Studieretningsprojekt
Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 1 af 30
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
ABSTRACT:
The study examines the Principle of Equivalence and accelerating systems. The study gives an ac-
count of vector functions and their characteristics. In addition to that, it gives an account of ficti-
tious forces, Newton’s laws of motion and inertial reference frames. By making an experiment,
consisting of a box with water accelerating with constant acceleration, the study investigates the
Principle of Equivalence. The paper uses the experiment, to connect the theory with the experi-
mental results. Finally, the study puts the Principle of Equivalence into perspective by looking at
the operation and function of a centrifuge. Through this paper, different methods are used, to look at
the Principle of Equivalence. By making an experiment, this paper analyses the fictitious force
which occurs as a result of the accelerating system as given in the Equivalence Principle. By look-
ing at different reference frames relative to an inertial reference frame the Principle of Equivalence
will be found. Vector functions are often used to describe the motion of an object. The position vec-
tor is determined by its coordinate functions. The way to differentiate a vector function is to differ-
entiate the coordinate functions. Using vector functions to describe a translatory moved reference
frame witch moves with constant acceleration, it is found that, there is no way to determine whether
the elevator is in free space or whether it is falling in a gravitational field – and this is the Principle
of Equivalence. Through the experiment it was observed, that the fictitious force made a new result-
ing gravitational field witch the water reacted at. By putting the Principle of Equivalence into per-
spective by looking at a centrifuge, which performs a circular motion with constant velocity, it was
found that the fictitious force, the centrifugal force, occurs as a result of the Principle of Equiva-
lence.
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 2 af 30
Indholdsfortegnelse
Vektorfunktioner ........................................................................................................................................... 4-5
Sted vektor...................................................................................................................................................... 4
Vektorfunktioner ........................................................................................................................................ 4-5
Definitionsmængde ....................................................................................................................................... 5
Kontinuitet og differentiabilitet .................................................................................................................... 6-7
Kontinuitet ...................................................................................................................................................... 6
Differentiabilitet ......................................................................................................................................... 7
De kinematiske begreber og vektorfunktionens differentiale .................................................................... 8-9
Newtons love og inertialsystem ................................................................................................................. 9-10
Fiktive kræfter ............................................................................................................................................ 10-11
Relativ bevægelse ...................................................................................................................................... 11-15
Jævnt translatorisk bevæget referencesystem og Galilei-transformationen ........................................... 11-13
Translatorisk accelereret referencesystem .............................................................................................. 13-15
Ækvivalensprincippet ............................................................................................................................... 15
Eksperiment – Undersøgelse af ækvivalensprincippet ............................................................................ 15-19
Perspektivering - En centrifuges virkemåde ............................................................................................ 20-21
Konklusion .................................................................................................................................................. 21-22
Litteraturliste ................................................................................................................................................... 23
Bilag ............................................................................................................................................................ 24-30
Side 3 af 30
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
INDLEDNING:
I 1687 formulerede Isaac Newton i sit værk ”Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” bl.a.
den klassiske teori for massetiltrækning og legemers bevægelse. Dette værk, regnes for at være et af
verdens mest betydningsfulde naturvidenskabelige værker nogensinde.
1
Omkring 200 år efter denne
udgivelse formulerede Albert Einstein det såkaldte ækvivalensprincip i 1907, på baggrund af sine
yderst abstrakte tankeeksperimenter. Einstein havde netop forestillet sig en elevator indeholdende
en person, som slap et æble.
2
Det er for denne person umuligt, at skelne om hvorvidt elevatoren
befinder sig i gravitationelt felt g, eller om elevatoren accelererer opad i rummet med accelerationen
a = g, da æblet i begge tilfælde vil falde mod gulvet med accelerationen a = g.
3
I dette studieretningsprojekt er ækvivalensprincippet beskrevet og udledt ved brug af accelererede
systemer. Derudover er en accelererende vogn på en luftpudebænk undersøgt eksperimentelt og de
eksperimentelle resultater sammenholdt med teorien omkring ækvivalensprincippet. Yderligere er
ækvivalensprincippet perspektiveret til grundprincipperne for en centrifuges virkemåde.
God fornøjelse!
1
http://da.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton - besøgt d. 13/12 2012
2
http://www.rostra.dk/louis/andreart/Einstein.html - besøgt d. 13/12
3
”An introduction to mechanics”: Kap. 8. s. 346-347.”
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 4 af 30
Vektorfunktioner
Stedvektor:
For at kunne sætte sig ind begrebet vektorfunktioner, må man først kende til stedvektoren, som ty-
pisk betegnes . Stedvektoren er en vektor, som går fra koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0)
origo til et givet punkt P. Stedvektorens komposanter er også punktet P’s koordinater.
4
Vektorfunktioner:
Definition 1:
5
En vektorfunktion er en matematisk funktion med én eller flere variable. Vektorfunktionen kan be-
skrives ved vektorer og skalarfunktioner. Skalarfunktioner er beskrevet ved netop ét tal, i modsæt-
ning til vektorer som beskrives af ét eller flere tal.
6
I dette studieretningsprojekt vil vektorfunktioner
beskrevet med vektorer undlades.
7
En vektorfunktions variable kaldes parametre og grafen for en
vektorfunktion kaldes en banekurve. Vektorfunktioner er multidimensionale, hvilket betyder at der
kan optræde uendelig mange indgange til vektorfunktionen, dog vil blot todimensionelle vektor-
funktioner behandles i denne opgave. Mange fysiske bevægelser kan med god tilnærmelse beskri-
ves i en plan, dvs. ved en todimensionel vektorfunktioner. Når man matematisk skal beskrive en
bevægelse i en plan, angiver man partiklens stedvektor som funktion af tiden t. Stedvektoren
har to koordinater x(t) og y(t), der hver for sig afhænger af tiden t.
8
Altså kan en plan kurve med tiden t som variabel generelt beskrives således:
Hvor x
0
og y
0
er startkoordinaterne.
Funktionerne x(t) og y(t) kaldes vektorfunktionens koordinatfunktioner. Tallet t kaldes paramete-
ren. Grafen for vektorfunktionen kaldes en banekurve.
9
For hver ændring der sker i parameteren t ændres de to koordinat-
funktioner, således at en linje kan trækkes direkte mellem punk-
terne og derved danner en vektorfunktion (se figuren til højre).
4
http://da.wikipedia.org/wiki/Stedvektor - besøgt d. 7/12 2012
5
”Matematik 4: Vektorfunktioner. s. 89.”
6
http://da.wikipedia.org/wiki/Skalar – besøgt d. 8/12 2012
7
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function -besøgt d. 12/12 2012
8
”Matematik højniveau 1: Kap. 3. Vektorfunktioner. s. 29.”
9
”Matematik højniveau 1: Kap. 3. Vektorfunktioner. s. 29.”
Ved en vektorfunktion forstås en funktion, hvis definitionsmængde er
reelle tal, og hvis værdimængde er vektorer. Grafen for en vektorfunktion
kaldes en banekurve.
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 5 af 30
Alle punkter er derfor dannet ved følgende betragtning:
10
1
1
1
xt
rt
yt
2
2
2
xt
rt
yt
n...
n...
n...
xt
rt
yt
Definitionsmængde:
11
Definitionsmængden for en vilkårlig todimensionel vektorfunktion er givet ved de
koordinatsæt som fremkommer af fællesmængden af koordinatfunktionerne:
Dmr Dmx Dmy
Der gælder for koordinatfunktionerne, at:
Dmx = og Dmy = , hvor er mængden af de reelle tal.
Værdimængden af vektorfunktionen Vm( er vektorer i planen.
10
”Matematik A: Vektorfunktioner. s. 42-46.”
11
”Matematik A: Vektorfunktioner. s. 42-46.”
Side 6 af 30
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Kontinuitet og differentiabilitet:
For at kunne behandle vektorfunktioner videre med henblik på differentiation, defineres kontinui-
tets- og differentiationsbegrebet.
Kontinuitet:
Definition 2:
12
12
Dette afsnit er baseret på: ” Matematik 4 s. 94.”
En vektorfunktion
siges at være kontinuert i
, hvis koordinatfunktionerne x og y er kontinuerte i
.
Lad x og y være koordinatfunktioner og lad .
er kontinuert i
.
når og for .
Hvis x og y er kontinuerte i ethvert , siger vi, at x og y er kontinuerte og der-
med er vektorfunktionen kontinuert.
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 7 af 30
Differentiabilitet:
Definition 3:
13
13
Dette afsnit er baseret på: ” Matematik 4. s. 95.” og ”Matematik højniveau 1. kap. 3. Vektorfunktioner. s.33-35.”
Vektorfunktionen er differentiabel i
, hvis differenskvotienten
har en grænsevektor for gående mod 0. Grænsevektoren kaldes differentialkvotienten af i
, og
den betegnes
.
(Bilag 1)
Hvis er differentiabel i hele sin definitionsmængde, siges funktionen at være differentia-
bel.
Derudover gælder det, at vektorfunktionen er differentiabel i t, hvis koordinat-
funktionerne x og y er differentiable i t:
Lad x og y være funktioner, der er defineret i et interval omkring
. Man siger, at funktionerne er dif-
ferentiable i
, hvis differenskvotienterne
og
har en grænseværdi for t gående mod
.
Grænseværdien kaldes funktionens differentialkvotient i og betegnes henholdsvis og .
Og der gælder, at
Altså findes den afledede vektorfunktion ved at differentiere koordinatfunktionerne.
Side 8 af 30
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
De kinematiske begreber og vektorfunktionens differentiale:
14
Før den egentlige dynamik behandles, må de kinematiske begreber introduceres. En given partikel-
bevægelse vil beskrives rent matematisk i det følgende.
For at bestemme den afledede funktion til vektorfunktionen , må de tilhørende koordinatfunkti-
oner differentieres
15
. Når en partikel bevæger sig ad en ret linje, vides det, at stedfunktionens afle-
dede funktion er hastighedsfunktionen og at accelerationsfunk-
tionen er den anden afledede funktion til stedfunktionen:
Men gælder disse sammenhænge mellem sted, hastighed og
acceleration også når bevægelsesretningen ikke er retlinjet? Til
dette anvendes stedvektoren i en plan med de differenti-
able koordinatfunktioner x(t) og y(t). Observér en partikel, som
bevæger sig langs en eller anden kurve i rummet (se figur 1 –
Bilag 2). Denne bevægelse kan beskrives ved, at drage sted-
vektorer til det løbende punkt P på kurven. Ethvert tidspunkt t
svarer da til en stedvektor, således at stedvektoren til det lø-
bende punkt er en funktion af tiden t:
Partiklens gennemsnitshastighed bestemmes ved, at betragte et
tidsinterval [t; t+]. Det fremgår af figur 2 (bilag 3), at partik-
len til tidspunktet t befinder sig i positionen P(t) med stedvek-
tor , mens den befinder sig i positionen P(t+) med sted-
vektor til tiden t+. Partiklen har altså bevæget sig
et stykke og en retning, som er givet ved:
Vektoren(differenkvotienten)
Kaldes middelhastigheden i tidsrummet fra t til t+.
Denne vektor har en grænseværdi for gående mod 0, ha-
stighedsvektoren, og der fås
16
:
14
Dette afsnit er baseret på: ”Gyldendals Gymnasiematematik: Grundbog A. s. 191-192” og ”Lærebog i mekanik,
Del 1: Newtons love. Kap. 2. s. 57-59.”
15
Jf. Def. 3 s. 7
16
Ved brug af def. 3 s.7
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 9 af 30
Dermed er partiklens hastighedsvektor til et givet tidspunkt t, differentialkvotienten tilhørende sted-
vektorfunktionen:
Accelerationsvektoren
bestemmes som den tidsafledede af hastighedsvektoren og dermed
den anden afledede af stedvektoren:
Newtons love og inertialsystem:
Newtons tre bevægelseslove, som er grundlæggende i den klassiske mekanik formuleres således:
N1 (inertiens lov): "En partikel som ikke er påvirket af en kraft, eller af kræfter der ophæver hinan-
dens virkning, vil enten være i hvile eller foretage en jævn retlinet bevægelse."
17
Sagt med andre
ord, er partiklens hastighedsvektor konstant, hvis ingen kraftpåvirkning forekommer.
N2: "En partikel med massen m, der påvirkes af en resulterende kraft
, vil have en accelerati-
on a, som opfylder
18
N3: (Lov om aktion lig reaktion): "En partikel a der påvirker en partikel b med en kraft, vil blive
påvirket med en lige stor modsat rettet kraft."
19
Newton anvendte ordet ”partikel” frem for ordet ”legeme”. Denne brug forenkler beskrivelsen af
legemets geometriske situation, da legemet med god tilnærmelse kan opfattes som et geometrisk
punkt. Dette ordvalg benyttes derfor i opgaven.
20
N1 kaldes, som tidligere nævnt, inertiens lov. For
at Newtons 2. og 3. lov er gældende, skal inertiens lov først og fremmest være opfyldt. Hvis det
ønskes, at beskrive en given partikels bevægelse matematisk, kan et retvinklet koordinatsystem med
17
http://da.wikipedia.org/wiki/Newtons_love – besøgt d. 15/11 2012
18
http://da.wikipedia.org/wiki/Newtons_love – besøgt d. 15/11 2012
19
http://da.wikipedia.org/wiki/Newtons_love – besøgt d. 15/11 2012
20
”Lærebog i mekanik, 1. del: Newtons love. Kap. 2 s. 56-57”
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 10 af 30
begyndelsespunkt i O origo indføres. Koordinaterne x, y, z er funktioner af tiden t og stedvektor-
funktionen er bestemt ved de tre skalare funktioner x(t), y(t) og z(t):
Ovenstående udtryk kaldes en parameterfremstilling for banekurven med tiden t som parameter.
21
Hvis partiklens bevægelse ønskes beskrevet fysisk, skal der tages hensyn til koordinatsystemets
placering. Det er netop ikke muligt, at beskrive stedvektoren til en given partikel ud fra et matema-
tisk abstrakt punkt, men derimod muligt hvis fastlæggelse af koordinatsystemet sker ud fra referen-
ce til et materielt objekt. Et sådant stift referencelegeme og dens logiske udvidelse kaldes i fysikken
et referencesystem
22
. Derudover fastsættes et tidsmål passende til den fysiske bevægelse. Newtons
love forudsætter altså et referencesystem og et tidsmål. I netop et referencesystem gælder Newtons
love og et sådant referencesystem kaldes et inertialsystem.
23
Fiktive kræfter:
I den klassiske mekanik anvendes Newtons love til at beskrive
legemers bevægelse
24
. Når der arbejdes med referencesystemer
som ikke er inertialsystemer, kan Newtons love dog anvendes,
hvis der til de virkende kræfter, de såkaldte naturkræfter
25
, adderes
en eller flere fiktive kræfter.
Fiktive kræfter optræder kun i referencesystemer, der ikke er iner-
tialsystemer. Det er vigtigt at bemærke, at fiktive kræfter ikke er
naturkræfter, altså kræfter som skyldes en påvirkning fra et legeme
på et andet
26
, men i stedet er forårsaget af legemets acceleration.
27
De fiktive kræfter falder derfor bort hvis systemet er i hvile eller
bevæger sig med konstant hastighed i forhold til et inertialsystem,
hvilket medfører at Newtons 3. lov ikke er gældende for fiktive
kræfter.
28
Det er i mange tilfælde upraktisk direkte, at referere til
et inertialsystem, da mange eksperimenter foregår på jorden, og derfor vil det være mest naturligt at
referere disse til systemer, som er forbundet med jorden. Et sådant laboratoriumssystem må dog
tage hensyn til, at det ikke er et inertialsystem, da der forekommer en deltagelse i jordens rotation
omkring sin egen akse og yderligere jordens årlige bevægelse omkring solen. I sådanne ikke-
inertialsystemer vil frie partikler udføre accelererede bevægelser. For at kunne beskrive en bevæ-
gelse i et ikke inertialsystem ved brug af Newtons love, må disse love modificeres således, at det er
21
”Lærebog i mekanik, 1. del: Newtons love. Kap. 2 s. 59”
22
http://fys.bozack.dk/kurser/01fys1/specielrelteori.pdf - besøgt d. 18/12 – 2012 s.2
23
”Lærebog i mekanik, 1. del: Newtons love. Kap. 2 s. 58-61”
24
Jf. Newtons love og inertialsystemer s. 9-10
25
http://da.wikipedia.org/wiki/Naturkr%C3%A6fter – besøgt d. 9/12 2012
26
”Lærebog i mekanik, 1. del: Newtons love. Kap. 2 s. 61”
27
http://da.wikipedia.org/wiki/Fiktiv_kraft – besøgt d. 15/11 2012 og ”Mekanik: Relativ bevægelse, fiktive kræf-
ter: kap. 6. s. 1.”
28
”Mekanik: Relativ bevægelse, fiktive kræfter: kap. 6. s. 4.”
Side 11 af 30
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
muligt at beskrive en bevægelse i et ikke-inertialsystem. Dette gøres ved brug af fiktive kræfter,
som behandles senere i dette studieretningsprojekt.
29
Relativ bevægelse:
Som tidligere nævnt, falder de fiktive kræfter bort hvis systemet er i hvile eller bevæger sig med
konstant hastighed i forhold til et inertialsystem
30
. Dette vil nu udledes ved at kigge på et jævnt
translatorisk bevæget referencesystem.
Jævnt translatorisk bevæget referencesystem og Galilei-transformationen:
31
På ovenstående figur (se bilag 4) repræsenterer x, y, z et inertialsystem med O som origo. Et bevæ-
get referencesystem x*, y*, x* med begyndelsespunkt O* bevæger sig med konstant hastighed og
retlinjet i forhold til begyndelsespunktet O i inertialsystemet S. Det forudsættes at akserne i inertial-
systemet S er parallelle med akserne i det bevægede system S*. Vektoren
bestemmer de to
systemers indbyrdes beliggenhed. Ved translatorisk bevægelse forstås bevægelse uden rotation.
Positionen af en partikel P er da givet ved stedvektorerne i S og
i S*. Til et vilkårligt tidspunkt
t gælder, at:
(*)
Da det S* bevæger sig med konstant hastighed i forhold til S, må først forholdet mellem tidsmålene
i S og S* bestemmes. Tidsmålet i S betegnes t, mens det i S* betegnes t*. Det antages, at sammen-
hængen mellem t og t* er givet ved:
Hastighedsvektoren for de to systemer bestemmes ud fra tidligere udledning af følgende formel:
Og der fås ved differentiation med hensyn til tiden t:
og
29
”Mekanik: Relativ bevægelse, fiktive kræfter: kap. 6. s. 5.”
30
Jf. Fiktive kræfter s. 10
31
”Lærebog i mekanik, 1. del: Newtons love. Kap. 2 s. 66-69”
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 12 af 30
Ved differentiation af (*) med hensyn til tiden t fås:
Hvor
er hastigheden af O* i forhold til S. Denne hastighed er forudsat konstant. Det forud-
sættes, at
er meget mindre end lysets hastighed (da den specielle relativitetsteori eller skulle be-
nyttes). Lad så partiklen udfører en inertialbevægelse i S, således at er en konstant vektor. Det
fremgår, at betingelsen for, at partiklen også vil udfører en inertialbevægelse set fra S* med kon-
stant hastighed
er altså, at er en konstant og de to tidsmål er givet lineært afhængige:
Konstanten
kan elimineres ved at sætte
. Proportionalitetsfaktoren f er ifølge den klassiske
mekanik ikke afhængig af . Tidsmålet i den bevægede system S* og inertialsystemet S er sammen-
faldende og der gælder:
Ovenstående formel leder til følgende formulering:
Udfører en partikel en inertialbevægelse i systemet S, vil den også udføre en inertialbevægelse i
ethvert andet system S*, der er bevæger sig med konstant hastighed og retlinjet i forhold til S, så-
fremt det samme tidsmål kan anvendes i de to systemer.
Anden formulering:
Ethvert referencesystem, der bevæger sig med konstant hastighed og retlinjet i forhold til et inerti-
alsystem, er selv et inertialsystem. Modsat indses det, at kun systemer der bevæger sig jævnt og
retlinjet i forhold til S kan være inertialsystemer. Da alle faste punkter i ethvert inertialsystem er
potentielt frie partikler og derfor bevæges disse jævnt og retlinjet i forhold til inertialsystemet. Det
må der ud over også gælde at, alle punkter i et givet referencesystem bevæger sig med samme ha-
stighed i forhold til S, idet systemet ellers ikke kan være stift. Gruppen af alle inertialsystemer be-
står derfor af samtlige referencesystemer, der bevæger sig jævnt og retlinjet i forhold til et givet
inertialsystem.
32
Laves den forudsætning at, de to systemer S og S*’s begyndelsespunkter er sammenfaldende ved t
= t* = 0, er
, sådan at overgangen mellem de to systemer kan beskrives ved formlerne:
(**)
Og
Disse formler kaldes Galilei-transformationen. Hvis og betegner partiklens hastighed og acce-
leration i S, og
og
de tilsvarende størrelse i S* fås ved differentiation af (**) m.h.t. tiden t:
32
http://fys.bozack.dk/kurser/01fys1/specielrelteori.pdf - besøgt d. 18/12-2012 s. 5
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 13 af 30
og
Partiklen har derfor samme acceleration i S som i S*. Hvis massen m i begge systemer defineres
vha. accelerationen, må det gælde at, m = m* og videre vil det gælde, at:
En iagttager i det bevægede system S* må ifølge den Newtonske mekanik betragte
som den kraft
hvormed partiklen i S* påvirkes fra omgivelserne. Newtons 2. lov gælder således i uændret form i
alle inertialsystemer.
Tranlatorisk accelereret referencesystem:
33
Det viste sig, at systemer der translatorisk bevæger sig med konstant hastighed i forhold til hinan-
den er inertialsystemer
34
, men når systemet accelereres opstår problemer, som vil behandles i det
følgende.
Betragt ovenstående figur (se bilag 5): Inertialsystemet S(x, y, z) med begyndelsespunkt O som ori-
go, og det bevægede referencesystem S*(x*, y*, x*) med O* som origo. Koordinatsystemet vælges
således, at O og O* er sammenfaldende til tidspunktet t=0 og vektoren
betegnes
. Da det
forudsættes, at S* er accelereret i forhold til S, er accelerationen
af O* i forhold til O, forskellig
fra nul. Koordinatakserne antages at være parallelle og S* bevæger sig retlinjet i forhold til S, da
dette forenkler videre behandling af systemerne. Ved translatorisk bevægelse forstås bevægelse
uden rotation. En partikel P har til tiden t stedvektoren i S og
i S*. Det fremgår af figu-
ren, at:
(1)
Ved differentiation af (1) med hensyn til tiden t fås:
33
Dette afsnit er baseret på: ”Mekanik: Relativ bevægelse, fiktive kræfter: kap. 6. s. 2-4.” og ”Lærebog i mekanik, 2.
del: Relativ bevægelse. Kap. 6. s. 15-17.”
34
Jf. Jævnt translatorisk bevæget referencesystem og Galilei-transformationen s. 12
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 14 af 30
Da det tidligere er udledt at hastighedsvektoren er stedvektorens afledede
35
, fås:
(2)
Partiklens hastighed kaldes den relative hastighed, og
kaldes medføringshastigheden.
(2) udtrykker altså, at partiklens hastighed i inertialsystemet er summen af den relative ha-
stighed og medføringshastigheden. Ved differentiation af (1) fås:
Da det tidligere er udledt, at accelerationsvektoren er hastighedsvektorens afledede
36
fås:
(3)
Multipliceres (3) med massen m, fås:
Benyttes Newtons 2. lov (tidligere beskrevet) gældende i inertialsystemer, fås:
da
beskriver inertialsystemet og derfor medfører at dette udtryk kan erstattes med de na-
turligt forekommende kræfter på partiklen, de såkaldte naturkræfter
. Hvis Newtons 2. lov
skal gælde i ikke-inertialsystemet må kræfterne i inertialsystemet altså suppleres med størrelsen
. Denne størrelse kaldes en fiktiv kraft
og er modsatrettet accelerationen af S*.
Det gælder derfor, at accelerationen af det accelererede referencesystem er summen af naturkræf-
terne i inertialsystemet og en fiktiv kraft med samme størrelse som accelerationen af ikke-
inertialsystemet, men modsat rettet.
35
Jf. ”De kinematiske begreber og vektorfunktionens differentiale” s. 8-9
36
Jf. ”De kinematiske begreber og vektorfunktionens differentiale” s. 8-9
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 15 af 30
Er
en konstant acceleration vil der i S* optræde en fiktiv kraft der er proportionel med massen af
den bevægende partikel:
Dette minder om forholdene i det homogene tyngdefelt, hvor alle legemer får den sammen accelera-
tion uanset masse. Dette vil forårsage, at en iagttager i S* vil opfatte den fiktive kraft, som et homo-
gent tyngdefelt, der er til stede i hele systemet, mens en iagttager vil tolke den fiktive kraft, som et
resultat af det accelererede system S*. Ud af disse overvejelser formuleres følgende sætning, også
kaldet ækvivalensprincippet:
Ækvivalensprincippet:
Den fiktive kræft som opstår, som en konsekvens af systemets acceleration
kaldes også for
elevatorkraften
. Hvis systemet ikke er translatorisk bevæget, men derimod roterer, må yderlige-
re fiktive kræfter adderes. Der eksisterer netop fire fiktive kræfter: Centrifugalkræften
, Corio-
liskraften
, vinkelaccelerationskraften
og til sidst den udledte fiktive kræft; elevatorkraften
.
Eksperiment – Undersøgelse af ækvivalensprincippet:
I tidligere afsnit er ækvivalensprincippet udledt og vil nu undersøges eksperimentelt. Dette gøres
ved at lade en vogn accelerere på en luftpudebane med konstant acceleration. Årsagen til benyttel-
ses af luftpudebanen er, at gnidningskræften (næsten) kan elimineres. Nedenfor ses en illustration af
eksperimentets opstilling:
På opstilling 1 (Se bilag 6) er vognen fastbundet. Vognen
har massen m
vogn
. Vognen er påfyldt farvet vand, sådan at
vandhøjden tydeligt kan ses. Vandhøjden h er vandret –
vinkelret på tyngdekræften
. I den anden side er vognen
fastspændt en snor med et lod m
lod
. Kræfterne der virker
på vognen er tyngdekræften
og normalkræften
, der-
udover virker tyngdekræften også på loddet.
På opstilling 2(Se bilag 7) slippes vognen og den accelere-
rer. Vognen accelererer hen af luftpudebænken, da loddet
bliver trukket nedad af
. Den accelererende vogn kan
opfattes som et accelereret referencesystem med konstant
acceleration a. Da a er konstant fås af ækvivalensprincip-
pet, at naturkræfterne (i dette tilfælde blot
)
i sy-
stemet må suppleres med en kræft,
, som har sam-
For beskrivelsen af en partikels bevægelse i forhold til systemets S* er det ligegyldigt, om man
antager at S* er accelereret i forhold til et inertialsystem med accelerationen
, eller at der i
S* virker et homogent tyngdefelt med accelerationen
.
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 16 af 30
me størrelse, men er modsatrettet
. Naturkræfterne
mod
højre ækvivaleres dermed med en lige så stor kraft mod venstre, og
vandet påvirkes af et resulterende tyngdefelt
og stiller sig vin-
kelret herpå. Dette er netop hvad ækvivalensprincippet giver. Den
fiktive kraft
opstår altså som en konsekvens af at systemet
(vognen) accelererer. Dette resulterer i at vandoverfalden stiller sig
skævt med vinklen mellem vandret og lodret (se figuren til højre –
bilag 8). Idet vognen slippes får vognen accelerationen (ved brug af
Newtons 2. lov):
m
lod
betegner massen af loddet, m
vogn
betegner vognens masse og g betegner tyngdeaccelerationen:
Ved at betragte figuren til højre (se bilag 9) opstilles følgende sam-
menhæng:
Vinklen der opstår som funktion af loddets masse er altså givet ved (m = konstant):
Da vognen udfører en bevægelse med konstant acceleration (a > 0) kendes fra teorien i fysik bevæ-
gelsesligningen, som vognen vil følge:
hvor a er vognens acceleration, t er tiden,
hastigheden til t = 0 og
er positionen til t=0. Altså
er bevægelsesligningen for vognen givet ved et andengradspolynomium og grafen vil være en para-
bel.
Data:
Der udførtes tre forsøg med massen af loddet m
lod
som variabel:
Eksperiments
nr.
m
lod
[g]
m
vogn
[g]
1
149,6
738,6
2
169,2
739,0
3
199,5
738,5
Side 17 af 30
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Vognens bevægelse hen ad luftpudebænken filmen og med Edb-programmet ”Logger Pro” analy-
seres denne. Der laves følgende grafer til bestemmelse af accelerationen a af vognen under de tre
forsøg:
(Den venstre del af parablen er undladt, da det ikke giver mening, at tale om negativ tid i dette ek-
speriment og det er da kun positiv tid fra t = 0 der er brugbar.)
Forsøg 1(se bilag 10): (m
lod
= 149,6 g) Forsøg 2(se bilag 11): (m
lod
= 169,2
g)
Forsøg 3(se bilag 12): (m
lod
= 199,5 g)
Bestemmelse af vognens acceleration a og størrelsen af det resulterede tyngdefelt
:
På de tre grafer ses bevægelsesligningen for luftpudevognen med position i x-aksen som funktion af
tiden t. Den generelle bevægelsesligning er givet ved:
Da det forudsættes at og er den specifikke bevægelsesligning for luftpudevognen
givet ved:
(*)
Side 18 af 30
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Der er udført regression på de tre grafer og det fremgår, at punkternes placering stemmer godt
overens med den forventede sammenhæng (*). Anvendes regressionerne fra de tre forsøg til at be-
stemme accelerationen af vognen fås:
Forsøg 1: (m
lod
= 149,6 g)
Regression:
da undlades disse, da værdierne af disse er så minimale.
Sammenlignes ovenstående formel med (*) bestemmes accelerationen a:
Beregnes accelerationen ved brug af den teoretiske formel, fås:
Afvigelse:
Denne acceleration mod højre ækvivaleres med et lige så stort tyngdefelt mod venstre, og vandet
mærker et resulterende tyngdefelt
og stiller sig vinkelret herpå. Størrelsen af
er derfor:
Det resulterende tyngdefelt som vandet mærker er bestemmes ved at anvende Pythagoras’ læresæt-
ning (da der dannes en retvinklet trekant med
som hypotenusen):
Altså er det resulterende tyngdefelt
.
På samme vis beregnes accelerationen og størrelsen af det resulterede tyngdefelt
i henholdsvis
2. og 3. forsøg. Dette vil ikke gøres her, men resultaterne heraf vil fremgår en skemaet nedenfor.
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 19 af 30
Forsøgs
nr.
m
lod
[g]
m
vogn
[g]
a
beregnet
a
regression
a
afvigelse
1
149,6
738,6
1,65
1,64
0,71 %
9,96
2
169,2
739,0
1,829
1,839
0,52 %
9,99
3
199,5
738,5
2,089
2,078
0,51 %
10,04
Bestemmelse af vinkel
Vinkel beregnes ved brug af den udledte formel:
Forsøg 1:
,
Ligeledes beregnes også vinkel i henholdsvis 2. og 3. forsøg.
På de tre stilbilleder af vognen i de tre forsøg (se bilag 13, 14, 15) er vinkel indtegnet og målt. De
tre vinkler i henholdsvis forsøg 1, 2 og 3 er sammenlignet med den beregnede værdi af vinklen og
afvigelsen fundet i skemaet nedenfor.
Forsøgs
nr.
m
lod
[g]
m
vogn
[g]
afvigelse
1
149,6
738,6
9,561
10
4,4 %
2
169,2
739,0
10,55
11
4,1 %
3
199,5
738,5
12,01
12
0,1 %
Det fremgår af de forholdsvis små afvigelser, at vinklen kan beskrives ved den opstillede sammen-
hæng og at teorien altså stemmer overens med de eksperimentelle resultater.
Fejlkilder: Der kunne optræde en fejlkilde i forsøget m.h.t. bestemmelsen af vinkel , da vandet
efter snoren slippes vil opleve et ryk, som vil forårsage at vandet vil skvulpe. Dette vil resultere i, at
vinklen enten vil blive for stor eller for lille. Der vil i teorien gå uendelig lang tid inden ligevægten
hvor vandet vil stille sig i ro under den konstante acceleration vil forekomme. Der er dog taget høj-
de for dette på de tre stilfotos, da de er taget på til et tidspunkt hvor vandet nogenlunde ligger i ro i
beholderen.
Konklusion:
Ækvivalensprincippet er blevet undersøgt ved at lade en vogn accelererer med konstant acceleration
på en luftpudebænk. Det fandtes, at når vognen accelererer, opstår en fiktiv kræft
modsatret-
tet de virkende naturkræfter, men med samme størrelse. Denne fiktive kræft skaber et resulterende
tyngdefelt
, som vandet i vognen påvirkes af og stiller sig vinkelret derpå. Ved at bestemme
accelerationen af vognen bestemmes størrelsen af det resulterende tyngdefelt
i de tre forsøg
med forskellige accelerationer. Det fremgår, at jo større accelerationen bliver, jo større bliver
.
Dette fremgår også ved måling/beregning af den vinkel vandet stiller sig på mellem vandret og lod-
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 20 af 30
ret. Altså stemmer teorien omkring ækvivalensprincippet overens med de eksperimentelle resultater.
I nedenstående skema er resultaterne af databehandlingen opsummeret:
Forsøgs
nr.
m
lod
[g]
m
vogn
[g]
a
beregnet
a
regression
a
afvigelse
1
149,6
738,6
1,65
1,64
0,71 %
9,96
2
169,2
739,0
1,829
1,839
0,52 %
9,99
3
199,5
738,5
2,089
2,078
0,51 %
10,04
Forsøgs
nr.
m
lod
[g]
m
vogn
[g]
afvigelse
1
149,6
738,6
9,561
10
4,4 %
2
169,2
739,0
10,55
11
4,1 %
3
199,5
738,5
12,01
12
0,1 %
Perspektivering - En centrifuges virkemåde:
Det fremgik af eksperimentet, at ækvivalensprincippet kunne forklare hvorfor vandet stillede sig
skævt under konstant acceleration af systemet og ækvivalensprincippet kan desuden anvendes til at
forklare overraskende mekaniske forsøg. Ved for eksempel at kigge på Prytz’ lygteforsøg
37
, hvor et
lys svinges rundt i en cirkelbevægelse med konstant vinkelhastighed. Et lys med massen m udfører
en jævn cirkelbevægelse med radius R omkring centrum af cirklen. Til denne cirkelbevægelse kræ-
ves, at summen af naturkræfterne peger mod cirklens centrum. Man kan vise, at kræften som virker
på lyset mod centrum er givet ved:
38
hvor
er en enhedsvektor rettet fra lyset mod centrum af cirklen. Denne kræft kaldes centripetal-
kraften
.
39
Ved brug af ækvivalensprincippet findes det, at der opstår en fiktiv kraft rettet fra lyset og ud af
cirklen. Denne kraft kaldes centrifugalkraften
og er lige så stor som centripetalkraften, men
modsatrettet:
37
”Lærebog i mekanik, 2. del: Relativ bevægelse. Kap. 6. s. 17.”
38
”FysikABbogen2: Cirkelbevægelse. Kap 6. s. 230-232.” og fysikforelæsning ved PPR på Skive Gymnasium.
39
Mekanik: Relativ bevægelse, fiktive kræfter: kap. 6. s. 9-10”
Side 21 af 30
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Denne fiktive kraft
danner med tyngdekraften et nyt resulterende tyngdefelt og lysets flamme
stiller sig vinkelret herpå, da det antages at lyset ikke er påvirket af luftmodstanden (se figuren ne-
denfor- bilag 16):
På venstre side af figuren ses cirkelbevægelsen oppe fra og på den højre ses bevægelsen fra siden.
På begge figurer er centrum C markeret. Centrifugalkraften
resulterer i, at et nyt tyngdefelt
opstår og lysets flamme stiller sig vinkelret herpå netop, lige som vandoverfladen i eksperi-
mentet gjorde. Altså er centrifugalkraften en konsekvens af systemets rotation ifølge ækvivalens-
princippet. Det er netop denne kraft som får til deltager i en jævn rotation, fx en karruselpassager, til
at føle sig slynget en væk fra centrum. Denne fiktive centrifugalkraft anvendes bl.a. i centrifuger.
En centrifuge er en maskine, hvori en beholder sættes i rotation. Den virker således, at den adskiller
væsker med forskellig massefylde eller adskiller væsker fra faste stoffer ved hjælp af centrifugal-
kraften. Væsker med den højeste massefylde påvirkes mest af centrifugalkraften, da disse har større
massefylder og bliver presset yderst i beholderen (ud mod ydercirklen). Væsker med mindre masse-
fylde vil således blive påvirket af en mindre centrifugalkraft og ligge inderst i beholderen (ind mod
centrum). Det forholder sig sådan, at disse processer sagtens kunne foregå alene ved tyngdekraftens
hjælp, men da centrifugalkraften er langt større end tyngdekraften, går processen langt hurtigere.
Denne brug af en centrifuge til at adskille væsker eller faste stoffer bruges nyttigt indenfor diverse
erhverv, bl.a. i mejerifaget til at skille mælk og fløde, men bl.a. også i biologien og medicinen an-
vendes centrifugen, dog er dette en ultracentrifuge, som kan adskille selv meget små partikler med
forskellige massefylder.
40
Denne fiktive kraft, centrifugalkraften, som opstår som en konsekvens af
ækvivalensprincippet kan altså benyttes til mange mulige formål.
Konklusion:
I denne opgave er ækvivalensprincippet og accelererede systemer behandlet. Vektorfunktioner er
matematiske funktioner med én eller flere variable. Vektorfunktionen kan beskrives ved vektorer og
skalarfunktioner. En vektorfunktions variable kaldes parametre og grafen for en vektorfunktion
kaldes en banekurve. Vektorfunktioner er multidimensionale. Mange fysiske bevægelser kan med
god tilnærmelse beskrives i en plan, dvs. ved en todimensionel vektorfunktion:
hvor er stedvektoren, x(t) og y(t) er koordinatfunktioner, t er parameteren og x
0
og y
0
er start-
koordinaterne.
40
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Kemi/Kemisk_laboratorie-
_og_fabriksterminologi/centrifuge – besøgt d. 13/12 2012
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 22 af 30
Vektorfunktions differentiale og dens hastighed og acceleration er behandlet med henblik på be-
skrivelsen af accelererede systemer. Det fandtes at en given partikels hastighedsvektor til et givet
tidspunkt t, er differentialkvotienten tilhørende stedvektorfunktionen:
Og at accelerationsvektoren
bestemmes, som den tidsafledede af hastighedsvektoren og
dermed den anden afledede af stedvektoren:
Disse udledninger af stedvektor, hastighedsvektor og accelerationsvektor anvendtes til at kigge på
forholdet mellem et inertialsystem og et translatorisk bevæget system med konstant hastighed. Det
fandtes, at referencesystemer, som bevæger sig translatorisk med konstant hastighed er inertialsy-
stemer og dermed kan Newtons love anvendes i disse. Ved at betragte et accelereret translatorisk
bevæget system fandtes det, at naturkræfterne skal suppleres en fiktiv kræft
for at Newtons love
er gældende.
Fiktive kræfter optræder kun i referencesystemer, der ikke er inertialsystemer. Det er vigtigt at be-
mærke, at fiktive kræfter ikke er naturkræfter, altså kræfter som skyldes en påvirkning fra et legeme
på et andet, men i stedet er forårsaget af legemets acceleration. Denne kræft
har samme størrelse
som summen af naturkræfterne men er modsatrettet. Dette ledte til udledningen af ækvivalensprin-
cippet, som siger at, for beskrivelsen af en partikels bevægelse i forhold til systemets S* er det lige-
gyldigt, om man antager at S* er accelereret i forhold til et inertialsystem med accelerationen
,
eller at der i S* virker et homogent tyngdefelt med accelerationen
.
Et eksperiment er udført for at undersøge det udledte ækvivalensprincip og gennem databehandling
fandtes det er teorien og den eksperimentelle resultater stemte godt overens. Til sidst er ækviva-
lensprincippet perspektiveret til ikke-translatorisk bevægede systemer, netop til en cirkelbevægelse
med konstant vinkelhastighed. Som følge af ækvivalensprincippet opstår en modsatrettet, men lige
så stor kraft, centrifugalkraften
af centripetalkræften
som en konsekvens af systemets jævne
rotation. Denne centrifugalkraft anvendes i centrifuger, hvor den fiktive kraft bliver anvendt til at
adskille væsker med forskellig massefylde. Centrifuger anvendes i dag i mange forskellige erhverv,
bl.a. indenfor mejeribranchen, biologien og medicinen.
Side 23 af 30
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Litteraturliste:
Elvekjær, Finn og Torben Benoni: Newtons love: FysikABbogen2: Cirkelbevægelse 2. udgave. 1.
oplag. Systime, 2012. kap. 6. s. 230-232.
Christiansen, Gunnar, Erik Both og Preben Østergaard Sørensen: Kapitel 6: Relativ bevægelse, fik-
tive kræfter: Mekanik. Laboratoriet for Teknisk Fysik Danmarks Tekniske Højskole (1990). Kap. 6
s. 1-23.
Knudsen, Ole og Olaf Pedersen: Newtons love: Lærebog i mekanik, Del 1. Akademisk for-
lag(1976). Bind 1. Kap. 2. s. 56-71
Knudsen, Ole og Olaf Pedersen: Relativ bevægelse: Lærebog i mekanik, Del 2. Akademisk forlag
København(1975). Bind 2. Kap. 6. s. 5-19.
K. Holth m.fl.: Differentialregning: Matematik Grundbog 1. Trip(1987). s. 139-145.
Clausen, Flemming m.fl.: Vektorer og geometri i planen: Gyldendals Gymnasiematematik: Grund-
bog A. 1. udgave. 2. oplag. Nordisk forlag(2008). s. 76-100 og s. 191-192.
Mikkelsen, Torben m.fl.: Vektorfunktioner: Matematik 4: Teknisk Gymnasium. Erhvervsskolernes
forlag(1998). s. 89-112.
Schultz, Jonny: Vektorfunktioner: Matematik højniveau 1. 1. udgave. 2. oplag. Trip(1990). Kap. 3.
s. 29-58.
Larsen, Jacob og Martin Gyde Poulsen: Vektorfunktioner: Matematik A: Matematisk kompendium
i HTX 3år. De naturvidenskabelige. s. 42-46.
Kleppner, Daniel og Robert J. Kolenkow: Noninertial systems and fictitious forces: An introduction
to mechanics. McGraw-Hill Book company (1978). Kap. 8.
http://da.wikipedia.org/wiki/Stedvektor - besøgt d. 7/12 2012
http://da.wikipedia.org/wiki/Skalar – besøgt d. 8/12 2012
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector-valued_function -besøgt d. 12/12 2012
http://da.wikipedia.org/wiki/Newtons_love – besøgt d. 15/11 2012
http://da.wikipedia.org/wiki/Naturkr%C3%A6fter – besøgt d. 9/12 2012
http://da.wikipedia.org/wiki/Fiktiv_kraft – besøgt d. 15/11 2012
http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Kemi/Kemisk_laboratorie-
_og_fabriksterminologi/centrifuge – besøgt d. 13/12 2012
http://fys.bozack.dk/kurser/01fys1/specielrelteori.pdf - besøgt d. 18/12-2012
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 24 af 30
Bilag:
Bilag 1:
Bilag 2
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 25 af 30
Bilag 3:
Bilag 4:
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 26 af 30
Bilag 5:
Bilag 6:
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 27 af 30
Bilag 7:
Bilag 8:
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 28 af 30
Bilag 9:
Bilag 10:
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 29 af 30
Bilag 11:
Bilag 12:
Studieretningsprojekt 2012 Ækvivalensprincippet og accelererede systemer
Side 30 af 30
Bilag 16: