, matematik osv.), som grækerne mødte i Ægypten,
beundrede de, og var således i 500- og 400-tallet f.kr. stærkt inspirerede af Ægypten. Den græske
historiker Herodot besøgte Ægypten omkring 440 f.Kr. Det er meget omdiskuteret, hvad man kan
stole på hos Herodot. Hans værk, ”Historia”
8
, blev skrevet med det formål bedre at kunne forstå
andre samfund og kulturer. Jeg vil senere hen i opgaven vurdere et uddrag af Historia som
omhandler pyramiderne. Hovedformålet med hans værk var at han ville sikre at viden om vigtige
7
Oplysninger i dette afsnit fra MC s. 41
8
Historia: En betegnelse, der er oprindelsen til vores ord historie, der pa græsk betød noget i retning af efterforskning.
5
begivenheder ikke gik tabt for eftertiden.
9
Ægypternes talsystem
I stil med vores moderne talsystem, havde ægypterne et veludviklet titalsystem (grunden til, at ti
blev valgt som grundtal, var at det allerede dengang var brugt at tælle på fingrene). Mens vores
talsystem i dag er et positionssystem, hvor cifrenes placering har betydning, var ægypternes
talsystem et såkaldt additivt talsystem, der havde symboler for 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000
og 1 000 000. Når de skulle skrive et tal, skrev de symbolerne ved siden af hinanden og adderede
dem hen ad vejen.
10
Det ægyptiske talbegreb bestod af de hele positive tal og desuden dele af enheden. Sidstnævnte var
de såkaldte stambrøker
4
1
,
3
1
,
2
1
osv., og desuden som noget specielt brøken
3
2
.
Tidlige talhieroglyffer kan findes på templer, sten og monumenter. De giver lidt viden om de
matematiske beregninger, der kunne have været gjort i den tid. Da disse hieroglyffer blev hugget i
sten, var der ikke behov for at udvikle symboler, der kunne skrives hurtigere. Men når ægypterne
begyndte at bruge papyrus som "papir" og spidsen af et papyrusrør som en "pen", var der nu grund
til at udvikle en hurtigere måde at skrive på. Dette gav anledning til udviklingen af hieratisk skrift.
11
Ægypterne kørte derfor som nævnt med to skriftsystemer: hieroglyffer og hieratisk skrift.
Hieroglyfferne forestiller legemsdele, dyr, fugle, redskaber osv. og forekommer oftest på
monumenter. Hieratisk skrift er udviklet fra hieroglyfferne på den måde, at det er en form for
kursivskrift af hieroglyfferne, men har flere tegn. Her var der specifikke tegn for 5,6,7,8 osv. samt
alle 10’ere og alle 100’er.
12
I denne opgave vil det kun være nedenstående taltegn, der er vigtige:
9
Herodot som historiens fader, Mogens Herman Hansen
10
JF s. 14-18
11
An overview of Egyptian mathematics, J. J. O'Connor & E. F. Robertson
12
OP s. 18
6
Når der så dannes tal sammensat af tegnene, skal udtrykkene læses additivt fra højre mod venstre.
Eksempler på tal skrevet med hieroglyffer
13
:
52
Eksempler på tal skrevet med hieratisk skrift:
7 1649
Som man kan se er den hieratiske skrift en del mere kompliceret end hieroglyfferne. Den ligner
mere vores eget skriftsprog og består af tegn som man skulle kunne udenad for at kunne læse den.
For eksempel skrev man ikke 10 to gange efter hinanden for at få 20, men derimod fandtes der et
helt andet tegn for 20.
13
Billederne er fra JF s. 15
7
De 4 regningsarter
Addition og subtraktion
14
Normalt opfattes addition, subtraktion, multiplikation og division som vidt forskellige
regningsarter, med de er i virkeligheden ikke uafhængige af hinanden. Der er følgende
sammenhæng mellem addition og subtraktion
a – b = c a = b + c
hvilket ægypterne benyttede. I stedet for at subtrahere, kan man blot sige: hvad skal jeg lægge til b
for at få a? Denne måde at regne på kaldes at komplettere. (at fuldende noget)
15
Addition med hieroglyffer har ikke været svært, idet antallet af de forskellige symboler blot tælles
op og så efterstilles hinanden, hvis et symbol optræder mere end 10 gange. Når man skulle udføre
en subtraktion, gøres blot som nævnt ovenover. Helt så nemt har det ikke været med hieratisk skrift,
hvor der jo som bekendt er mange flere symboler, men det ser nu alligevel ikke ud til, at
udregningerne har voldt problemer, hvilket kan skyldes, at de har haft hjælpende tabeller, at de har
udført kladder et andet sted, eller at skriverne har kunnet additionerne udenad.
En anden ting med hensyn til addition var at ægypterne udelod at skrive plustegn imellem tal. Så i
de følgende regneeksempler vil jeg benytte deres metode. I stedet for at skrive 3 + 1 + 5, skrev de
blot 3 1 5.
Multiplikation
Multiplikationerne tager udgangspunkt i addition, da det foregår ved trinvis fordobling, hvoraf
nogle af resultaterne adderes. Metoden bygger på, at ethvert tal kan skrives som en sum sammensat
af tal i følgen: 1, 2, 4, 8, 16, 32 osv.
16
Jeg har valgt at demonstrere det ved at gennemgå en
multiplikation, og løbende forklare hvad der gøres. Jeg vil i eksemplet herunder udregne 13 · 42 ved
at benytte ægypternes metode:
14
Oplysninger i dette afsnit fra JF 19-20.
15
JF s. 19
16
OP s. 19
8
\ 1
42
2
84
\ 4
168
\ 8
336
I alt
546
Metoden bygger altså på, at man i venstre søjle finder de tal, der giver den første faktor, her 13.
Men er det altid muligt at finde en sådan talkombination? Da tallene i venstre sølje er 1, 2, 4,
8…altså tal fra 2
n
- tabellen, er det altså muligt at alle tal Z
+
kan skrives i 2-talssystemet. Dette har
ægypterne nok ubevidst antaget.
17
Division
18
Ægypternes metode til at dividere bygger på multiplikation. I stedet for at sige
?
b
a
sagde de a = b · ? , dvs. at de udregnede hvilken værdi, de skulle gange b med for at få a. Ligesom
ovenover har jeg valgt at demonstrere det ved et eksempel med løbende forklaring.
Jeg vil udregne følgende:
?
19
228
228 = 19 · ?
1
19
I venstre kolonne står de tal som 19 bliver ganget med, ligesom ved
multiplikation. Med modsat før, er det her tallene i højre side som
tilsammen skal give vores anden kendte værdi, 228.
2
38
Her fordobles der igen.
\ 4
76
Da vi endnu ikke kan få 228 ved at addere tallene i højre kolonne,
17
JF s. 22
18
Afsnittet om division er baseret på oplysninger fra JF s. 23-24 og JL s. 27-29
9
fordobles der igen.
\ 8
152
Nu fordobles der ikke mere, da tallene i højre kolonne vil overstige 228.
Nu undersøges det, om det er muligt at finde tal i højre kolonne, der
tilsammen giver 228. Vi ser at 76+152=228, hvilket er grunden til, at der
er markeringer ud for 4 og 8. Herfra kan man udlede at
(4 + 8) · 19 = 228 12 ·19 = 228
12
19
228
Det er en meget smart metode ægypterne brugte, da der ikke skulle bruges andet end multiplikation
og addition.
Jeg vil nu vise et eksempel på en division fra :
Jeg vil gøre rede for hvilken division der foregår på billedet, og
forklare opgaven med mine egne ord. Opgaven følger
samme metode som viste division ovenover, men denne
indeholder også brøker. Der er i højre kolonne fundet frem til en
talkombination (1+4+8) som er løsning til opgaven. Venstre
kolonne fordobles indtil der er fordoblet 3 gange (8) som så giver
det rigtige resultat, da der ikke er regnet videre. I dette tilfælde Del af PR30
hvis man skriver opgaven op på denne måde: a = b · ?, er ? = 13, b = startværdien (
3
10
= 0,7667)
og a = de tilsvarende værdier til 1, 4 og 8 i venstre kolonne som i alt giver
3
10
3
15
6
10
30
=
9,967. Derfor må divisionen have heddet
?
7667,0
967,9
og ? = 13.
Det er dog langt fra altid, at divisioner kan udføres alene ved fordoblinger. Jeg vil nu gennemgå
nogle metoder til at løse de divisioner, der ikke går op.
Vi ser på eksemplet
?
16
42
1
16
Vi skal i højre kolonne finde frem til en kombination af tal, hvis sum giver
\ 1
3
10
2 1
3
5
\ 4 3
15
\ 8 6
10
30
I alt 13
10
42.
\ 2
32
Her fordobles der i begge kolonner.
\
8
Hvis der fordobles endnu engang fås 64, hvilket overstiger 42. Derfor
bliver der i stedet halveret. (16 bliver halveret med 2)
4
Der bliver endnu engang halveret, da vi stadig mangler 2 for at få 42.
\
2
Ved denne sidste halvering har vi nu en kombination af tal i højre kolonne,
der tilsammen giver 42, og det er disse tal, der er sat markeringer ud for.
Altså bliver det
16
42
2
2
8
2 + 0,5 + 0,125 = 2,625 og
625,2
16
42
Alle regnemetoderne ligner hinanden idet man næsten kun skal multiplicere.
Udregningen ovenover er regnet vha.
2
- følgen (
16,8,4,2
..) Jeg vil nu vise et eksempel
vha.
3
- følgen (
12,6,3,3
):
Udregningen
?
12
39
\ 1
12
Vi skal i højre kolonne finde frem til en talkombination der tilsammen
giver 39.
\ 2
24
Her fordobles der i begge kolonner.
\
3
8
Hvis der fordobles endnu engang fås 48, hvilket overstiger 39. Vi kan dog
endnu ikke få 39 ved at addere tallene i højre kolonne, da vi stadig mangler
3. Derfor finder vi
3
af 12 som er 8.
3
4
Herefter halveres der, til vi når en kombination i højre kolonne, der giver
39.
\
6
2
hvilket i dette tilfælde bliver 12+24+2+1, hvilket er de tal, der er
markeringer ved.
\
12
1
11
De tilsvarende tal i venstre kolonne er så: 3
6
12
som svarer til 3 + 0,166 + 0,0833 = 3,25
Man kan selv vælge, hvilken følge man vil bruge i en division, men ofte giver det sig selv. Nogle
gange går divisionerne dog stadig ikke op kun vha.
2
-følgen eller
3
-følgen. For at kunne forklare,
hvordan man løser disse divisioner, bliver jeg nødt til først at gennemgå brøkregning. Der kommer
et eksempel på en af disse divisioner under afsnittet om røde hjælpetal, og jeg vil så i dette
eksempel gennemgå, hvad der gøres.
Brøkregning
Den ægyptiske brøkregning adskiller sig fra vores, ved at alle brøker på nær
3
2
er stambrøker, dvs.
brøker med tælleren 1 og af formen
n
1
, hvor n N. Derfor må alle brøker, der ikke er stambrøker
eller brøken
3
2
, skrives som en sum af forskellige stambrøker (og evt.
3
2
). Dvs. at hvis man vil
skrive
5
4
må man i stedet fx skrive
20
1
4
1
2
1
(forklaring kommer i næste afsnit) men man kan ikke
udtrykke brøken som
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
da dette ville blive besværligt, hvis man fx skulle udtrykke
brøken
51
32
. Skulle man udtrykke en stambrøk f.eks.
21
1
med hieroglyffer, gjorde man det ved at
tilføje symbolet over tegnet for 21. På hieratisk skrift reduceres det til en prik. Under ses nogle
eksempler, med hieroflyfferne øverst og hieratisk skrift nederst
19
:
Jeg vil nu komme ind på 2 af ægypternes hjælpemidler, de brugte når de skulle regne med brøker.
Nemlig
n
2
- tabellen samt de røde hjælpetal.
19
Billedet er fra Den Store Danske:
http://www.denstoredanske.dk/Rejser,_geografi_og_historie/Mellemøsten/Egypten/Egypten_i_oldtiden/Egypten_i_oldti
den_(Videnskab)/Egypten_i_oldtiden_(Videnskab_-_Matematik)
12
n
2
- tabellen
20
:
Men hvordan vidste ægypterne netop på hvilken måde de kunne sammensætte stambrøker for at få
andre brøker? Det har de ikke kunne have gjort uden tabeller. Vi ser nu nærmere på
n
2
- tabellen.
Ægypterne havde ofte brug for at fordoble stambrøker, altså ud fra en brøk
n
1
at danne
n
2
, der så
skulle skrives som en sum af indbyrdes forskellige stambrøker. Hele tabellen består af 50 brøker af
n
2
-formen med deres tilhørende opløsning. (der findes dog altid mere end én opløsning).
Der er ikke lige tal i
n
2
- tabellen, fordi at man med lige brøker blot kan forkorte med 2. Fx er
8
1
16
2
,
og dette havde ægypterne indset. For at forstå tabellen er det vigtigt at vide at enhver stambræk kan
opløses på uendelig mange måder. Umiddelbart kan valget af opløsningerne virke tilfældigt men
man kan opstille nogle få regler, som ægypterne har forsøgt at bruge, som fx at små nævnere
foretrækkes og ingen nævner overstiger 1000. Der er heller ingen opløsning der består af mere end
4 stambrøker, så jo færre jo bedre. Samtidig foretrækkes lige nævnere frem for ulige, selvom det på
denne måde vil fremkomme større nævnere og flere led i opløsningen.
De røde hjælpetal
21
Ægypterne brugte nogle hjælpemidler for at gøre det nemmere at regne med brøker. For at nå frem
til et resultat der ikke altid gik lige op, brugte de røde hjælpetal. De røde hjælpetal er opkaldt efter,
at de på papyri var nedskrevet med rødt blæk. Jeg vil her prøve at forklare hvordan de er blevet
brugt. Ægypterne regnede i enheder som vi ikke bruger i dag. De brugte:
1 alen = 7 håndsbredder = 28 fingre ~ 52,5cm
(se bilag 2 for enheder) Da det er lidt svært at forstå brugen af de røde hjælpetal vil jeg komme med
et eksempel.
20
Oplysninger i dette afsnit fra JF s. 30-32, se bilag 1 for hele tabellen.
21
Oplysninger i dette afsnit fra JF s. 26
13
3
5
15
15
giver 1
10 3 1 1
Del af PR21
22
De røde tal ovenover er så de røde hjælpetal. I opgaven påstås det at
3
5
15
15
= 1.
Hvis vi i dag skal kontrollere dette, vil vi sætte det på en fælles brøkstreg:
1
15
15
15
11310
15
1
15
1
5
1
3
2
Det ses så nu at de røde hjælpetal netop er tallene i den midterste brøk (tælleren). Der skiftes enhed,
så der til 1 sort enhed svarer 15 røde enheder. Da summen af de røde hjælpetal er 15, er facit 1.
Herunder ses et andet eksempel, multiplikationen af
4
28
med 1
2
4
:
\ 1
4
28
7 1
\
2
8
56
3
\
4
16
112
1
I alt
2
PR7
Der er her tale om trinvis halvering og iflg. opgaven er resultatet
2
. Da der er markeringer ud for
alle linjer er facit
4
28
8
56
16
112
. Men hvordan har ægypterne vidst at alle de brøker
tilsammen gav
2
?
Det kan være sket ved at de har skiftet enheder fra alen til fingre. Dette giver denne oversættelse:
22
PR21 = opgave nr. 21 fra
14
Alen
1
2
4
8
16
28
56
112
Fingre
28
14
7
3
2
1
2
4
1
2
4
Det ses nu at alle de røde hjæletal forekommer i skemaets nederste linje. Vi kan så udtrykke
4
28
8
56
16
112
vha. de røde hjælpetal: 7 1 3 1 .
Summen af hjælpetallene er let at regne ud til 14 fingre, som er
2
alen. Hvis vi i dag skal addere
alle disse brøker, vil vi gøre det ved at finde en fællesnævner, som i dette tilfælde er 112.
Det er ikke altid, der skiftes mellem alen og fingre, men princippet er det samme, nemlig at der
vælges en ny enhed.
23
Pyramidernes matematik
Arealbestemmelse
24
I dag beregner vi rektanglers arealer ved at sige højde x bredde. Det fremgår at ægypterne også har
brugt denne metode. Ægypterne havde også en anden enhed som de brugte, nemlig khet,
25
som var
den almindelige måleenhed for længder. Herunder er et eksempel på udregning af et areal.
Opgaven er oversat således: ”Hvis det siges til dig, at et rektangulært stykke land er på 10 khet og 1
khet, hvad er så dets areal?”
Man gør således:
1
1000
Her kan vi se at de 10 khet er lavet om til 1000 alen i højre kolonne.
10
10000
Der bliver altså skiftet fra enheden khet til enheden alen.
100
100000
Og her er 1 khet i skrevet som 100 alen i højre kolonne.
I de 3 første linjer udføres multiplikationen 100 · 1000 = 100000
Svaret er derfor 100000 alen
2
.
Del af PR49
23
JF s. 27
24
Oplysninger i dette afsnit fra JF s. 62-63
25
1 khet = 100 alen ~ 52,5m (se bilag 2)
15
Det var denne metode ægypterne brugte til at bestemme pyramidernes grundfladeareal. Det er
meget simpelt, og vi bruger den selvsamme metode i dag.
Rumfang
26
Det er fra , at vi har viden om at de gamle ægyptere kendte til en formel for
beregning af rumfanget af en pyramide samt en pyramidestub.
Vi skal nu se på s vigtigste opgave, nemlig PM14, hvor rumfanget af en
pyramidestub beregnes:
1
Frit oversat lyder opgaven: ”Hvis det siges til dig, at en pyramidestub med højden 6 alen,
den nederste side er 4 alen, og den øverste 2.
2
3
4
5
6
7
8
Regn med de 4, kvadreret. Resultat 16.
Fordobl nu de 4. Resultat 8.
Kvadrer de 2. Resultat 4.
Adder de 16 til de 8 og de 4. Resultat 28.
3
af 6. Resultat 2.
Regn med 28 2 gange. Resultat 56.
Se: det er 56. Du har fundet det rigtige.
PM14 – figur svarer til originalopgaven. (se bilag 3)
Forklaring:
Linje
2-5 Her beregnes 4
2
+ 2 · 4 + 2
2
= 28.
6
3
1
af højden findes:
3
1
· 6 = 2
7 De foregående facits multipliceres: 2 · 28 = 56, som så er facit.
26
Oplysninger i dette afsnit fra JF s. 75-76
16
Resultatet ved at gennemregne eksemplet, så vi ved ikke med sikkerhed hvilke overvejelser der har
ligget bag udregningerne
27
. For at gøre det lidt mere overskueligt har jeg tegnet en tredimensionel
figur af en pyramidestub:
Erstatter vi opgavens tal med bogstaver, svarer det til at: a = 2, b = 4, og h = 6. Dette viser at
pyramidestubbens rumfang V bestemmes som:
V = (a
2
+ab+b
2
)
3
h eller V =
3
1
h(a
2
+ab+b
2
)
hvilket er den rigtige formel og den vi bruger i dag. Hvis a = 0, dvs. er en hel pyramide, fås
3
1
hb
2
idet b
2
er grundfladearealet. Altså kan en pyramides rumfang bestemmes vha. formlen:
V
pyramide
=
3
1
· højde · grundfladeareal
Hvordan ægypterne har fundet denne fremgangsmåde, vides ikke. Der findes forskellige teorier,
men intet er endnu bevist, så det vil jeg ikke vil gå i dybden med.
Hældning
28
Ligesom areal og rumfangsbestemmelsen, er ægypternes metode til at beregne en pyramides
hældning også forholdsvis simpel. Den ægyptiske betegnelse for hældning var śkd. (udtales seked)
29
Jeg vil illustrere det med nedenstående eksempel fra . Frit oversat lyder opgaven:
27
JL s. 68-69
28
Oplysninger i dette afsnit fra JF s. og JL s. 83
29
JL s. 84
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Eksempel på beregning af en pyramide, hvor siden er 360 alen og
højden er 250 alen. Angiv hældningen.
Tag
2
af 360; det bliver 180.
Regn med 250 for at finde 180.
Det bliver
5052
alen.
En alen er 7 håndsbredder, du skal gange med 7.
1 7
\
2
3
2
\
5
1
3
15
\
50
10
25
Hældningen er 5
25
håndsbredder
PR56 – tegningen, som jeg selv har tegnet, viser en pyramides tværsnit med mål.
Forklaring:
Linje
2
180360
2
1
3 Ligningen 250x = 180 skal løses, dvs.
250
180
bestemmes.
4 Uden forklaring angives
5052
alen som facit.
5 Det oplyses, at 1 alen = 7 håndsbredder.
6-10 Her foretages multiplikationen 7 ·
5052
= 5
25
(5,04)
Hvis vi skal forklare opgaven vha. symboler, kalder vi pyramidens
højde for h og grundfladens længde for 2s. Først beregnes
ss 2
2
1
,
hvorefter ligningen hx = s løses. Løsningen er
h
s
x
eller
h
sx
1
Her kan det sidste udtryk fortolkes vha. ensvinklede trekanter, og det ses at x =
5052
alen eller 5
25
håndsbredder. Dette minder meget om vores hældningskoefficient, men mens vi spørger ’hvor
18
meget skal vi gå op, når x – værdien øges med 1’, spørger ægypterne ’hvor meget skal jeg gå hen,
når y – værdien øges med 1 alen.
Et andet eksempel på en opgave, som jeg vil udregne vha. de forklaringer jeg viste ovenover:
Opgaven lyder:
Hvis en pyramide er 8 alen høj og grundfladens sidelængde er 12 alen, hvad er så pyramidens
hældning? Vis at svaret er 5 håndsbredder og 1 finger. (4 fingre = 1 håndsbredde)
Som i forrige opgave vil jeg starte med at tage halvdelen af
grundfladens længde:
612
2
1
Derefter vil jeg ’regne med 8’ for at finde 6:
8
6
68 x
= 0,75
En alen var jo 7 håndsbredder, jeg ganger med 7:
25,5775,0
Som vi ved, skulle hældningen være 5 håndsbredder og 1 finger,
hvilket passer overens med mit resultat. 1 finger =
4
1
håndsbredde og
4
1
= 0,25. Derfor er 5,25 netop 5 hele håndsbredder og 1 finger.
Pyramiderne
En farao blev ikke tilbedt som en gud i den tid, han regerede. Det blev han først når han døde, og
hans balsamerede lig, blev bragt til sin plads i det dertil byggede gravkompleks. I de første dynastier
udviklede man efterhånden det traditionelle mausoleum, mastabaen
30
, til et større og mere prægtigt
monument. Ved at udvikle nye teknikker lærte man at bygge flere mastabaer ovenpå hinanden.
Dette førte først til trinpyramiden, og derefter til pyramiderne som vi kender dem i dag. Grunden til
man lavede noget så stort og specielt til kongen, var for at adskille kongebegravelsen fra hoffolks
og undersåtters begravelse. På den måde kunne man tydeligt se forskellen mellem hans gudelige
status, og de helt almindelige dødeliges.
30
Mastaba er et oldægyptisk begravelsesmonument til de tidligste konger af landet. Mastaba betyder "bænk"
på arabisk og hentyder til formen på denne gravtype.
19
Herodot om Pyramiderne
31
Fortællingen herunder findes i 2. bog, kap. 124 - 134 i Herodots ”Historia”. Teksten er en
oversættelse fra ”Historia”, hvilket vil sige, at kilden er en andenhåndskilde, da den bygger på en
andens (Herodots) studier. Kilden er skrevet i perioden ca. 440-425 f. Kr. Herodot kritiseres ofte for
at vare en utroværdig historiker. Lad os se pa kilden, og derefter vende tilbage til Herodots
troværdighed.
Herodot starter med at sige: ”For mig har det vigtigste været at nedskrive, hvad jeg har fået
fortalt…” – det er altså ikke, ifølge Herodot, en subjektiv skildring vi skal til at læse, men en
objektiv. Herodot fortæller: ”Til og med den tid, hvor Rampsinitos var konge, fortalte de,
(ægypterne) var der helt igennem gode og lovlige styreformer og Ægypten trivedes i høj grad”.
Ægypten har aldrig haft en konge ved navn Rampsinitos, men dog kan Rampsinitos vare en form af
det meget kendte kongenavn Ramses. Herodot omtaler derefter kong Kheops: ”Men da Kheops
begyndte at regere efter ham, førte han landet ud i den største ulykke” Herodot påstår nu her at kong
Kheops førte landet ud i ulykke, som kan have noget at gøre med at kong Kheops lukkede mange
templer rundt omkring i landet, hvilket nok er hovedårsagen til hans upopularitet.
32
Herodot fortsætter: ”…, og så beordrede han alle ægyptere til at arbejde for sig. Nogle fik besked pa
at slæbe sten fra stenbruddene i det arabiske bjerg helt til Nilen, andre fik befaling på at modtage
stenene, nar de var sejlet over floden, og slæbe dem til det bjerg, der kaldes det libyske”. At alle
ægyptere blev sat til at arbejde på pyramiden er en overdrivelse, for en arbejdsstyrke på ca. 10.000
mand ville kunne gennemføre bygningen på ca. 20 år.
33
Desuden havde Ægypten pa denne tid
mellem en og to millioner mennesker
34
.
At Nilen blev flittigt brugt til transport (bl.a. til stenblokkene til pyramiderne) er korrekt for Nilen
spillede en stor rolle mht. transport, og gjorde den meste landtrafik overflødig. Herodot fortæller
videre: ”Sådan en pyramide er lavet på samme made som en trappe, opbygget af, hvad nogle kalder
afsatser, andre trin. Når de først havde opbygget den sådan, løftede de resten af stenene med en
slags maskine lavet af korte træstykker.” Ægyptiske kilder fortæller ikke rigtig noget om hvilke
31
Oplysninger i dette afsnit fra MC s. 41-45
32
Dette kan længe diskuteres, fordi kong Kheops var samtidig dyrket som en gud, og det er ham der har indledt
Ægyptens historie. PB s. 181
33
http://netspirit.dk/new/?page=571
34
http://no.wikipedia.org/wiki/Oldtidens_Egypt
20
specifikke metoder arbejderne brugte.
35
Derimod kan man kigge på det værktøj, de brugte for at
forstå hvordan konstruktionen af pyramiderne foregik.
Ovenstående var som sagt et uddrag fra ”Historia” med kommentarer. Ang. Herodots troværdighed
- hvad kan vi bruge hans beretning om Ægypten, Kheops, og pyramiderne til? Herodot har mange
detaljer med i sine beskrivelser, hvilket virker meget overbevisende og troværdigt. Men der stadig
en masse ting der ikke helt stemmer. (fx måden Kheops pyramiden er konstrueret, der er i dag ikke
fundet beviser for nogen ’maskine’ som han nævner). Som læser gør dette, at det er nødvendigt, at
have en anden kilde at kunne sammenligne med, da man ikke
ved hvilket der er rigtigt/forkert i Herodots fortælling. Man kan ikke med sikkerhed vide, hvorfor
der er forkerte fakta i Herodots udsagn, men det kan bl.a. skyldes forkerte oversættelser. Desuden
ved man heller ikke, om Herodot har siddet i Athen og skrevet sine bøger, eller om han selv har set
og oplevet tingene. Det er dog mere sandsynligt at han selv rejste rundt i Ægypten af den simple
grund at der i Grækenland på dette tidspunkt ikke var nogle bøger eller arkiver han kunne forske i.
Som nævnt tidligere var det også først omkring år 440 f.Kr. at han skrev sine beretninger, og på det
tidspunkt var pyramiderne ca. 2000 år gamle. På Herodots tid var der ikke mange andre historikere,
som han kunne hente fakta hos, hvilket vil sige, at den information han skulle samle var vha.
førstehåndskilder, som dengang var op til 2200 år gamle. Alt i alt ville jeg ikke vurdere Herodot
som den mest troværdige kilde med hensyn til Ægypten og pyramiderne, da mange af hans
argumenter enten stadig står usikre eller er i dag blevet modbevist. Han giver os dog et rigt indblik
på forholdene under pyramidebygningen med alle sine detaljer som sagtens kunne passe.
Pyramidernes funktion ifølge Edwards:
Edwards prøver at tolke pyramidernes funktion ud fra pyramideteksterne
36
. Havde pyramiderne en
religiøs funktion, var de blot ”pynt” eller havde de en reel funktion/skulle den anvendes praktisk?
”The Pyramid Texts suggest an answer to these questions. One of the many different ways by which
the deceased king, or more probably his spiritualized body, could approach the celestial heaven was
by a staircase. Spell 267 reads: ‘A staircase to heaven is laid for him (kongen) so that he may mount
up to heaven thereby.’. Ifølge disse pyramidetekster, skulle pyramiderne altså have det formal, at de
fungerede som en slags ”stige” til himmeriget. “The Pyramid Texts often describe the king as
mounting to heaven on the rays of the sun.” Der er netop teorier om at pyramiden har fået sin form,
35
EE s. 254
36
Pyramidetekster forekommer første gang i en pyramide fra kong Uenis’ tid (f.kr), MC s. 45
21
fordi de skrå sider skal repræsentere solens stråler. Vi kan til sidst konkludere, at pyramiderne
havde et formål. Formålet med dem var, at de virkede som et slags bindeled mellem himlen og
jorden.
Andre teorier
Det var i det 5. dynasti at man begyndte at dekorere pyramidevæggene, med bl.a. pyramidetekster
og forskellige overtroiske tekster som skulle beskytte den døde fra alt ondt. Sådanne tekster er klar
indikation på at pyramiderne fungerede som gravkamre. Men man har i virkeligheden aldrig fundet
hele mumier inde i disse gravkamre. Der er blevet fundet mumificerede legemsdele, knogler o.l.
men aldrig en hel mumie. På grund af mangel på et lig inde i pyramiderne, har man spekuleret om
pyramiderne havde andre funktioner. En anden og realistisk teori
37
, observeret af ægyptologen
Alexander Badawy
38
, er at det skam var kongernes gravsted, men at pyramiderne måske har været
cenotapher.
39
(tomme grave). Altså at kongens egen krop aldrig har ligget i sarkofagene, men at de
blot var der af symbolsk betydning. Dette kunne have været gjort af frygt for gravrøvere, eller blot
for at beskytte kongens lig fra mulige indtrængende. På baggrund af disse faktorer, kunne man være
fristet til at konkludere, at hvis pyramiderne ikke var beregnet som virkelige grave for faraoerne, så
var de beregnet som cenotapher, og at kongens mumie blev begravet andetsteds.
Konklusion
Jeg har med denne opgave forsøgt at give et indblik på en del af den ægyptiske matematik. Jeg har
forklaret ægypternes metoder at regne på, samt trinvist gennemgået eksempler på de 4 regningsarter
og pyramidernes matematik.
Efter at have studeret ægypterne kan jeg konkludere at de har været et meget veludviklet folk for
deres tid. Vi bruger stadig de samme regnemetoder som de brugte for over 6000 år siden. De havde
præcisionen og redskaberne til at bygge noget så enormt som pyramiderne, hvor Kheopspyramiden
i dag er det eneste af verdens 7 vidundere som stadig eksisterer. Det er forståeligt at der i dag er så
mange teorier, om hvorvidt ægypterne selv byggede pyramiderne eller om de var bygget af
rumvæsener, da byggeprocessen nærmest virker umulig i disse tider. Det har krævet ekstremt hårdt
37
Oplysninger i dette afsnit fra Why were the pyramids built?, Larry Orcutt
38
Alexander Badawy, ægytisk ægyptolog (November 29, 1913 – Maj 1986)
39
Fra det græske kenotaphion, eller bogstaveligt, "tom grav".
22
arbejde og god planlægning, både fra at transportere stenblokkene til at sætte dem sammen i en
pyramideform så enorm.
Ved hjælp af historiske kilder omhandlende pyramiderne, har jeg prøvet at give et svar på hvad
pyramidernes funktion har været, og efter at have sammenlignet forskellige teorier, kom jeg frem til
at de har været gravsteder for faraonerne, men at de højst sandsynligt har været tomme grave da der
endnu ikke er blevet fundet hele mumier inde i nogen af pyramiderne.
Jeg har vurderet hvorvidt Herodot kan betragtes som en troværdig kilde, for selvom han skrev i kort
tid efter pyramidernes konstruktion (kort tid sammenlignet med i dag), så har han en del fejl med i
sine beretninger grundet forkerte oversættelser og mundtlig overlevering. Derfor kan historikere
som Edwards, som først skriver i 1967, alligevel give os en meget mere præcis forklaring på vores
spørgsmål da vi i dag har samlet så meget viden om det oldægyptiske samfund og kan oversætte
meget mere præcist end Herodot, eller eventuelt hans tolk, har kunnet.
Ud fra de matematiske kilder der er overlevet indtil den dag i dag kan vi se hvad matematikken har
været anvendt til. Hvis har været anvendt ved uddannelsen af skrivere, kan
eksemplerne herfra fortælle om, hvilke opgaver de blev forberedt på at kunne varetage. Det har
drejet sig om problemer om fordeling af forbrugsvarer, beregning af arealfordeling,
volumenberegninger og byggetekniske udregninger i form af bestemmelse af pyramidehældninger.
Dette er igen med til at give os et billede af det ægyptiske samfund for 6000 år siden, og hvordan
deres måde at leve på har været, og hvilke problemstillinger deres hverdag har inkluderet.
Hvor få kilderne til den ægyptiske matematik end er, så har historikere haft held med at give et
indtryk af de regnemetoder skriverne beherskede.
Pyramidetidens Ægypten har en så stor betydning for vores historie i dag. Der er stadig så mange
ting vi ikke ved og ikke har opdaget. Vi får hele tiden ny viden om ægypternes måder at leve på, og
gør hele tiden nye arkæologiske fund. Pyramidetidens Ægypten er nu blevet historie. Faraoerne i
tiderne efter, byggede ikke pyramider. Men pyramiderne som stadig står, vil for evigt være et minde
for os fra den tid.
23
Litteraturliste
Bøger:
OP, JL og JF beskriver alle den ægyptiske matematik nøje og meget forståeligt. De har alle taget
udgangspunkt i kilderne , Moskva og Læderrullen m.fl., og givet deres svar begrundet på
dem:
Olaf Pedersen, OP, Matematik og naturbeskrivelse i oldtiden, Akademisk forlag København, 1975
Jens Lund, JL, Regn med en skriver, Munksgaard, København, 1953
Jesper Frandsen, JF, Ægyptisk matematik, Forlaget Systime A/S, Århus, 1996
Torben Holm-Rasmussen, Ansigt til ansigt med ægypterne, Pantheon, 1993
Mogens Carstensen, MC, Pyramidetidens Ægypten f.Kr., Gyldendal, 1987
Carsten Broder Hansen (m.fl.), Matematiske horisonter, DTU, Svendborgtryk
PB giver et rigtig godt indblik på hverdagslivet i det gamle Ægypten, ægypterne som folkeslag, kong Kheops
samt Kheopspyramiden:
Peter Bendow, PB, Pyramidetidens Ægypten, Aschehoug Dansk Forlag, 1947
MC bruger gamle førstehåndskilder som pyramidetekster og skrifter, samt Herodots beretninger til at
beskrive oldtidens Ægypten samt pyramidernes funktion:
E. Edwards, EE, The Pyramids of Egypt, Penguin Books, 1967
Artikler:
An overview of Egyptian mathematics
Artikel af J.J O’Connor December 2000, som giver et overblik over den ægyptiske matematik:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Egyptian_mathematics.html
Herodot som historiens fader, Mogens Herman Hansen, en historikers vurdering af Herodot,
”Historia” og hans troværdighed:
http://aigis.igl.ku.dk/2001,1/MHH-Hdt.pdf
Why were the pyramids built?, Larry Orcutt 2000, historiker Larry Orcutt kommenterer forskellige
forfatteres og ægyptologers teorier ang. Pyramidernes funktion:
http://www.catchpenny.org/whybuilt.html
24
Websider:
Det ægyptiske talsystem:
http://kielbergkurser.dk/Talsystemer/Egypten/Det_egyptiske_talsystem.htm
Pyramidernes mysterier:
http://www2002164.thinkquest.dk/Pyramidernes%20Mysterier/index2.html
:
http://www.math.washington.edu/~greenber/Rhind.html
og
http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=da&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/R
MP_2/n_table&prev=/search%3Fq%3Dpapyrus%2Brhind%26hl%3Dda%26sa%3DG&rurl=translat
e.google.dk&usg=ALkJrhgqLutGUUjG7mSsjsKJHjGYuS8BRA
:
http://en.wikipedia.org/wiki/Moscow_Mathematical_Papyrus
Pyramiderne:
http://netspirit.dk/new/?page=571
http://no.wikipedia.org/wiki/Oldtidens_Egypt
Billeder:
http://www.denstoredanske.dk/Rejser,_geografi_og_historie/Mellemøsten/Egypten/Egypten_i_oldti
den/Egypten_i_oldtiden_(Videnskab)/Egypten_i_oldtiden_(Videnskab_-_Matematik)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Mpap.JPG
25
Bilag 1
n
2
- tabellen
40
Bilag 2
Nogle af de ægyptiske enheder
41
Længdeenheder:
Alen
1 alen = 7 håndsbredder
= 28 fingre ~ 52,5cm
Khet
1 khet = 100 alen
~ 52,5m
Arealenheder:
Setat
1 setat = 1 khet
2
= 10000 alen
2
= 52,5
2
m
2
Alenstrimmel
1 alenstrimmel =
1 alen x 1000 alen
Rumfang:
Hekat
1 hekat =
30
1
alen
3
30 hekat = 1 alen
3
Bilag 3
Opgave 14 fra
42
40
Billedet er en scanning fra JF s. 31
41
Enheder fra JL s. 116
42
Billede fra http://en.wikipedia.org/wiki/File:Mpap.JPG