Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx111-MAT/A-
Delprøven uden hjælpemidler - Stx Matematik A maj 2011
Sæt 1
Alle formelnumrerne i opgaverne henviser til Matematisk formelsamling STX A fra
2007.
Bemærk: Formelsamling må ikke anvendes til opgaver uden hjælpemidler.
Referencer til en formelsamling bør ikke medtages i en besvarelse, og formelhenvisnin-
ger kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager
formelnumre i vores løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i
hver mellemregning.
Opgave 1 - Løsning af andengradsligning
For at løse andengradsligningen bestemmer vi først diskriminanten, d = b
2
− 4ac.
Vi udregner d = 1
2
−4 ·1 ·(−12) = 1 + 48 = 49. Da d > 0 har ligningen to løsninger, som
er givet ved (formel 79)
x =
−1 ±
√
49
2 · 1
=
−1 ± 7
2
m
x = 3 ∨ x = −4
Løsningsmængden til ligningen er dermed L = {−4, 3}
Tip: Den givne ligning er en andengradsligning af typen ax
2
+ bx + c = 0, hvor
a = 1, b = 1 og c = −12.
Opgave 2 - Ortogonale vektorer
For at bestemme t således at ~a og
~
b er ortogonale bruges at to vektorer er ortogonale hvis
skalarproduktet (el. prikproduktet) mellem dem er 0. Vi løser derfor ligningen ~a ·
~
b = 0 for
t.
2
t + 1
!
·
t − 1
3
!
= 0
m (formel 62)
(2 · (t − 1)) + ((t + 1)(3)) = 0
m
2t − 2 + 3t + 3 = 0
m
5t + 1 = 0
m
t = −
1
5
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx111-MAT/A-
Opgave 3 - Fortolkning af eksponentiel model
Den angivne model angiver en eksponentielt voksende sammenhæng mellem antal dage
og antal fluer af typen f (t) = b · a
t
= b · (1 + r)
t
. I denne type model ved vi at b angiver
værdien for x = 0, og r angiver vækstraten.
I den angivne model er b = 23 og a = 1 + r = 1, 386 ⇔ r = 0, 386 = 38, 6% og dermed
kan vi konkludere at der er 23 fluer til start og at populationen vokser med 38, 6% pr.
døgn.
Opgave 4 - Er f (x) en løsning til differentialligningen?
For at undersøge om f (x) = e
x
− x − 1 er en løsning til differentialligningen „gøres
prøve“ ved at indsætte funktionsudtrykket i stedet for y på begge sider af lighedstegnet i
differentialligningen og undersøge om begge sider „ender med“ at være identiske.
venstre side
(e
x
− x − 1)
0
=
(formel 121)
(e
x
)
0
+ (−x)
0
+ (−1)
0
=
(formel 126)
e
x
− 1
højre side
y + x =
e
x
− x − 1 + x =
e
x
− 1 =
Som det fremgår af ovenstående er begge sider af differentialligningen, efter indsættel-
se af funktionsudtrykket ens og dermed er ligningen sand. Derfor er f (x) = e
x
−x −1 en
løsning til differentialligningen
dy
dx
= y + x.
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx111-MAT/A-
Opgave 5 - Bestemmelse af stamfunktion
For at bestemme stamfunktionen til f , der går igennem punktet P (1, 3) bestemmer vi
først det ubestemte integrale af f
Z
f(x) dx =
Z
2x +
1
x
dx =
(formel 144)
Z
2x dx +
Z
1
x
dx =
(formel 137 og 138)
x
2
+ ln |x| + k =
da x > 0
x
2
+ ln x + k
hvor k er integrationskonstanten.
En vilkårlig stamfunktion til f kan således udtrykkes som: F (x) = x
2
+ln x+k, x > 0.
Da grafen for den søgte stamfunktion går igennem punktet P (1, 3) skal der gælde at
F(1) = 3. Ved at indsætte dette i ligningen kan k bestemmes:
3 = 1
2
+ ln 1 + k
m (Husk ln 1 = 0)
3 − 1 = k
m
k = 2
Den stamfunktion til f, hvis graf går gennem P (1, 3) har dermed forskriften:
F (x) = x
2
+ ln x + 2, x > 0
Opgave 6 - Bestemmelse af monotoniforhold for f ud fra graf for f
0
Det ses ud fra grafen for f
0
at f
0
(−2) = f
0
(3) = f
0
(5) = 0. Vi tegner nu en monotonilinje:
Vi kan nu konkludere følgende om monotoniforholdende for f
x -2 3 5
f’(x) - + - +
f(x) aft. lokalt min. voks. lokalt maks. aft. lokalt min. voks.
f er voksende i intervallerne [ −2, 3] og [5, 6]
f er aftagende i intervallerne [−3, −2] og [3, 5]
f har lokalt minimum for x = −2 og x = 5
f har lokalt maksimum for x = 3
I denne opgave er det vigtig at læse opgaveteksten korrekt, og dermed forstå at det
er grafen for f
0
og ikke f , der er afbildedet.
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 1stx111-MAT/A-
4