Alan Turing – Mennesket
og matematikeren
22/12 2010
Thyge Jørgensen, 2.a
Fag: Matematik og Engelsk
Side 2 af 17
Indholdsfortegnelse
1 Indledning ......................................................................................................................................... 3
2 Kombinatorik ..................................................................................................................................... 3
2.1 Additions- og multiplikationsprincippet ..................................................................................... 3
2.2 Permutationer og kombinationer .............................................................................................. 4
3.3 Binomialkoefficienter ................................................................................................................. 6
2.4 Kryptering og kombinatorik ..................................................................................................... 10
2.4.1 Monoalfabetisk kryptosystemer........................................................................................ 10
2.4.2 Additive kryptosystemer.................................................................................................... 11
3 Breaking the Code ........................................................................................................................... 12
4 Konklusion ....................................................................................................................................... 15
5 Litteraturliste ................................................................................................................................... 17
5.1 litteratur ................................................................................................................................... 17
Side 3 af 17
1 Indledning
Jeg har valgt at skrive min SRO om Alan Turing. En britisk matematiker, som levede under 2.
Verdenskrig. Han var bl.a. med til at knække Enigma koden, som tyskerne brugte til at sende
hemmelige militære meddelelser med. Dette gjorde han i fællesskab med en række andre
matematikere, i Bletchley Park.
Udover at være en fantastik matematiker, var Turing også homoseksuel, og det var på
pågældende tidspunkt ulovligt og strafbart at være. Han lagde aldrig selv den store skjul på hans
homoseksualitet, og det førte visse problemer med sig. Jeg vil i min opgave forholde mig til, hvilke
problemer dette kom til at give, for hans arbejde som matematiker. Til dette vil jeg analysere
skuespillet Breaking the Code, som handler om netop Alan Turing, og kodebrydningen af Enigma.
Med henblik på hans arbejde med kryptologi, vil jeg arbejde med kombinatorik, for at kunne
koble det sammen med hans arbejde med Enigma kodens løsning, og hvor stort et arbejde det har
været.
2 Kombinatorik
2.1 Additions- og multiplikationsprincippet
Til at redegøre for additionsprincippet vil jeg først kigge på et eksempel.
I eksemplet har vi nogle muligheder. I dette eksempel skal vi have en to retters menu på en
restaurant. Vi kan få forret, hovedret og dessert. Under hver af retterne er der nogle forskellige
muligheder. Under forretten er der 3 muligheder, under hovedretten er der 5 muligheder og
under desserten er der 2 muligheder. Vi skal enten have 1 forret og 1 hovedret, eller 1 hovedret
og 1 dessert. Altså får vi disse muligheder for at vælge en menu:
1
3 5 5 2 m + =
Hvor 3 er antallet af forretsmuligheder, 5 er antallet af hovedretsmuligheder og 2 er
dessertmuligheder. M er antallet af menu muligheder, vi får ud af regnestykket. Hvis vi prøver at
bruge bogstaver i stedet for tal får vi dette:
2
1
Kristensen et al. (2010) p. 1
2
Ibid p. 1
Side 4 af 17
f h h d m + =
Eller:
()h f d m+=
Hvor vi så bare sætter h udenfor en parentes.
Til at redegøre for multiplikationsprincippet kan vi kigge på det samme eksempel.
I dette eksempel vil dog ikke kun nøjes med en 2 retters menu, men vi vil have en 3 retters menu.
Vi bruger de samme tal som før og får dette:
3
3 5 2 m =
Hvis vi igen prøver at sætte bogstaver ind i stedet for tallene får vi følgende:
f h d m =
2.2 Permutationer og kombinationer
Inden jeg kan redegøre for permutationer og kombinationer, vil jeg definere n!:
For n ∈ N ∪ {0}
! ( 1) ( 2)....... 1n n n n= − −
4
Og 0! defineres:
0! 1=
5
Udover at definere n! vil jeg også definere K(n,r) som:
For n ∈ N og r ∈ N ∪ {0}, hvor 0 ≤ r ≤ n, angiver K(n,r), det antal måder, hvor r elementer kan
udvælges blandt n elementer.
6
Til at redegøre for permutationer og kombinationer vil jeg kigge på et eksempel.
3
Kristensen et al. (2010) p. 1
4
Ibid p. 3
5
Ibid p. 3
6
Ibid p. 4
Side 5 af 17
Vi har et fodboldhold med 15 spillere hvor der skal udvælges 11 spillere til at starte på banen. Dvs.
at n er 15 og r 11, og antallet af måder dette kan gøre på er derved K(15,11).
7
Da vi nu har valgt de 11 spillere skal de placeres på pladserne på banen, og det kan gøres ved 11!
måder. Da han både skal vælge spillerne og pladserne de skal spille på får vi ifølge
multiplikationsprincippet:
8
(15,11) 11!K
Dette kan vi skrive på en anden måde hvis vi siger at han under udvælgelsen af de 11 spillere også
placere dem på banen, og vi får:
9
5
Dette får vi fordi der er 15 valgmuligheder ved den første plads, 14 ved den anden plads osv. Dette
kan vi også kalde en permutation, hvis vi siger, at rækkefælgen de bliver udtaget i har betydning.
Altså bliver den første udtagne målmand, den anden udtagne forsvarer osv. For at det kan lade sig
gøre, at sige det på denne måde, må vi også konstatere, at alle spillerne kan spille alle pladser.
Hvis vi i stedet siger at dette er en kombination er rækkefølgen helt uden betydning, og den første
udtagne kan derfor både være målmand, forsvar, midtbane eller angriber. Altså har rækkefølgen
her ingen betydning.
10
Da de to ovenstående muligheder for at regne dette ud må være ens, kan vi passende sætte dem
lig med hinanden. Altså får vi:
11
(15,11) 11! 5
5
(15,11)
11!
K
K
=
=
Hvis vi prøver at skrive dette med bogstaver i stedet får vi:
7
Kristensen et al. (2010) p. 4
8
Ibid p. 4
9
Ibid p. 4
10
Ibid p. 4
11
Ibid p. 4
Side 6 af 17
( 1) ( 2)..... ( 1)
( , )
!
n n n n r
K n r
r
− − − +
=
Denne formel
Vi prøver nu at regne videre på formlen med tallene:
12
5
(15,11)
11!
5 (15 11)!
(15,11)
11! (15 11)!
5 4!
(15,11)
11! (15 11)!
5 4 3 2 1
(15,11)
11! (1
K
K
K
K
=
−
=
−
=
−
=
5 11)!
15!
(15,11)
11! (15 11)!
K
−
=
−
Denne endelig formel kan vi også skrive med bogstaver i stedet for tal, og vi får:
!
( , )
! ( )!
n
K n r
r n r
=
−
13
3.3 Binomialkoefficienter
Binomialkoefficienter er, antal måder man kan udtage r elementer af n mulige.
Binomialkoefficienter bliver beskrevet ved K(n,r)eller dette:
14
!
( , )
! ( )!
n
K n r
r n r
=
−
og
( 1) ( 2)..... ( 1)
( , )
!
n n n n r
K n r
r
− − − +
=
12
Kristensen et al. (2010) p. 5
13
Ibid p. 4
14
Ibid p. 4
Side 7 af 17
Disse formler kan sættes ind i et uendeligt mønster, også kaldet Pascals trekant. Inden jeg sætter
dem ind i dette mønster vil jeg dog lige regne på nogle sætninger, da dette kan være meget
praktisk.
15
Jeg beviser K(n,0) = 1 ved hjælp af formlerne og definitionerne fra før:
16
!
( ,0)
0! ( 0)!
!
( ,0)
1!
( ,0) 1
n
Kn
n
n
Kn
n
Kn
=
−
=
=
Jeg beviser K(n,1) = n ved hjælp af formlerne og definitionerne fra før:
17
!
( ,1)
1! ( 1)!
!
( ,1)
( 1)!
( 1)..... 1
( ,1)
( 1) ( 2)..... 1
( ,1)
n
Kn
n
n
Kn
n
nn
Kn
nn
K n n
=
−
=
−
−
=
− −
=
Jeg beviser K(n,n) = 1 ved hjælp af formlerne og definitionerne fra før:
18
15
Kristensen et al. (2010) p. 7
16
Ibid p. 5
17
Ibid p. 5
18
Ibid p. 5
Side 8 af 17
!
( , )
! ( )!
!
( , )
! (0)!
( , ) 1
n
K n n
n n n
n
K n n
n
K n n
=
−
=
=
Jeg beviser K(n,n-r) = K(n,r) ved hjælp af formlerne og definitionerne fra før:
19
!
( , )
( )! ( ( )!
!
( , )
( )! ( )!
!
( , )
( )! !
n
K n n r
n r n n r
n
K n n r
n r n n r
n
K n n r
n r r
−=
− − −
−=
− − +
−=
−
I den sidste af sætningerne kan man også sige at man kan vælge r elementer ud af n elementer
ligeså mange gange som man kan fravælge r (n-r) elementer af n elementer.
20
Nu kan vi prøve at sætte de fundne sætninger ind i Pascals trekant:
21
22
19
Kristensen et al. (2010) p. 5
20
Ibid p. 5
21
Ibid p. 6
22
http://www.tutorvista.com/topic/pascal-formula
Side 9 af 17
Når vi kigger på disse indsatte tal, kan vi se en lighed mellem dem og nogle af sætningerne. K(0,0)
kan ses som K(n,n), og den fortsætter hele vejen ned af højre side. I venstre side kan disse tal ses
som K(n,0). Rækken indenfor denne kan ses som K(n,1). De 3 tal, som vi nu ikke har sat en sætning
på er K(3,2), K(4,2) og K(4,3). Disse tal kan ses som sætningen K(n,r). Nu skal dette ikke ses som, at
trekanten stopper her, men den fortsætter selvfølgelig i et uendeligt mønster, og det samme gør
det sætningsmønster, jeg lige har fastsat.
23
Hvis vi forsøger at regne sætningerne ud får vi dette:
24
25
Hvis vi kigger lidt nærmere på tallene i trekanten, kan vi se at disse tal, for det første, passer med
de sætninger jeg havde sagt de skulle passe med, og dernæst, hvis vi plukker et tal ud, 10 f.eks., og
kigger på tallene lige over, 6 og 4, og adderer dem får vi tallet under. Dette kan også udtrykkes
som en formel:
26
( 1, 1) ( , ) ( , 1)K n r K n r K n r+ + = + +
27
Jeg vil ganske kort lige bevise at disse er lig hinanden ved hjælp af sætningerne om K(n,r):
23
Kristensen et al. (2010) p. 6
24
Ibid p. 6
25
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pascal_triangle_small.png
26
Kristensen et al. (2010) p. 7
27
Ibid p. 7
Side 10 af 17
! ! ! !
( , ) ( , 1)
! ( )! ( 1)! ( ( 1)! ! ( )! ( 1)! ( 1)!
! ( 1) ! ( ) ! ( 1) ! ( )
( 1) ! ( )! ( 1)! ( 1)! ( ) ( 1)! ( )! ( 1)! ( )!
! ( 1) !
( 1)! ( )!
n n n n
K n r K n r
r n r r n r r n r r n r
n r n n r n r n n r
r r n r r n r n r r n r r n r
n r n
r n r
+ + = + = + =
− + − + − + − −
+ − + −
+ = + =
+ − + − − − + − + −
+
+
+ −
( ) ! ( 1) ! ( )
( 1)! ( )! ( 1)! ( )!
! ( 1) ! ( ) ! ! ! ! ! ! !(1 )
( 1)! ( )! ( 1)! ( )! ( 1)! ( )! ( 1)! ( )!
( 1)!
( 1)! ( )!
n r n r n n r
r n r r n r
n r n n r n r n n n n r n n n n n
r n r r n r r n r r n r
n
r n r
− + + −
==
+ − + −
+ + − + + − + +
= = = =
+ − + − + − + −
+
+ −
Den sidste udregning vi ender med burde efter vores sætning om K(n,r) være lig dette:
( 1)!
( 1, 1)
( 1)! ( )!
n
K n r
r n r
+
= + +
+ −
Og dette passer jo perfekt da disse to sætninger må være lig med hinanden så, og det var det jeg
ville bevise.
2.4 Kryptering og kombinatorik
Kryptering er måder man kan skjule information for en part på. Indenfor kryptering, findes der
forskellige systemer, at gøre dette på. I det følgende vil jeg kigge nærmere på nogle af disse
systemer.
2.4.1 Monoalfabetisk kryptosystemer
I et monoalfabetisk kryptosystem, også kaldet substitutionsalfabet, bytter man det nuværende
bogstav ud med et helt andet. Hvis vi kigger på det danske alfabet kan dette være en mulighed for
sådanne:
Klartekst
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Y
Z
Æ
Ø
Å
Kryptote
kst
F
D
Q
V
T
H
S
A
J
O
N
C
X
P
Å
R
W
Z
M
B
Ø
L
I
K
G
U
Y
Æ
Altså har du en metode og en nøgle. Nøglen er den rækkefølge der er valgt for bogstaverne.
Metoden er at finde det bogstav du skal bruge i klarteksten og derefter finde det i kryptoteksten.
Hvis vi forsøger at bruge nøglen får vi:
Klartekst
J
E
G
H
E
D
D
E
R
T
H
Y
G
E
Kryptotekst
O
T
S
A
T
V
V
T
Z
B
A
K
S
T
Side 11 af 17
Dette kaldes enkryptering.
28
For at komme tilbage til den oprindelig tekst skal man selvfølgelig bare bruge nøglen. Dette kaldes
dekryptering.
29
Så kan man tænke på hvor sikkert det system er. Det kan man udregne, ved at bruge det vi
tidligere lærte om kombinatorik. Dette giver 29! muligheder, da der er 29 bogstaver til det første
bogstav, 28 bogstaver til det andet osv. Hvis man regner 29! ud får man:
30
30
29! 8,8418 10=
Hvilket må siges at være forfærdeligt mange muligheder, selv for en computer. Selvom dette
system vil tage meget lang tid at knække, har det også sine svagheder. Da det vil være for svært at
lære udenad, vil man blive nødt til at skrive nøglen ned. Denne kan blive eller blive stjålet også har
man ikke længere mulighed for at kunne enkryptere eller dekryptere meddelelserne.
31
2.4.2 Additive kryptosystemer
I et additivt kryptosystem roterer man alfabetet enten til højre eller til venstre. Man kan f.eks.
rotere alfabetet 5 pladser til venstre.
32
Klarteks
t
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
Kryptot
ekst
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Æ
Ø
Å
A
B
C
D
E
Dette giver dog et meget begrænset antal muligheder, nemlig kun 29. Hvis man gennemgår de 29
muligheder systematisk, skulle det ikke tage lang tid, at finde frem til de få løsningsmuligheder
som findes. Ved enkelte ord er det dog muligt, at der kan fremkomme flere løsningsmuligheder,
men dette er meget få på dansk, og da sætningen også skal give mening, burde det være rimelig
overkommeligt.
33
28
Landbrock et al. (1997) p. 22
29
Ibid p. 23
30
Ibid p. 23
31
Ibid p. 23
32
Ibid p. 24
33
Ibid p. 25
Side 12 af 17
3 Breaking the Code
”Breaking the Code” er et skuespil der omhandler Alan Turings liv. Det afspejler hans liv, som
matematiker og menneske. I skuespillet følger man Turings vellykkede forsøg på at knække
tyskernes Enigma kode. Samtidig følger vi også hans liv udenfor matematikken. Ud fra dette
skuespil, vil jeg karakterisere Turing.
Vi bliver hurtigt gjort opmærksom på, at hans intelligens ikke er som andres. På side 13 omtaler
Turing, i en samtale med Dillwyn Knox, hans kollegaer fra Cambridge. Senere, i den samme
samtale, spørg Knox til hans ophold på Princeton. To yderst prestigefyldte universiteter, i
henholdsvis, England og USA. Vi får ikke af vide hvad han foretog sig på Princeton, men vi får af
vide, at han har kollegaer på Cambridge, og derfor må være ansat der. !!!!
Senere i samtalen, mellem Turing og Knox, beder Knox, Turing, om med få ord, at forklare et
projekt Turing har arbejdet med. Han beder ham altså om at give en kort forklaring af projektet.
Det Turing derefter gør, er at give ham en forklaring på et godt stykke over en side i skuespillet.
Han har godt nok en vis indsigt i emnet, men hvis man spørg folk med en ”normal IQ” om en kort
forklaring, er det sjældent, at de kommer med forklaringer, der er så lange, som den han kommer
med her. Efter forklaringen siger Knox dette:
Knox: “Yes, I see; well, I don’t, but I see something – I think. Forgive me for asking a crass and naïve
question – but what is the point of devising a machine that cannot be built in order to prove that
there are certain mathematical statements that cannot be proved? Is there any practical value in
all this?”
34
Dette viser hvordan, Turing, i hans lange forklaring, sikkert mistede Knox undervejs, og at man
nok, skal have haft en ekstraordinær intelligens, for at have fanget dette i første gang.
Da Turing har svaret på Knox’ spørgsmål, komplimenterer Knox hans intelligens, og siger, at han
nok vil vise sig, at være et uvurderligt medlem, af det team de har samlet. Endnu et eksempel på
hans meget tydelige og høje intelligens, som kan ses hurtigt hos personer, som ellers først lige har
mødt ham.
34
Whitemore (1988) p. 17 l. 4
Side 13 af 17
På side 28 finder en samtale mellem Pat, Turings assistent og kæreste, og Turing. I samtalen
snakker Turing om symmetrien i en grankogle, og kobler det straks sammen med noget
matematiks. Han spørger Pat om matematikken, som hun godt kender til, men hun har aldrig
koblet det sammen med en grankogle. Han kobler det ikke kun på grankogler, men har også
opdaget mønstret hos blomster. Dette viser os hvordan hans hjerne helle tiden tænker
matematisk, og at han kan se matematik i alt.
Lige efter, Turing har vist dette for Pat, siger hun til ham, at hun elsker ham. Han svarer ikke, og
hun prøver igen, men uden held. Han svarer derimod, at han ikke ser sig selv, som en særlig
elskelig person. Hun modargumenterer selvfølgelig, men lige lidt hjælper det. Til sidst siger han
faktisk, at han elsker hende, som en ven. Bagefter slår han fast, at han er homoseksuel. Dette gør
selvfølgelig Pat ked af det. Han siger, at han ikke kan have et forhold til en kvinde, og såre muligvis
derved Pat endnu mere. Dette viser hvordan hans seksualitet skaber problemer for ham. Jeg kan
ikke forstille mig, at Pat og Turing har haft det samme forhold, efter dette har fundet sted, og det
kan derfor have påvirket deres arbejdsindsats.
På side 34-35 holder Turing en forelæsning om computere. Han fortæller sin viden om emnet til
forsamlingen, og kommer med en forudsigelse om, hvornår computere vil være så veludviklede, at
man kan tale om, som han kalder det, ”intelligent machine”
35
. Denne forudsigelse må siges, at
være meget tæt på, at være ganske korrekt. Hvilket, igen, viser hans fremragende intelligens.
På et tidspunkt begår nogen et indbrud hos Turing. Turing fortæller politiet, at han har fortalt sin
elsker, Ron, oplysninger, som han kan have fortalt videre til nogle af hans venner. Derfor bliver
politiet nødt til at snakke med Ron, som fortæller om affæren med Turing. Dette fører til, at Turing
bliver afhørt om homoseksualitet. Han bliver her anklaget for at have begået en forbrydelse, men
han protesterer mod at have gjort en forbrydelse. Man kan tydeligt høre at politimandens
anklager provokerer Turing. Dette kan ses her:
Ross: “Not much choice, was there? When a man says he’s committed a crime, I can’t just ignore
it.”
Turing: “Going to bed with Ron is not a crime.”
35
Whitemore (1988) p. 35 l. 22
Side 14 af 17
Ross: “It’s against the law.”
Turing: “It’s not as simple as that.”
(…)
Ross: “Why should it?”
Turing: “Because the law makes everything black, white – right, wrong. Life is more complicated
than that.”
36
Turing bliver her tydeligt mere og mere irriteret af politimanden. Han bliver irriteret og frustreret
over, at det ikke er muligt for en person, selv at vælge hvem man har lyst til at være sammen med.
Da Turing forsøger at forklare, at dette ikke er en forbrydelse, og at det ikke på nogen måde er
forkert, er det som om betjenten er ligeglad, hvilket han sikkert også er. Det irriterer Turing, at en
person kan være så ligeglad og følelseskold. De fire sidste linjer i samtalen lyder som følgende:
Ross: “(…) Nothing personal, Mr Turing. I understand how you must feel.”
Turing: “No you don’t.”
Ross: “You’re right – I don’t.”
37
Turing er tydeligt meget vred og fjendtlig overfor ham, men betjenten er igen fuldstændig ligeglad
og kold overfor ham. Dette er et eksempel på, hvilken fjendtlighed han måtte leve med, fordi han
var homoseksuel. Det må formodes, at dette ikke er den eneste gang, han er blevet ”angrebet” på
denne måde, da han ikke just var bange for, at sige, at han var homoseksuel.
36
Whitemore (1988) p. 47 l. 20
37
Ibid p. 47 l. 45
Side 15 af 17
Til sidst er Turings mor henne hos Ross, politibetjenten, for at hente Turings efterladte ting, da
han har begået selvmord. Under denne samtale siger Ross følgende:
Ross: “I kept this separately. It’s his medal, his OBE. I was afraid it might get lost.”
38
Han gemte altså en medalje, Turing havde fået for hans arbejde med Enigma koderne, under
krigen. Det virker til, at han gør det af respekt for Turing. Da han siger dette, og giver Turings mor
medaljen, gør han noget, som jeg finder meget underligt. Det virker til, at han ikke her ser ham
som en homoseksuel, som han gjorde tidligere, men som en krigshelt. Han siger, at han har
opbevaret denne for sig selv, for at han ikke skulle miste den. Det ville en person, som var ligeglad
og, måske, havde en smule foragt for ham, ikke gøre. Det virker altså til, at Ross har ændret
holdning til Turing som person, og nu respekterer ham.
4 Konklusion
Alan Turing lagde ikke, på nogen måde, skjul på at han var homoseksuel, og dette førte til, at han
blev anklaget for samme. Dette var på pågældende tidspunkt ulovligt, og stod i loven som en
forbrydelse. Dette forfulgte ham igennem hans liv. Turings arbejde, som matematiker, må derfor
ikke have været let. Han blev som professor anset for, at være en person, der burde ”vide bedre
end dette”. Dette har uden tvivl påvirket hans arbejde som matematiker. Ikke kun fordi han blev
anklaget af politiet, og nok også truet med fængselsstraf, men også fordi, han var dårlig til at
adskille arbejde og seksuelle forhold. Hans forhold til hans kvindelig medhjælper, Pat, som han
aldrig elskede som andet en ven. Der forhold må have ført nogle problemer med sig, da hun havde
følelser for Turing. Hun er muligvis blevet slemt skuffet da han har afvist hende.
Han arbejdede sammen med Pat under 2. Verdenskrig. De arbejdede sammen under et forsøg, på
at bryde Enigma koden. Til at udregne hvor svære diverse koder, herunder også kryptologi, kunne
være at bryde, kunne man bruge kombinatorik til at udregne dette. Det kunne man især gøre, hvis
man gerne ville vide, hvor kompleks en kode eller kryptering man havde med at gøre.
38
Whitemore (1988) p. 58 l. 24
Side 16 af 17
Jeg kan ikke forestille mig andet, end at under dette forløb, hvor de har haft travlt med at bryde
denne kode, må denne affære sikkert have skabt en form for splid mellem Turing og Pat. Dette
blandet med, at han hele tiden var under skarp overvågning. Måske fordi han var homoseksuel,
men især pga. hans arbejde med Enigma koden. Det kan på ingen måde have været rart, at gå
rundt og vide, at nogle personer holdt øje med en konstant. Dette, kan også have ført til, at han
ikke var så hemmelighedsfuld med hans seksualitet, da den nok under alle omstændigheder var
kommet frem, alligevel.
Side 17 af 17
5 Litteraturliste
5.1 Litteratur
Kristensen, Anders; Lauridsen, Karl: Kombinatorik, 2010.
Landbrock, Peter; Nissen, Knud: Kryptologi, Abacus, 1997, 1. udgave.
Whitemore, Hugh: Breaking the Code, 1988.