Bevægelse med luftmodstand - 1 - Studieretningsopgave
Bevægelse med luftmodstand
Studieretningsopgave
Matematik og fysik
Bevægelse med luftmodstand - 2 - Studieretningsopgave
Abstract
The following scientific report is about movement with air resistance. Newton’s second law of motion
tells us that if an external force acts on a body, the body accelerates in the same direction as the force.
The force equals the mass of the body times the acceleration. The magnitude of the air resistance of low
speed is approximately proportional to the body’s speed: F
air
= kv, where k is a constant that depends on
the shape and size of the body and the properties of the surroundings. But the air resistance of high
speed is approximately proportional to v
2
rather than to v: F
air
= kv
2
, where k depends on the shape and
size of the body and on the density of the air. Now Newton’s second law gives: ΣF = mg + (-kv) = ma
As the speed increases, the resisting force also increases, until it equals the magnitude of the weight, and
then you have mg=kv.
To prove this theory, I made an experiment by measuring the speed of a falling cake tin and I discovered
that F
air
= kv
2
describes the movement the best.
I concluded that the movement of a body depends on its weight, and the more it weighs, the more time it
will use on accelerating and therefore it will have a higher maximum speed.
Formål
Formålet er at redegøre for bevægelse med luftmodstand med udgangspunkt i Newtons 2. lov, samt at
redegøre for den matematiske sammenhæng mellem funktionerne s(t), v(t) og a(t).
Teori
Newtons 2. lov går ud på at summen af de kræfter, der virker på systemet, er lig bevægelsesmængden, p,
over tidsrummet.
F =
p
t
=
(m v)
t
= m
v
t
= m a
Man får så at den resulterende kraft er lig massen gange med accelerationen.
Når et legeme falder, er det påvirket af to kræfter: tyngdekraften, der presser os ned, og luftmodstanden,
der retter opad.
Stokes gnidningslov går ud på at F
luft
= kv, hvor k er en konstant, kaldet Reynolds tal, der afhænger
aflegemets form, omgivelsernes viskositet, diameteren og densiteten. Denne formel angiver, hvordan
luften strømmer omkring legemet. Formlen gælder kun for små legemer med forholdsvis små
hastigheder, hvor strømningen foregår i forskellige lag Men for større hastighederbliver
strømningsmønsteret omkring kuglen for turbulent, da der opstår hvirvler.
En anden matematisk model der beskriver luftmodstanden er: F
luft
= kv
2
, hvor konstanten denne gang er
Bevægelse med luftmodstand - 3 - Studieretningsopgave
lig½· ρ
luft
· A · c
w
, hvor ρer lig densiteten af luft, og A er lig arealet af legemet, mens c
w
er legemets
formfaktor.
Da tyngdekraften er rettet nedad, mens luftmodstanden er rettet opad, kan man skrive at den resulterende
kraft, F
res
er lig F
t
– F
luft
, da F
t
nedad er den positive retning:
F
res
= mg + (- kv) eller F
res
= mg + (- kv
2
)
Ved starten af faldet, vil accelerationen være lig g, da tyngdekraften er størst og hastigheden vil derfor
vokse. Når hastigheden bliver større, vil luftmodstanden også vokse, hvilket gør at accelerationen bliver
mindre. Den samlede kraft på legemet vil derfor blive mindre og mindre, og til sidst være lig nul, og
man kan derfor skrive F
t
=F
luft
, hvor hastigheden er blevet konstant.
Det vil sige: mg = kv
max
eller mg=kv
max
2
Hvis man nu dividerer med m på begge sider, får man:
g =
kv
max
m
0 = g −
k
m
v
max
Hvis man skal udtrykke v
max
kan man enten skrive :
v
max
=
mg
k
eller v
max
=
mg
k
Hvis man ser på en partikels position s(t) til forskellige tidspunkter t kan man beregne partiklens
gennemsnitshastighed inden for et givet tidsinterval ved at tage ∆s/∆t. Det er dog nødvendigt at antage at
s(t) er kontinuér. Hvis man for eksempel vil bestemme hastigheden i interval [t
0
; t
0
+ h], skal man finde
forskellen i strækningen, s(t
0
+ h) – s(t
0
), og dividere med det tidsrum, det foregår i, ∆t.
strækning
tidsrum
=
s
t
=
s(t
0
+ h) − s(t
0
)
h
= v
gen
Hvis man nu lader h gå mod nul, altså mindsker tidsrummet, vil
s(t
0
+ h) − s(t
0
)
h
→ s'(t
0
)
, da s(t) er
kontinuér.
For at finde hastigheden i s(t
0
) skal man altså finde hældningen på tangenten i t
0
. Derfor får man at s’(t
0
)
= v(t
0
)=
ds
dt
Acceleration er hastighedstilvæksten pr. tidsenhed, ∆v/∆t, og for at finde denne skal man tage den
gennemsnitlige acceleration i et bestemt tidsrum:
Bevægelse med luftmodstand - 4 - Studieretningsopgave
hastighedsændring
tidsrum
=
v
t
=
v(t
0
+ h) − v(t
0
)
h
= a
gen
Når man så lader h gå mod nul, får man den øjeblikkelige acceleration i t
0
. Altså:
v(t
0
+ h) − v(t
0
)
h
→ v'(t
0
)
og man får så at a(t
0
) = v’(t
0
) =
dv
dt
Sammenhængen er altså følgende:
a(t) = v’(t) = s’’(t)
Når farten er konstant har man altså følgende lineære funktion: s(t) = v
0
t + s
0
Når accelerationen er konstant, ved man at v’(t)=a → v(t)= at + v
o
, og når s’(t) = v(t), får man:
s(t) = v(t)dt
at + v
0
dt =
1
2
at
2
+ v
0
t + s
0
Forsøg med kageforme
Anvendt apparatur
- Bevægelses-sensor
- Stativ til at opbygge systemet
- Kageform (til muffins)
- Computer med LoggerPro
Fremgangsmåde
Vi placerede bevægelses-sensoren 3,7 m over jorden på trappen. Vi startede med at lade en kageform
falde ned en halv meter fra sensoren. Derefter lod vi to kageforme falde osv. Det gode med kageforme er
at man let kan ændre deres masse uden at ændre deres form.
Bevægelse med luftmodstand - 5 - Studieretningsopgave
Måleresultater:
1 kageform:
Ligning: s(t)= vt + s
0
→ s(t) = 1,389t - 0,2689
Da det er en lineær funktion, kan man se at hastigheden er konstant. Derfor gælder det at s’(t)=v(t)=k
v(t) = 0,04994t
Teoretisk burde grafen være vandret i punktet v
max
=1,389, men målingerne kan have været usikre. Man
kan på grafen se at kageformen accelerer en smule i starten, men derefter bliver farten konstant. Der
kommer altså en asymptote i v=v
max
.
Bevægelse med luftmodstand - 6 - Studieretningsopgave
2 kageforme
s(t) = 1,701t - 0,469
Det er igen en lineær funktion, og v(t) grafen er også forholdsvis vandret.
v
max
=1,701 m/s
Bevægelse med luftmodstand - 7 - Studieretningsopgave
3 kageforme
s(t) = 2,318t - 0,7879
Det er igen en lineær funktion, og v(t) grafen er også meget vandret.
v
max
=2,318 m/s
Bevægelse med luftmodstand - 8 - Studieretningsopgave
4 kageforme:
s(t) = 2,493t – 0,9938
Det er igen en lineær funktion, og v(t) grafen er også meget vandret.
v
max
=2,493 m/s
Bevægelse med luftmodstand - 9 - Studieretningsopgave
5 kageforme
s(t) = 2,838t – 0,6918
Det er igen en lineær funktion, og v(t) grafen er også forholdsvis vandret.
v
max
=2,838 m/s
Databehandling
For at finde ud af, hvilket formel, Stokes gnidningslov eller v
2
-loven, der passer bedst, prøver jeg at tage
LinReg på begge, men en gang hvor jeg sætter List1 i anden.
List1, y, v
max
[m/s]
List2, x, m [kg]
1,389
0,00032
1,701
0,00064
2,318
0,00094
2,493
0,00128
2,838
0,0016
Bevægelse med luftmodstand - 10 - Studieretningsopgave
v
max
=1153,125m + 1,0408, r
2
=0,973, r=0,986
v
max
2
=4855,2·
m
+ 0,2515, r
2
= 0,975, r=0,9877
De to loves r-værdier ligger tæt på hinanden, og ingen af dem passer rigtig godt. Dog burde v
2
-loven
passe bedst, da det var forholdsvis store hastigheder i forhold til kageformens masse.v
2
ligger desuden
tættest på (0,0).
For nu at finde sammenhængen mellem antallet af kageforme samt v
max
, har jeg tastet tallene ind i
stats/list på cas:
List1, n
List2, v
max
[m/s]
1
1,389
2
1,701
3
2,318
4
2,493
5
2,838
Så tager jeg PowerReg, og får følgende: n(v
max
) = 0,55·v
max
2,134
, r=0,986, r
2
=0,971
n
v
Det gælder som sagt at F
luft
= ½· ρ
luft
·A·c
w
·v
max
2
Man får derfor skrive:
n · m
kageform
· g = ½· ρ
luft
· A · c
w
· v
max
2
Bevægelse med luftmodstand - 11 - Studieretningsopgave
n =
1/2
luft
A c
w
m
form
g
v
max
2
hvor n star for antallet af forme, Hvis man isolerer n, får man:
For at finde ud af om ligningen passer med den teoretiske sammenhæng kan man sammenligne de
forskellige konstanter:
n(v
max
) er opløftet i 2,134, mens den i teorien er opløftet i 2, hvilket passer meget godt med hinanden.
Derudover kan man tjekke om teorikonstanten passer med 0,55.
0,55 =
1/2
luft
A c
w
m
form
g
ρ
luft
= 1,293 kg/m
3
A = (0,0465
2
m) · π = 0,00679 m
2
For at finde c
w
, indtaster jeg punktet (1.389,1)
solve(1=((½·1,293·0,00679·c
w
)/(0,00032·9,82))·1,389
2
, c
w
) c
w
= 0,371
Formfaktoren c
w
er ca. 0,4 for en cylinder og ca. 1 for en kugle, så da kageformene var lidt
kegleformede, men stadig med cirkelform, burde formfaktoren ligge mellem de to tal. Mit ligger dog
under, hvilket må have noget at gøre med upræcise målinger.
Nu kan man se, om konstanten passer:
1/2
luft
A c
w
m
form
g
=
1/2 1,293kg/m
3
0,00679m
2
0,371
0,00032kg 9,82m /s
2
= 0,52
Afvigelse: (0,55-0,52)/0,55 ·100 %= 5,5%
Det er en nogenlunde afvigelse, og man kan sige at der er overensstemmelse mellem det teoretiske og
det afmålte.
Sammenhængen mellem luftmodstanden og hastigheden:
List1, x, v
max
[m/s]
List2, y, F
luft
[N]
1,389
0,00314
1,701
0,0047
Bevægelse med luftmodstand - 12 - Studieretningsopgave
2,318
0,00875
2,493
0,0101
2,838
0,01312
Jeg tager QuadReg på cas og får følgende:
F
luft
= 0,00165v
2
, R
2
= 0,99999
F
luft
v
Man kan altså sige at jo større hastigheden er, jo mere luftmodstand er der.
Fejlkilder
Fejlkilder i dette forsøg er usikre målinger, og da kageformen ikke faldt helt lige ned i en retningslinje.
Vi udregnede desuden arealet for en cirkel, men kageformene var en smule som en
cylinderform.Derudover kan luftens densitet have en anden værdi, da denne afhænger af temperaturen
og trykket.
Konklusion
Bevægelsen af kageformene er afhængig af deres vægt, på de måde at jo tungere kageformene er, jo
længere tid vil de bruge på at accelerere op i fart. Derfor vil de få en højere konstant fart end de lette.
Bevægelse med luftmodstand - 13 - Studieretningsopgave
Desuden stiger luftmodstanden, når hastigheden bliver større.Det vil sige at jo større masse, jo større
v
max
, og jo større luftmodstand. Kageformenes fald kan beskrives som F
luft
=k·v
2
eller F
luft
= ½·
ρ
luft
·A·c
w
·v
max
2
Opgaver
1.
Ved en række målinger af en bevægelse fandt man følgende sammenhæng mellem s
(stedet målt i m) og t (tiden, målt i sekunder)
t(s)
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
s(m)
0.33
0.55
0.74
0.9
1.04
1.15
1.23
1.3
1.33
1.33
1.31
1.27
a) Afsæt (t,s) –værdierne i et koordinatsystem. Hvilken sammenhæng ser der ud til at være?
Bestem ved regression en forskrift for s som funktion af t.
Kurven i intervaller [0.7;1.8] ser ud som om det er en parabel.
Jeg taster t ind på List1 og s ind på List2 i stats/list, hvorefter jeg laver QuadReg, og får:
s=-1,31t
2
+ 4,13 t – 1,92
r
2
= 0,99991
b) Bestem middelhastigheden over hvert af intervallerne
0.7;0.9, 0.8;1.0........1.6;1.8
Jeg finder middelhastigheden for [0.7;09] ved at tage: (0.74-0.33)m/(0.9-0.7)s=2,05 m/s
Bevægelse med luftmodstand - 14 - Studieretningsopgave
Og så gør jeg det samme for resten af intervallerne.
Intervallet
0.7;0.9
bruges som tilnærmelse til hastigheden v til tidspunktet
t = 0.8 (sekunder ) osv.
t(s)
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
v(m/s)
2,05
1,75
1,5
1,25
0,95
0,75
0,5
0,15
-0,1
-0,3
c) Afsæt (t,v) – værdierne i et koordinatsystem. Hvilken sammenhæng ser der ud til at være?
Bestem ved regression en forskrift for v som funktion af t.
Det ser ud som at være en lineær sammenhæng. Jeg taster t ind på list1 og v ind på list2, og vælger
LinReg på cas. Jeg får:
v(t) = -2,63t + 4,13, R
2
= 0,9985
v
t
d) Hvad gælder der om bevægelsens acceleration?
a(t)=v’(t)=-2,63 m/s
2
Bevægelse med luftmodstand - 15 - Studieretningsopgave
2.
En aflang ballon med en lille smule vand i er blevet sluppet i 3 m’s højde. Undervejs har man målt
ballonens hastighed som funktion af tiden.
t(s)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
v(m/s)
0
0,89
1,62
2,21
2,70
3,10
3,42
3,69
3,91
4,09
4,24
a) Hvad er accelerationen til at begynde med?
Jeg taster t ind på list1 og v på list2 i stats/list på cas, hvorefter jeg laver QuartReg.
Jeg får: v(t) =-1,28t
4
+ 5,19t
3
– 9,44t
2
+ 9,78t + 0,00063
R
2
= 0,999998
v
t
v(t) vil derefter fortsætte frem og få en asymptote i punktet v=v
max
.
Jeg ved at v’(t) = a(t).
v’(t) = -1,28·4t
3
+ 5,19·3t
2
- 9,44·2 t + 9,78 = -5,12x
3
+ 15,57x
2
– 18,88x + 9,78
Acceleration i start: a(0) = 9,78 m/s
2
Bevægelse med luftmodstand - 16 - Studieretningsopgave
Denne burde have været 9,82 m/s
2
, hvilket passer godt.
b) Prøv at bestemme accelerationen som funktion af hastigheden.
a(t) = -5,12t
3
+ 15,57t
2
– 18,88t + 9,78
t(s)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
v(m/s)
0
0,89
1,62
2,21
2,70
3,10
3,42
3,69
3,91
4,09
4,24
a(m/s
2
)
9,78
8,04
6,59
5,38
4,39
3,59
2,95
2,44
2,02
1,67
1,35
Nu taster jeg v ind på list1 og a på list2 på cas, og vælger LinReg. Jeg får:
a(v) = -1,99v + 9,79
r
2
= 0,99994
a
v
c) Hvordan mon luftmodstanden afhænger af hastigheden?
ΣF = m·a = mg - F
luft
F
luft
= mg – m· a(v) F
luft
= m·g - m·(-1,99v + 9,79) = 9,82m + 1,99mv –
9,79m = 1,99m·v + 0,03m k
1
v+k
2
Hvor k
2
bude være lig nul, og næsten er det. Det vil altså sige at luftmodstanden er proportional med
hastigheden.
d) Vis at det passer med en funktion af typen
0
() (1 )
kt
vt v e
−
=−
.
Bevægelse med luftmodstand - 17 - Studieretningsopgave
Man kan skrive følgende ligning:
a =
dv
dt
= g −
k
m
v = g −c v
For at løse denne bruger jeg deSolve på cas.
deSolve(v’=9,82-c·v,t,v)
v = k · e
-c·t
+ 9,82/c
Omskriver man
v(t) = v
0
(1− e
−kt
) = v
0
− v
0
e
−kt
= −ce
−kt
+ c
Man kan nu se at de er af samme type.
e) Hvor langt har ballonen bevæget sig i løbet af det første sekund?
v’(t) = s(t)
−1,28t
4
+ 5,19t
3
−9,44t
2
+ 9,78t
0
1
+ 0,00063 = 2,79m