Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 1 af 24
ENGLISH SUMMARY:
This paper deals with the political and cultural situation in the period of Archimedes life and his
research. The study deals with the political situation by focusing on the three rulers of the
Mediterranean; Macedonia, the Seleucid Empire in Asia and the Ptolemaic Dynasty in Egypt, and
their power struggle and how the four wars between the Ptolemaic Dynasty and the Seleucid
Empire had an effect on the cultural life at Archimedes' time and how the cultural tendencies
influenced his science. His research and the method that Archimedes used to determine π is
thoroughly went through with the use of regular polygon and irregular polygon. Furthermore the
study discusses some of his other noteworthy scientific accomplishments and their use in his age
and the posterity. For example "Archimedes principle" which he used to determinate the king of
Syracuse's crown and its authenticity. This paper shows that the determination of π is something
that was not as appreciated in his own day and age compared to our own time where π is used in
geometry.
INDHOLDSFORTEGNELSE
English summary: ................................................................................................................................................................ 1
Indledning: .......................................................................................................................................................................... 2
Den hellenistiske periode: ................................................................................................................................................. 2
Politiske situation: .......................................................................................................................................................... 2
Kulturelle situation: ........................................................................................................................................................ 5
Archimedes ideer: ............................................................................................................................................................... 6
Fysikeren Archimedes: .................................................................................................................................................... 6
Opfinderen Archimedes: ................................................................................................................................................. 6
Matematikeren Archimedes: .......................................................................................................................................... 7
Archimedes - Tallet Pi: ........................................................................................................................................................ 7
Opgaver for vurdering af (pi) π i henholdsvist 8,16,32,64 - kanter .................................................................................. 19
Archimedes' indflydelse: ................................................................................................................................................... 22
Konklusion: ....................................................................................................................................................................... 23
Litteraturliste: ................................................................................................................................................................... 23
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 2 af 24
INDLEDNING:
Hellenismens begyndelse skal findes ved Alexander den Stores regeringstid
1
og varede indtil
Octavians
2
sejr over Cleopatra og Marcus Antonius ved Actium i 31 f.kr. Hellenismen defineres
som en epoke hvor grækere besad den politiske magt i den østlige del af middelhavsområdet og i
den nære Orient. Ifølge denne definition ligger begrebet hellenisme i tankegangen, at de græske
elementer kulturelt var dominerende. Det skal dog ikke forstås som et bestemt kulturelt indhold,
snarere at den græske kultur var dominerende. Der var meget fokus på videnskaben i denne periode
og en af de største matematikere nogensinde levede netop i denne tid, Archimedes.
Denne opgave indledes med at beskrive den politiske situation omkring middelhavet på Archimedes
tid med udgangspunkt i de tre Storriger og deres interne stridigheder. Ligeledes belyser opgaven
den kulturelle situation omkring middelhavet med fokus på videnskaben og dets matematiske
kunden. Inden for dette område vil jeg undersøge og udlede Archimedes metode for π, for til sidst at
vurdere hans indflydelse på samtiden og eftertiden.
DEN HELLENISTISKE PERIODE:
POLITISKE SITUATION:
OPTAKT TIL ARCHIMEDES' TID:
Før Alexander den Store og hans erobringer var Grækenland delt op i bystater
3
, disse bystater var
autonome og mange af dem havde egne love, egen styreform og efter 600 f.kr. også deres egen
mønt. De bystater, som ikke havde disse ting, var underlagt andre større bystater og skulle derfor
leve under disses love og regler. Bystaten havde som regel et mindre opland udenfor, men flertallet
af befolkningen boede inden for byens mure. Bystaternes økonomi var i høj grad baseret på handel
og landbrug og der var stor arbejdsfordeling mellem befolkningen. Da disse bystater var autonome
og havde deres egne love og regler, var der meget stor forskel på styreformen bystaterne imellem.
Nogle var tyrannier, andre oligarkier og nogle endda demokratier. Alt dette blev dog ændret med
1
336-323 f. kr.
2
Den senere kejser Augustus
3
På græsk - poliser
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 3 af 24
Alexanders erobringer. Med Alexanders enhedsstyre betød dette enden for de græske bystater som
autonome. Bystaterne fandtes stadig, men de var underlagt ens love og regler, så bystaterne kunne
ikke længere selv bestemme over deres by. Dette ses f.eks. ved dekreter udstedt af kongerne, bl.a.
udstedte Alexander den Store ligeledes sådanne dekreter. Disse dekreter blandede sig i bystaternes
indre politiske forhold og gjorde at bystaterne ikke længere havde noget at skulle have sagt rent
politisk - det hele blev styret centralt.
DEN POLITISKE SITUATION PÅ ARCHIMEDES' TID:
Archimedes levede i en meget politisk ustabil verden. På hans tid var Alexanders Storrige brudt
sammen og tre nye storriger var kommet til. Disse tre var: Makedonien, Seleukideriget i Asien og
Ptolemæerriget i Egypten.
Hvad angår forholdet mellem Makedonien og Ptolemæerriget, kan man sige at det står i stor
kontrast til Ptolemæerrigets bestræbelser på at opretholde herredømmet til havs, som det østlige
Middelhavs dominerende flådemagt og Makedoniens bestræbelser på at genvinde storhedstiden
med Alexander den Store. Makedoniens hovedformål var at genvinde det tilgrænsende græske
fastland og derved genvinde herredømmet over Middelhavet og igen blive den største flådemagt.
Dette måtte Ptolemæerriget selvfølgelig sætte en stopper for, men i stedet for at bekrige
Makedonien forsøgte de at skabe splid mellem Makedonien og de græske byer, ved at danne
venskaber med disse bystater og opildne dem til modstand mod Makedoniens indtræden. Denne
anti-makedonske manipulation fra Ptolemæerriget var dog ikke særlig vidtgående, da de ikke anså
Makedonien for den helt store trussel. De vendte derimod blikket mod Seleukideriget da dette var
en mere jævnbyrdig modstander og derfor en større trussel mod Ptolemæerriget.
Selvom det var Seleukideriget som var det mest vidtstrakte og mest folkerige rige, var det dog
Ptolemæerriget, som var den stærkeste magtfaktor. Ptolemæerriget havde et forsvarsbælte gennem
anneksion af Kyrenaika, Kypern, besiddelser på det sydlige og sydvestlige Lilleasiens kystland,
samt Fønikien og Palæstina, som kom til at gå under fællesnavnet Koilesyrien
4
. Dette Koilesyrien
bragte megen uro omkring sig, da Seleukideriget var af den overbevisning, at området retmæssigt
tilkom dem
5
. Denne konflikt kom til at spille en meget stor politisk rolle omkring middelhavet på
4
Thomsen, Rudi - Hellenismens Tidsalder - side 51
Ø
5
Thomsen, Rudi - Hellenismens Tidsalder - side 51
M
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 4 af 24
Archimedes tid og fremkaldte ikke mindre end fem såkaldte syriske krige mellem Ptolemæerriget
og Seleukideriget. Det er dog kun de fire første som er interessante, da Archimedes var død før den
femte krig brød ud.
Ved den første syriske krig (274-271 f.kr.) blev Seleukideriget, ledet af Antiochos I, den store taber.
De vandt intet land fra Ptolemæerriget, men måtte tage hjem slået og uden nogen sejrer.
Den anden syriske krig (260-253 f.kr.) er den af krigene som er mest interessant, da det er i denne
krig at Makedonien og Seleukideriget danner en alliance mod Ptolemæerriget, under ledelse af
Antiochos II af Seleukideriget og Antigonos Gonatas af Makedonien, og formår sammen at erobre
Ptolemæerrigets besiddelser i det sydlige og sydvestlige Lilleasien. Koilesyrien forblev dog stadig
under Ptolemæerrigets besiddelse.
Den tredje syriske krig (246-241 f.kr.) blev katastrofal for Seleukideriget. Ikke alene tabte riget dets
erobrede landområder fra den anden syriske krig, men de tabte også det thrakiske kystland ind til
strædeområdet mellem Asien og Europa og som om at det ikke skulle være nok, erobrede
Ptolemæerriget Seleukiderigets hovedstad Antiochias havneby Seleukeia i Pierien langt oppe på
Middelhavets østkyst.
I den fjerde syriske krig (221-217 f.kr.) var den unge hersker Antiochos III utrolig tæt på at nå rigets
forsatte mål: at erobre Koilesyrien. Men i slaget ved Rafia i det sydlige Palæstina
6
led Antiochos et
knusende nederlag til kong Ptolemaios IV og som resultat heraf forblev Koilesyrien i
Ptolemæerrigets besiddelse. Der var dog et lyspunkt for Seleukideriget og det var, at det lykkedes
dem at tilbage erobre den vigtige havneby Seleukeia i Pierien.
Alt i alt kan det konstateres at Archimedes levede i en meget politisk ustabil verden, hvor de tre
stormagter bekrigede hinanden på alle mulige måder og hvor landområder og militær spillede en
væsentlig rolle inden for politik og den politiske kamp ved middelhavet. Disse stridigheder førte
ligeledes til en stor kulturel forskel, inden for videnskaben, mellem disse tre lande, hvor
Ptolemæerriget var det helt store kulturelle forbillede for videnskaben. Grunden hertil skal findes i
de syriske krige, da Seleukiderigets fokus lå på generobringen af Koilesyrien og derfor ikke havde
hverken midlerne eller overskuddet til at understøtte forskningen og dets videnskab.
6
I år 217 f.kr.
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 5 af 24
KULTURELLE SITUATION:
Før hellenismen havde livsformen for grækerne været fastlagt af samfundet og koncentreret om
bystatens velbefindende. Men med hellenismen og dets centrale styreform havde grækerne ikke
længere denne tilværelse, dette fællesskab som kom ved at styre sit eget landområde. Grækerne var
nu overlagt til sig selv og dette bragte store sociale omvæltninger og mange samfund blev i denne
periode kendetegnet ved at have et storbypræg
7
, hvilket fremkaldte en følelse af frygt for fremtiden,
rodløshed, fremmedgørelse og en søgen efter lykke. Disse omvæltninger i det græske samfund var
med til at skabe en kosmopolitisk enhedskultur styret af eneherskere og tyranner. De nye herskere
begyndte som et led i en ny kulturpolitik at formidle flere penge til universiteter og til
statsunderstøttede biblioteker med et personale af statslønnede forskere. Ptolemæerriget var i denne
sammenhæng den største økonomiske støtte til forskningen
8
og takket være deres indsats på dette
område gjorde det dem i stand til at tiltrække alle førende videnskabsmænd til deres hovedstad
Alexandria. Alexandria kom da også hurtigt til at indtage stillingen som den hellenistiske verdens
ubestridte videnskabelige centrum. Den ptolemæiske videnskabsstøtte fik Ptolemaios I til at oprette
et kulturinstitut, da ønskede var at lade Alexandria fremstå som det nye Athen. Instituttet blev kendt
under betegnelsen Museion, da det var beskyttet af muserne. Medlemmerne af Museionet havde
enormt gode arbejdsforhold og der blev endda bygget et kæmpemæssigt kongeligt bibliotek, som
skulle have indeholdt ikke mindre end 700.000 bogruller
9
. Alt dette muliggjorde, at forskerne kunne
gøre forskningen til en levevej og samtidig udveksle forskning og resultater med hinanden inden for
et bestemt område. Ptolemæerrigets store støtte til forskningen medførte en meget stor interesse for
naturvidenskaben, og man begyndte at forske og udlede teorier i samtlige naturvidenskabelige fag
deriblandt matematik. Matematikken dannede grundlag for mange andre videnskabelige fag i den
hellenistiske periode og var derfor utrolig vigtig for grækerne. Allerede 200 før Archimedes var
grækerne nået op på et højt udviklet niveau inden for matematikken. Efter Eudoxos' død i 338 f.kr.
blev den græske matematik videreudviklet af andre forskere og på Archimedes tid slog et af
medlemmerne af Museionet, Euklid, dørene op til den hellenistiske matematik og dets kunden med
sit værk "Elementer", som han udarbejdede på 13 bogruller. I dette store værk sammenfattede han
den græske viden om talteori, rumgeometri, plangeometri og aritmetik. Om Euklid selv har bragt
7
Bender, Johan og Rasmussen, Bodil - Oldtidens Grækenland - side 154
8
Thomsen, Rudi - Hellenismens Tidsalder - side 193
9
Thomsen, Rudi - Hellenismens Tidsalder - side 193
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 6 af 24
matematikken videre er dog stadig et mysterium, men under alle omstændigheder ydede han en
rigtig stor indsats ved på en klar og elegant måde at fremlægge grækernes matematik i et logisk
deduktivt system. Euklid skabte med andre ord en lettilgængelig matematisk lærebog som selv
Archimedes benyttede sig af i sin udledning af π og mange andre af hans udledninger. F.eks. fandt
Archimedes meget stor inspiration fra Euklid i hans udledninger af rumgeometrien og hans
indtrængende undersøgelser vedr. kegler, keglesnit, cylindere og kugler.
Man kan derved sige, at den kulturelle situation på Archimedes tid har haft en kæmpe indflydelse
på hans videnskab, da det var igennem de statsstøttede fakulteter i Ptolemæerriget at videnskaben
blomstrede og forskerne udelukkende kunne koncentrere sig om deres videnskab, som Archimedes
ligeledes gjorde. Archimedes kom da også til Alexandria hvor han studerede og senere hen fik gode
forbindelser til, og derved kunne få inspiration til mange af sine opfindelser og ideer.
ARCHIMEDES IDEER:
Archimedes var en græsk fysiker, opfinder, matematiker og tekniker. Han adskilte sig fra andre
græske forskere i den forstand, at han både var en "ren" matematiker og en stor "anvendt"
matematiker. Her forstås "ren" matematik som matematik, hvor man ikke laver udregninger. Men
som holdes på et mere teoretisk plan. "Anvendt" matematik forstås som matematik, hvor man vha.
formler bekræfter sine teorier. De andre forskere nedlod sig ikke til "anvendt" matematik, de
interesserede sig kun for "ren" matematik, da man mente at den "anvendte" matematik ikke var den
"rigtige" matematik og derfor heller ikke interesserede sig for den. Archimedes derimod opererede i
begge felter og det er igennem disse, at hans store ideer og bedrifter kom.
FYSIKEREN ARCHIMEDES:
Archimedes grundlagde i tobindsværket "Om Svømmende Legemer" hydrostatikken. Bl.a. fandt
han frem til en lov som siger: "Når et legeme nedsænkes i væske, så taber det lige så meget i vægt,
som den fortrængte væskemængde vejer", denne lov kaldte han "Archimedes Lov". Indenfor
mekanik arbejdede han med tyngdepunkter og vægtstænger og han grundlagde dermed statikken.
OPFINDEREN ARCHIMEDES:
Archimedes var en af opfinderne til taljen. Taljen er et meget nyttigt redskab, da det kan løfte tunge
byrder. Vores store blandings apparater kan faktisk spores tilbage til netop denne talje, da det er
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 7 af 24
samme princip, som anvendes. Han opfandt også "Archimedes' skrue eller snegl", et redskab til at
løfte vand til kunstvanding, jord til bebyggelse osv.
MATEMATIKEREN ARCHIMEDES:
I matematik var Archimedes også meget fremtrædende, han og Eudoxos
10
opfandt sammen en form
for integralregning. Denne integralregning benyttede Archimedes bl.a. til at beregne arealer, arealer
af krumme flader og begrænset kurver. De kaldte den "Exhaustionsmetoden". Denne metode
beskriver en grænseovergang på en præcis måde.
En af de helt store opdagelser indenfor matematikken var π. Archimedes' værdi for π blev først
forbedret flere århundreder senere. Hvordan Archimedes udledte π bliver i næste afsnit behandlet
gennemgående med alle de metoder og fremgangsmåder Archimedes brugte.
ARCHIMEDES - TALLET PI:
I Archimedes værk "Måling af cirklen
11
" giver han os en metode til at bestemme tallet π med meget
stor nøjagtighed. Ved hjælp af sin metode udregner Archimedes en nedre og øvre grænse for π :
. I dag defineres tallet π som forholdet mellem diameteren og omkredsen i en
vilkårlig cirkel og da diameteren og omkredsen er proportionale vil dette forhold altid være det
samme uanset cirklens størrelse.
Jeg vil nu gennemgå Archimedes metode til bestemmelse
af π ved brug af Kurt Bøges bog "Elementer af tallet π's
historie".
1. DEN INDSKREVNE N-KANT:
Ved konstruktion af den indskrevne n-kant tegnes først
cirklen med radius r og med centrum 0. Når dette er gjort
afsættes et bestemt antal, n, vinkler med størrelsen v på:
10
En stor og anerkendt matematiker
11
Lützen, Jesper - Cirklens kvadratur m.m., side 41.
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 8 af 24
.
Da Archimedes brugte n = 6 vil jeg ligeledes sætte n = 6. Jeg får dermed 6 vinkelben, og disse
vinkelben forbinder jeg med et skæringspunkt og cirklen til naboskæringspunkterne. Jeg har nu
konstrueret 6-kanten, som vist på figur 1, siden før.
Cirklen er opdelt i ligebenede trekanter, med topvinkler på 60 grader, topvinklen findes ved brug af
ligningen ovenover og i stedet for n indsættes 6, da n= 6:
Trekantens grundlinje
12
kalder jeg for S
n
og så kan man skrive polygonens omkreds som:
,
hvor p
n
er omkredsen.
2. DEN INDSKREVNE 2N-KANT:
Ud fra n-kanten kan jeg konstruere den indskrevne 2n-kant.
Dette gøres ved at tegne vinkelhalveringslinjer, og derefter
forbinde både de gamle og nye skæringspunkter mellem
vinkelbenene og cirklen med naboskæringspunkterne, som vist
på figur 2.
3. DEN OMSKREVNE N-KANT:
Nu da jeg har konstrueret den indskrevne 2n-kant går jeg videre
til den omskrevne n-kant, som konstrueres på nogenlunde samme
måde.
12
Linjen mellem to naboskæringspunkter.
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 9 af 24
Også her vælges n = 6. Igen tegnes først en cirkel med radius r og centrum 0 og 6 vinkler med
størrelse på:
afsættes.
Dernæst tegnes tangenterne til cirkel i hvert skæringspunkt mellem et vinkelben og cirklen.
Tangenterne skærer automatisk hinanden og derved er den omskrevne n-kant blevet til, som ses på
figur 3, siden før.
Jeg vil nu forbinde to nabohjørnepunkter med cirklens centrum og ved at gøre dette, ser jeg, at der
fremkommer en ligebenet trekant med en topvinkel på 60
o
.
Når jeg kigger nærmere på det markerede stykke på figur 3, siden før, får jeg at omkredsen af den
omskrevne n-kant er:
2∙n fordi vinkelhalveringslinjerne deles op i 2.
4. DEN OMSKREVNE 2N-KANT:
Jeg skal nu videre og konstruere den omskrevne 2n-kant, dette gøres
ved igen at tegne vinkelhalveringslinjerne. Disse
vinkelhalveringslinjer går da igennem hjørnepunkterne i n-kanten.
Tangenterne tegnes igen til cirklen i både de nye og gamle skæringspunkter mellem vinkelbenene
og cirklen og herved er 2n-kanten konstrueret, som vist på figur 4.
Ved betragtning af figurerne er det tydeligt, at enhver regulær
omskrevet polygons omkreds er større end cirklens, og
omvendt, at enhver regulær indskrevet polygons omkreds er
mindre en cirklens. Denne ulighed kan udtrykkes ved
ligningen:
Denne ulighed skal dog have et par forudsætninger for at give
mening. Det ses på figur 5, som er et udsnit af en om - og
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 10 af 24
indskrevet n-kant, at den førnævnte ulighed er ækvivalent med ligningen:
Hvis man undersøger denne ligning som Archimedes frembringer er der dog et problem. Problemet
ligger i at
og dette problem erkender Archimedes ligeledes og siger at den ikke
kan bevises. I stedet for at bevise uligheden indfører han den som et aksiom
13
. Hvis man siger, at
den korteste vej mellem to linjer er en lige linje, giver venstresiden da god mening, altså at
.
5. IND - OG OMSKREVNE 6-KANTER:
Det næste skridt i Archimedes metode er, at finde en
nedre og øvre grænse for π og dette gøres ved brug af
de ind - og omskrevne 6-kanter som jeg tidligere har
kigget på.
Først må jeg benytte mig af Pythagoras sætning som
siger: "I en retvinklet trekant ABC, hvor den rette vinkel
betegnes med C, gælder:
Denne sætning anvender jeg på ∆OAB, vist på figur 6,
og jeg får at:
. Jeg indsætter nu
symbolerne for disse i formlen og får:
, |OB| = r , |BA| = t
6
og |OA| = 2∙ t
6
Jeg isolerer nu r ved følgende måde:
13
Bøge, Kurt - "Elementer af tallet π's historie", side 9.
- Et aksiom er en grundantagelse som siges at være sand.
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 11 af 24
Nu da jeg har isoleret r vil jeg isolerer t
6
, da jeg skal bruge dette i næste trin af udledningen:
6. DEN OMSKREVNE 6-KANT:
Jeg ved fra tidligere, at omkredsen af den omskrevne n-kant er givet ved ligning (1.2). I dette
tilfælde er n = 6, altså er den omskrevne 6-kant givet ved formlen:
Jeg indsætter nu ligning (1.4) i ligningen:
7. DEN INDSKREVNE 6-KANT:
Jeg skal nu finde omkredsen af den indskrevet 6-kant, dette gøres ved igen at betragte figur 6 og
∆OEF. Da trekanten er ligebenet og har en topvinkel på 60 grader, så er de resterende vinkler også
lig 60 grader, dvs. at trekanten er ligesidet. Alle sidelængderne i trekanten er da lig med cirklens
radius, som f.eks. ses på ∆OEF på figur 6. Af dette får jeg ligningen:
. Jeg kan nu gange med
2 på begge sider af lighedstegnet:
. Da jeg husker fra tidligere at 2∙r er lig d, da der her
er tale om en ligesidet trekant, kan jeg skrive:
.
Da jeg har fundet d, vil jeg nu isolere S
6
i ligningen:
Igen ved jeg fra tidligere, at omkredsen af den indskrevne n-kant er givet ved ligning (1.1). I dette
tilfælde er n = 6, altså er den indskrevne 6-kant givet ved formlen:
.
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 12 af 24
Jeg indsætter nu ligning (1.6) i ligningen:
Nu da jeg har udregnet omkredsen af den omskrevne 6-kant og den indskrevne 6-kant, kan jeg
indskrænke π's værdier således:
, ved at dividere med d får jeg følgende:
.
Uligheden kan dog forbedres hvis jeg i stedet for 6-kanten bruger regulære om - og indskrevne
polygoner med flere sider.
8. BESTEMT N-KANT OG DEN TILSVARENDE 2N-KANT:
Jeg fokuserer nu på en bestemt n-kant og dens tilsvarende 2n-kant. Jeg kan her se, at der er en
sammenhæng mellem bestemte størrelser og at disse størrelser kan bruges til beregning af
omkredsen. Benytter jeg figur 7's betegnelser er:
t
n
den halve side i den regulære omskrevne n-
kant med centrum i 0.
radius: r∙t
2n
, er den halve side i en omskreven 2n-
kant.
Når jeg kigger på figur 7 og dens betegnelser for
linjerne finder jeg en sammenhæng for
omskrevne polygoner:
. Disse ligninger kan siges at være iterativt
14
, dvs. at de gentager sig.
14
Bøge, Kurt - "Elementer af tallet π's historie", side 11
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 13 af 24
BEVIS FOR LIGNING (1.7):
Dette gøres ved først at bevise ligningen:
. Jeg kigger nu på figur 7, siden før, og ser at
ligningen ligeledes kan skrives som:
(0.1)
Til udledning af dette benyttede Archimedes sig blot af Euklid og en af hans mange sætninger:
"Hvis en vinkel i en trekant halveres, så vil segmenterne på den modstående side have samme
forhold som de to andre sider i trekanten"
15
.
For at bevise denne sætning og ligning vil jeg kigge på figur 8, hvor tre hjælpelinjer er konstrueret
således
16
:
1. Punktet E findes ved at forlænge linjen CO til skæring med linjen AE
2. Linjen OF er parallel med linjen DA
3. Linjen AF er parallel med linjen DO
Ud fra disse hjælpelinjer får jeg at
∆ADOF er et parallelogram, dvs. |DA| = |OF|
∆AOE er ligebenet, dvs. |AO| = |OE|.
∆COD er ensvinklet med ∆OEF. Ud fra dette får jeg
ligningen:
.
Nu indsætter jeg det udledte ovenfor og jeg ser at:
Dette kunne også skrives som:
som er det jeg skulle bevise først.
Nu da jeg har bevist min påstand, kan jeg gå videre med ligning (0.1) til udledningen af ligning
(1.7), jeg vælger dog at skrive ligning (0.1) på denne måde:
.
, hvilket giver
15
Euklid - Elementer bog 5, kapitel 3.
16
Bøge, Kurt - "Elementer af tallet π's historie", side 14
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 14 af 24
Da jeg ud fra figur 7 kan se at |CD| + t
2n
= t
n
indsætter jeg dette i ligningen:
.
Jeg får nu at:
,
som også kan skrives som:
Nu da jeg har bevist ligning (1.7) vil jeg gå videre med ligning (1.8) og bevise denne:
BEVIS FOR LIGNING (1.8):
For at bevise ligning (1.8) skal jeg igen have fat i Pythagoras sætning og benytte denne på ∆ADO,
som ses på figur 7( og 8):
Jeg dividerer nu med
på begge sider og får at:
Hermed er ligning (1.8) bevist.
9. DEN OMSKREVNE 6-KANT:
Nu da begge ligninger er bevist, kan disse benyttes og jeg starter med at anvende dem med en
omskrevet 6-kant og husker ligningerne (1.3) og (1.5) fra tidligere, da disse bruges her:
Da ligning (1.5) blev udledt af en ligesidet trekant kan jeg ved at betragte figur 6 udlede denne
ligning:
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 15 af 24
Jeg indsætter nu ligning (1.9) og (1.10) i ligning (1.7) og husker stadig at n = 6 og ser at:
Jeg indsætter nu ligning (1.11) i ligning (1.8) og husker igen at n = 6, dette giver mig så:
10. DEN OMSKREVNE 12-KANT:
Hvis formålet kun var at bestemme omkredsen i den omskrevne 12-kant ville ligning (1.2) og (1.11)
være tilstrækkelige:
Grunden til at jeg udregner ligning (1.12) er, at jeg med ligning (1.11) og (1.12) nu kan bestemme
forholdene
som så giver mig mulighed for - efter jeg har regnet omkredsen af 24-kanten
ud - at bestemme forholdene
.
Forholdet
bruges altså til at beregne omkredsen af den omskrevne n-kant.
Forholdet
anvendes kun til at komme videre i min bestemmelses proces, altså til at bestemme
.
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 16 af 24
11. INDSKREVNE POLYGONER:
Nu går jeg videre og kigger på indskrevne polygoner ses der via. figur 9 en sammenhæng:
(2.1)
BEVIS FOR LIGNING (2.1)
Jeg vil nu bevise at ligning (2.1)
er rigtig ved brug af
betegnelserne på figur 9:
Ved brug af disse betegnelser ses det at periferivinklen BCA er ret, da den spænder over
diameteren.
Det bemærkes ligeledes at ∆BCO er ligebenet, dvs. |OC| = |OB| = r.
∆OCA er også ligebenet dvs. |OA| = |OC| = r.
Jeg kigger nu på ∆OCA og indsætter vinkel A = v og husker at ∆OCA er ligebenet, derfor er vinkel
OCA også = v, hvilket betyder at vinkel AOC så bliver = 180
o
- 2v.
Nu fokuserer jeg så på ∆BCO og udleder fra den første trekant at vinkel BOC = 2v, igen husker jeg
at ∆BCO er ligebenet, derfor giver vinkel BCO = 90
o
- v, ud fra dette er vinkel BCA dermed = 90
o
.
Jeg lader nu S
n
= |BC| være siden i en indskrevet regulær n-kant og S
2n
= |BD| være siden i den
tilsvarende 2n-kant. Da både ∆BDA og ∆BCA spænder over en halvcirkel, får jeg at de er
retvinklede.
Jeg husker igen at d = 2∙r og bruger betegnelserne for figur 9 og får at:
Igen bruges figur 9 og jeg ser at ∆ECA er ensvinklet med ∆BDA og får ud fra dette:
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 17 af 24
Jeg kan nu benytte de to ligninger og udregner at:
Jeg ganger nu ind i parentesen i nævneren og husker at:
Igen kigger jeg på figur 9 og ser at |CE + BE| = S
n
og indsætter dette i ligningen:
Hermed er ligning (2.1) bevist.
BEVIS FOR LIGNING (2.2)
Ligning (2.2) bevises ved brug af Pythagoras sætning på ∆BDA:
, ligning (2.2) er nu bevist.
12. INDSKREVNE 6-KANT:
Nu da både ligning (2.1) og (2.2) er bevist kan jeg fortsætte
med at regne på den indskrevet 6-kant. Igen anvender jeg
Pythagoras sætning, denne gang på ∆DEF på figur 6, som igen
er vist her til bedre forståelse.
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 18 af 24
Jeg isolerer c
6
i ligning:
Nu da jeg har isoleret c
6
kan jeg ved brug af ligning (1.5) fra tidligere komme frem til disse udtryk:
Jeg indsætter nu dette i ligning (2.1) og husker, at der stadig er tale om en 6-kant:
Dette indsætter jeg nu i ligning (2.2) og får at:
13. INDSKREVNE 12-KANT:
Jeg indsætter nu dette i ligning (1.1) og bruger ligesom for den omskrevne n-kant, n = 12:
Som ved den omskrevne n-kant er dette system ligeledes iterativ, og indsættes ligning (2.3) og (2.4)
i ligning (2.1) finder jeg
, som indsat i ligning (2.2) giver
, hvorved jeg kan finde omkredsen
af den indskrevne 24-kant, p
24
.
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 19 af 24
På baggrund af ligning (1.13) og ligning (2.5) kan jeg forbedre den tidligere ulighed af π som så
sådan ud:
. Til at se således ud:
eller med decimaler:
3,105829 < π < 3,215390
Archimedes anvendte samme metode for en 96-kant og fandt den nedre grænse =
Den tilsvarende øvre grænse angav han som:
OPGAVER FOR VURDERING AF (PI) Π I HENHOLDSVIST 8,16,32,64 - KANTER
Vurderingen af π bliver udtrykt ved ligningen:
Denne ligning kan omskrives til:
p
n
er omkredsen af den indskrevne n-kant og P
n
er omkredsen af
den omskrevne n-kant.
Jeg gennemgår hele udregningen af 8-kanten og skriver resultatet
for de andre
Jeg deler forløbet op i 3 dele, omkredsen af den indskrevne n-
kant, omkredsen af den omskrevne n-kant og resultatbehandling
Vurdering af (pi) π for n = 8 , radius r = 1
1. OMKREDSEN AF DEN INDSKREVNE 8-KANT:
- Den indskrevne 8-kant udgøres af 8 ligebenede trekanter. Jeg kalder sådan én ∆ABC.
- Først findes trekanternes topvinkel ∟C:
, derefter findes de sidste to vinkler i ∆ABC:
Figuren skal blot illustrere hvordan cirklen med
indskreven n-kant ser ud, så der er brugt samme
eksempel som ved teorien for udledning af π,
også selvom denne skulle have været en 8-kant
og ikke en 6-kant
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 20 af 24
Da trekanten er ligebenet er de sidste to vinkler, ∟A og ∟B lige store:
hvor a og b = r og c svarer til den stiplede linje, se figur 1
Man kan benytte Sinusrelationerne til at udregne c:
c = 0,765367
Formlen for omkredsen i en indskrevet n-kant er:
,
hvor S
n
= c
2. OMKREDSEN AF DEN OMSKREVNE 8-KANT:
Omkredsen for den omskrevne n-kant findes ved
Den omskrevne 8-kant udgøres af 16 retvinklede trekanter.
Disse er de 8 ligebenede trekanter, der er blevet halveret af
vinkelhalveringslinjer gennem topvinklen.
Jeg kalder sådan én retvinklet trekant for ∆DEF, hvor D er centrum for
den omskrevne n-kant og d svarer til
Da ∆DEF er retvinklet er ∟ F = 90
o
e = 1, da r = 1, se figuren på næste side.
C
b a
A B
c
Figuren skal blot illustrere hvordan cirklen
med omskreven n-kant ser ud, så der er brugt
samme eksempel som ved teorien for
udledning af π, også selvom denne skulle
have været en 8-kant og ikke en 6-kant
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 21 af 24
Til udregning af d anvendes Sinusrelationerne:
d = 0,414214
Formlen for omkredsen af den omskrevne n-kant er:
,
hvor t
n
= d
3. RESULTATBEHANDLING:
Værdierne for omkredsen af den indskrevne og omskrevne n-kant indsættes nu i uligheden:
, d er her diameteren dvs. 2
Afvigelse fra tabelværdi (tabelværdi er fundet ved at taste π ind på lommeregneren TI-89), π-tabel
sættes til 3,14159
Relativ afvigelse for nedre grænse:
Relativ afvigelse for øvre grænse:
VURDERING AF (PI) Π FOR N = 16,32,64 , RADIUS R = 1
Samme metode for beregning og efterbehandling af resultater er anvendt og svarene på n=16,32,64
blev:
:
Relativ afvigelse i procent: Nedre grænse: -0,6412% Øvre grænse: 1,3053%
E
d f
F D
e D
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 22 af 24
:
Relativ afvigelse i procent: Nedre grænse: -0,1605% Øvre grænse: 0,3224%
:
Relativ afvigelse i procent: Nedre grænse: -0,0402% Øvre grænse: 0,0804%
Afvigelsen fra tabelværdien bliver mindre jo højere tallet n er, da figurerne man laver derved vil
komme tættere på at ligne en egentlig cirkel. F.eks. er n = 64 er allerede rigtig tæt på tabelværdien
af π.
ARCHIMEDES' INDFLYDELSE:
ARCHIMEDES' INDFLYDELSE PÅ SAMTIDEN:
Archimedes var en højt respekteret mand i sin samtid. Han havde en enorm stor indflydelse på sin
samtid og mange af samtidens videnskabsmænd søgte da også mod Archimedes og hans videnskab
og anvendte denne til deres egen videnskabelige værker. Det var dog ikke kun andre
videnskabsmænd som søgte hjælp og vejledning hos Archimedes. Kong Hieron II henvendte sig
ligeledes til Archimedes og historien går på, at kongen bedte Archimedes om at bestemme
guldindholdet i hans nye guldkrone, da kongen mistænkte den for at være falsk. Archimedes løste
denne opgave, ikke ved at ødelægge kronen, men ved brug af sin egen lov: "Archimedes Lov".
Konklusionen var, at kronen var forfalsket. Denne ene historie viser tydeligt Archimedes
indflydelse i sit samfund. Den er et symbol på hans status som en genial og respekteret
videnskabsmand, som selv kongen gik til for at få svar. "Archimedes skrue eller snegl" blev
ligeledes brugt i samfundet til vanding af haverne, samt til at flytte jord og andre materielle ting
som skulle bruges til bygninger, haver osv. Desværre fik Archimedes' matematik ikke den helt store
indflydelse på hans samtid, og der skulle gå mange århundrede før matematikken kom til sin ret og
Archimedes blev anerkendt som en genial matematiker.
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 23 af 24
ARCHIMEDES' INDFLYDELSE PÅ EFTERTIDEN:
Grunden til at der skulle gå så mange århundrede før Archimedes matematik kom frem i lyset skal
findes i Romerriget. Romerriget beskæftigede sig ikke synderligt meget med videnskab og derfor
blev Archimedes og hans fantastiske matematik glemt. Man skal faktisk helt op til Galilei og hans
tid før man finder Archimedes' videnskab igen, dog ikke matematikken. Galilei var inspireret af
Archimedes fysik og benyttede denne til hans egne formål inden for fysikken. Der gik ca. hundrede
år igen før Archimedes' matematik viste sig for verden. Denne gang i form af sin
infinitesimalregning og exhaustionsmetoden som blev forløberne til Leibniz og Newtons'
infinitesimalregning. Infinitesimalregning er differentialregning + integralregning og disse har haft
enorm betydning for både matematik og fysik. Man kunne sige, at uden Archimedes og hans værker
ville Leibniz og Newton muligvis ikke været kommet så langt rent matematisk, som de gjorde.
KONKLUSION:
Archimedes blev skaberen af den matematiske fysik og af mekanikken og hydrostatikken. Han var
en af de mest geniale videnskabsmænd, der nogensinde har vandret på denne jord. Hvad angår
Archimedes og π har denne dog ikke fået lige så meget anerkendelse i samtiden som mange af hans
andre videnskabelige opfindelser. Det har den dog fået i eftertiden, hvor man i geometrien anvender
π utroligt meget og som har medført at Archimedes anses som en af de største matematikere
nogensinde, hvis ikke den største.
LITTERATURLISTE:
Bøger:
Aaboe, Asger: "Episoder fra matematikkens historie". Borgen 1986.
- Bogen blev anvendt, som sekundær kilde, til bedre forståelse omkring π.
Bender, Johan og Rasmussen, Bodil B - "Oldtidens Grækenland - græske billeder",
Munksgaard, København 1981, 1 udgave, 1 oplag, side 153 - 155.
- Denne bog blev benyttet, som primær kilde, til forståelsen af grækerne før Hellenismen og under
Hellenismen.
Nichlas Sølvtofte 3.A
Matematik/Historie A [navn fjernet] Gymnasium
________________________________________________________________________________________________
Side 24 af 24
Bøge, Kurt: "Elementer af tallet
’s historie". Abacus 1991.
- Bogen blev brugt, som primær kilde, til udledning af π.
Lützen, Jesper: "Cirklens kvadratur, Vinklens tredeling, Terningens fordobling". Systime 1985.
- Denne bog blev benyttet, som sekundær kilde, til bedre forståelse vedr. udledningen af π.
Rasmussen, Anders H: Politikens bog om de gamle grækere. Politiken 2005.
- Bogen blev anvendt, som en sekundær kilde, til forståelse vedr. grækernes levemåde før
Hellenismen.
Svendsen, Torben: Bogen om Pi. Systime 1994.
- Bogen blev brugt, som sekundær kilde, til bedre forståelse vedr. udledningen af π.
Tortzen, Chr. G.: I gudekongens land. Gyldendal Uddannelse 1999.
- Denne bog blev brugt, som sekundær kilde, til bedre forståelse omkring Hellenisme perioden.
Thomsen, Rudi - Hellenismens Tidsalder, Aarhus Universitetsforlag, Aarhus 1993, side 50 - 55
og 192 - 197.
- Denne bog blev benyttet, som primær kilde, til information vedr. de tre storriger og deres interne
stridigheder på Archimedes tid.
Hjemmeside:
http://www.fysikhistorie.dk/merer/archmer.html
- Denne hjemmeside anvendt, som primær kilde, til at give en indsigt i Archimedes ideer og hans
arbejde med naturvidenskaben.