Studiekompasset.dk Skriftligt fysik STX, A-niveau, Maj 2008
Opgave 5
a
Vi ved at farten, v, for et obejekt i frit fald (når man ser bort fra luftmodstand) er
masseuafhængig og givet ved:
v =
p
2 · g · h
hvor g er tyngdeaccelerationen og h er højden som genstanden slippes fra.
Denne formel kan uden større problemer udledes fra loven om energibevarelse.
Vi indsættes vores kendte størrelser og finder stenens fart:
v =
r
2 · 9, 82
m
s
2
· 22m = 20, 8
m
s
Vi finder altså at stenens fart efter 22 m er 20, 8
m
s
b
Ser man bort fra luftmodstand er den resulterende kraft givet ved:
F
res
= F
t
+ F
fjeder
= m · a
Vi isolerer nu accelerationen, a.
F
t
+ F
fjeder
= m · a
m
a =
F
t
m
+
F
fjeder
m
m Da F
t
= m · g
a = g +
F
fjeder
m
Jvf. Hookes lov gælder
F
fjeder
= −k · x
Vi ser altså her at den største kraft - og dermed den største acceleration - opnås når
fjederen er i sin yderposition. Dette må altså også gælde for den samlede acceleration da
tyngdekraften på manden er konstant.
Vi finder da accelerationen i yderpositionen:
a = 9, 82
m
s
2
+
−1, 2 · 10
3
N
m
· 5, 5m
86kg
= −66, 9
m
s
2
Accelerationen får altså her negativt fortegn, hvilket stemmer meget godt overens med at
snoren trækker bjergbestigeren opaf.
1
Studiekompasset.dk Skriftligt fysik STX, A-niveau, Maj 2008
c
Da bjergbestigeren hænger stille ved vi at F
res
= 0. Da må gælde:
F
res
= F
t
+ F
fjeder
= 0
m
|F
t
| = |F
fjeder
|
m
|mg| = | − kx|
m Da alle størrelser er positive
x =
mg
k
Vi indsætter de kendte størrelser og finder:
x =
86kg · 9, 82
m
s
2
1, 2 · 10
2
N
m
= 0, 7m
Enhedsforklaring:
[x] =
kg ·
m
s
2
N
m
=
N
N
m
= m
da N =
kg·m
s
2
Da rebet i ligevægtpositionen er 16,1 m langt vil bjergbestigeren altså hænge stille efter
16, 1m + 0, 7m = 16, 8m
I denne delopgave skal vi finde den maximale fart der opnås under faldet. Denne fart
indfinder sig når bjergbestigerens samlede accelerationen 0 og dermed der hvor den resul-
terende kraft er 0. Før denne indtræffer er a > 0 og hastigheden forøges derved.
Bemærk at dette punkt ikke er det punkt hvor rebet strammes.
Vi gør brug af energibevarelse, idet vi kigger på de to punkter x
1
= 16, 1m og x
2
= 16, 8m
(det punkt hvori vi ved at F
res
= 0 fra tidligere i opgaven) hvor x
2
er vores nulpunkt. Den
mekaniske energi i dette punkt er givet ved:
E
mek
= E
pot
+ E
kin
= mgh +
1
2
mv
2
Idet vi husker fra delopgave a hvorledes hastigheden i frit fald udregnes findes:
E
mek
x
1
= 86kg · 9, 82
N
kg
· 0, 7m +
1
2
+ 86kg ·
r
2 · 16, 1m · 9, 82
m
s
2
2
= 14, 19kJ
Den potentielle energi for en fjeder er givet ved
2
Studiekompasset.dk Skriftligt fysik STX, A-niveau, Maj 2008
E
pot
=
1
2
· k · x
2
hvor x er udstrækningen fra ligevægtspositionen.
Vi beregner nu den potentielle energi i punktet x
2
, der er vores nulpunkt.
E
potx
2
=
1
2
· 1, 2 · 10
3
N
m
· (0, 7m)
2
= 0, 294kJ
Vi ved at den mekaniske energi er bevaret, dvs at E
mek
x
1
= E
mek
x
2
. ’Resten’ af den
mekaniske energi i x
2
- vores nulpunkt - må altså udgøres af kinetisk energi. Vi finder at:
E
kin
x
2
= 14, 19kJ − 0, 294kJ = 13, 89kJ
Farten som afhængig funktion af den kinetiske energi er:
E
kin
=
1
2
· m · v
2
⇔ v =
s
2 · E
kin
m
Vi indsætter vores kendte størrelser der tæller massen, og den kinetiske energi i nulpunktet
og finder:
v =
s
2 · 13, 89 · 10
3
J
86kg
= 17, 9
m
s
Enhedsforklaring:
[v] =
s
10
3
J
kg
=
v
u
u
t
kg·m
2
s
2
kg
=
s
m
2
s
2
=
m
s
hvor
kg·m
2
s
2
er definitionen på 1 Joule
Bjergbestigeren opnår altså den enormt høje fart af 17, 9
m
s
3