Studiekompasset.dk 1stx121-MAT/B-
Delprøven uden hjælpemidler Stx matematik B 25. maj
2012
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Bemærk at formelsamlingen må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemid-
ler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1 (Løsning af førstegradsligning)
Ligningen løses.
2(3x − 1) = 4x + 8
m
6x − 2 = 4x + 8
m
6x − 4x = 8 + 2
m
2x = 10
m
x = 5
Løsningsmængden til ligningen er L = {5}.
Tjek altid dit resultat efter ved at indsætte den fundne løsning i den oprindelige
ligning.
Opgave 2 (Fortolkning af lineær model)
Der er tale om en lineær model af formen f(x)= ax+b hvor a = 5, 5 og b = 110. Tallet
b = 110 angiver drengenes højde i cm når de er fem år og tallet a = 5, 5 er den årlige
vækstrate. Dvs. ifølge modellen vokser drengene 5,5 cm om året når de er mellem 5 og 17
år.
Opgave 3 (Løsning af andengradsligning)
Da der er tale om en andengradsligning beregner vi først diskriminanten (jf. formel 39)
d = b
2
− 4ac = 1
2
− 4 · 1 · (−12) = 49
1
Studiekompasset.dk 1stx121-MAT/B-
Da d > 0 har ligningen to løsninger som er givet ved
x =
−b ±
√
d
2 · a
m
x =
−1 ±
√
49
2
m
x =
−1 ± 7
2
m
x = −4 ∨ x = 3
Løsningsmængden til ligningen er L = {−4, 3}.
Opgave 4 (Bestemmelse af ligningen for tangenten for f i punkt)
En ligning for tangenten til grafen for f i P (x
0
, f(x
0
)) er givet ved (jf. formel 119)
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f(x
0
)
Vi bestemmer først f
0
(x)
f
0
(x) =
x
3
+ 4x
2
− 2x − 1
0
(jf. formel 71,72,73)
=
x
3
0
+ 4
x
2
0
− 2(x)
0
− (1)
0
(jf. formel 78)
= 3x
2
+ 4(2x) − 2 − 0
= 3x
2
+ 8x − 2
Nu bestemmes
f
0
(2) = 3 · 2
2
+ 8 · 2 − 2 = 26
og
f(2) = 2
3
+ 4 · 2
2
− 2 · 2 − 1 = 19
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet (2, f(2)) er dermed givet ved
y = 26(x − 2) + 19 = 26x − 33
Opgave 5 (Hvilken graf hører til hvilken funktion?)
Ud fra forskrifterne ses det at:
f er en eksponentielt voksende funktion
g er en eksponentielt aftagende funktion
2
Studiekompasset.dk 1stx121-MAT/B-
h er en andengradsfunktion med en parabel med „grenene“ opad som graf, da a = 1 > 0.
Vi kan dermed konkludere at grafen C er graf for f, grafen A er graf for g og grafen
B er graf for h.
Opgave 6 (Bestem forskrift for stamfunktion til f, hvis graf går
igennem punkt)
For at bestemme stamfunktionen til f , der går igennem punktet P (1, 3) bestemmer vi
først det ubestemte integrale af f
Z
f(x) dx
=
Z
5x
4
+ e
x
dx
(jf. formel 94)
=
Z
5x
4
dx +
Z
e
x
dx
(jf. formel 93)
=5
Z
x
4
dx +
Z
e
x
dx
(jf. formel 84,81)
=5
1
5
x
5
+ e
x
+ k
=x
5
+ e
x
+ k
hvor k er integrationskonstanten.
En vilkårlig stamfunktion til f kan således udtrykkes som: F (x) = x
5
+e
x
+k. Da grafen
for den søgte stamfunktion går igennem punktet P (0, 10), skal der gælde at
F(0) = 10. Ved at indsætte dette i ligningen kan k bestemmes:
10 = 0
5
+ e
0
+ k
m (Husk e
0
= 1)
10 = 0 + 1 + k
m
k = 10 − 1 = 9
Den stamfunktion til f , hvis graf går gennem P (0, 10) har dermed forskriften:
F (x) = x
5
+ e
x
+ 9
3