Studiekompasset.dk stx122-MAT/B-
Delprøven uden hjælpemidler Stx matematik B 15. august
2012
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Bemærk at formelsamlingen må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemid-
ler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1 (Løs ligningen)
Ligningen løses.
2x + 3 = −5x + 17
7x = 14
x = 2
Løsningsmængden til ligningen er altså L = {2}.
Opgave 2 (Procentregning)
Antallet af år efter Peter sætter pengene i banken kaldes n, og kontoen indestående til
tiden n kaldes K(n). Da bliver modellen for kontoens udvikling (jf. formel 4)
K(n) = 25.000 ·(1 + 4, 5%)
n
= 25.000 · 1, 045
n
Opgave 3 (Firkant sammensat af fire rektviklede trekanter)
Længden x bestemmes først ved hjælp af Pythagoras’ læresætning (jf. formel 21).
x
2
= 10
2
− 6
2
= 100 − 36 = 64
Da x er en længde og dermed x > 0 fås da
x =
√
x
2
=
√
64 = 8
Der gælder altså at x = 8.
Arealet af dragen er summen af arealerne af de fire trekanter.
A = 2 ·
1
2
· 6 · 8
+ 2 ·
1
2
· 6 · 2 · 8
= 144
Arealet af dragen er altså 144.
Opgave 4 (Eksponentielt voksende funktion og fordoblingskonstant)
Da 11 − 3 = 8 fås at
f(11) = 2 · f (3) = 2 · 12 = 24
Der gælder altså at f(11) = 24.
1
Studiekompasset.dk stx122-MAT/B-
Opgave 5 (Arealbestemmelse ved integration)
Det ses umiddelbart af forskrifet for f at den har rødderne 0 og 1.
f(0) = −6 · 0
2
+ 6 · 0 = 0
f(1) = −6 · 1
1
+ 6 · 0 = −6 + 6 = 0
Arealet bestemmes ved integration (jf. formel 96)
M =
Z
1
0
f(x) dx =
Z
1
0
−6x
2
+ 6x
dx
(jf. formel 93, 94, 84)
=
−6
3
x
3
+
6
2
x
2
1
0
=
h
−2x
3
+ 3x
2
i
1
0
= −2 · 1
3
+ 3 · 1
2
−
−2 · 0
3
+ 3 · 0
2
= 1
Arealet M er således bestemt til M = 1.
Opgave 6 (Bestemmelse af monotoniforhold)
Først bestemmes f
0
.
f
0
(x) =
ln(x) −
1
2
x + 5
0
(jf. formel 72, 73)
= (ln(x))
0
−
1
2
x
+ (5)
0
(jf. formel 71)
= (ln(x))
0
−
1
2
(x) + (5)
0
(jf. formel 74, 78)
=
1
x
−
1
2
+ 0
Den første afledede af funktionen f er altså
f
0
(x) =
1
x
−
1
2
For at bestemmes monotoniforholdene for f løses først ligningen f
0
(x) = 0 for x.
f
0
(x) = 0
m
1
x
−
1
2
= 0
m
1
x
=
1
2
m
x = 2
2
Studiekompasset.dk stx122-MAT/B-
Fortegnet for f
0
bestemmes nu for de to intervaller x = 2 inddeler definitionsmængden
for f i.
f
0
(1) =
1
1
−
1
2
=
1
2
f
0
(4) =
1
4
−
1
2
= −
1
4
Dette giver anledning til følgende monotonilinie.
x 2
f
0
(x) + 0 −
f(x) % &
Det ses at funktionen f vokser på ]0; 2] og at funktionen aftager på [2; ∞[.
3