Studiekompasset.dk 2stx121-MAT/B-
Delprøven uden hjælpemidler Stx matematik B 31. maj
2012
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Bemærk at formelsamlingen må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemid-
ler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1 (Hvilken graf hører til hvilken funktion?)
Graferne og funktionerne kan parres ved at se på hældningen eller skæringen med anden-
aksen. Én af delene er nok, da funktionerne passer 1-1 med graferne. Her vælges skæringen
med andenaksen. Grafen for funktionen f skærer andenaksen i 1 og må derfor være A.
Grafen for funktionen g skærer andenaksen i 0 og må derfor være C. Grafen for h skærer
andenaksen i 2. Grafen B er den eneste hvis skæring med andenaksen er større end 1.
Grafen for h er altså B.
Opgave 2 (Løsning af andengradsligning)
Først bestemmes diskriminanten (jf. formel 39).
d = b
2
− 4ac = 8
2
− 4 · 1 · 15 = 64 − 60 = 4
Diskriminanten er altså 4.
Da d = 4 > 0 har andengradsligningen to løsninger. Løsningerne bestemmes (jf. formel
39)
x =
−b ±
√
d
2a
=
−8 ±
√
4
2 · 1
=
−8 ± 2
2
= −4 ± 1
Løsningsmængden til ligningen er altså L = {−5, −3}.
Opgave 3 (Trekantsberegninger)
Længden |AB| bestemmes ved hjælp af Pythagoras’ læresætning (jf. formel 21) da trekant
ABD er ret.
|AB|
2
= |AD|
2
+ |BD|
2
= 8
2
+ 6
2
= 64 + 36 = 100
Da |AB| er en længde må |AB| > 0 så
|AB| =
q
|AB|
2
=
√
100 = 10
Længden fås altså til
|AB| = 10
For at bestemme arealet af trekant ABC bestemmes først grundlinien AC. Da om-
kredsen af trekant ABC kendt kan |DC| let bestemmes.
|DC| = 30 − |AB| − |BC| − |AD| = 30 − 10 − 7, 5 −8 = 4, 5
1
Studiekompasset.dk 2stx121-MAT/B-
Endelig bestemmes arealet (jf. formel 29)
T =
1
2
h · g =
1
2
· 6 · (8 + 4, 5) = 37, 5
Arealet af trekant ABC er altså 37, 5.
Opgave 4 (Eksponentiel udvikling)
Tabellen udfyldes.
x 0 3 6 9
f(x) 7 14 28 56
Opgave 5 (Differentiering og tangent)
Først bestemmes f
0
.
f
0
(x) = (2 · e
x
+ 1)
0
(jf. formel 72)
= (2 · e
x
))
0
+ (1)
0
(jf. formel 71)
= 2 · (e
x
)
0
+ 0
(jf. formel 75)
= 2 · e
x
Den første afledede af f er altså
f
0
(x) = 2 · e
x
For at bestemme tangenten bestemmes først f (0).
f(0) = 2 · e
0
+ 1 = 3
Nu bestemmes f
0
(0).
f
0
(0) = 2 · e
0
= 2
Endelig kan tangenten bestemmes ved hjælp af (jf. formel 70)
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f(x
0
)
For punktet (0, f (0)) giver det
y = 2(x − 0) + 3 = 2x + 3
Tangenten til grafen for f i punktet P (0, f (0)) er altså
y = 2x + 3
2
Studiekompasset.dk 2stx121-MAT/B-
Opgave 6 (Bestemmelse af stamfunktion)
Kald den ønskede stamfunktion F . Det vides da at for et passende tal c gælder
F (x) = 2x
2
+ 3x + c
Da grafen for F går gennem punktet P (1, 10) løses ligningen F (1) = 10 for c.
F (1) = 10
m
2 · 1
2
+ 3 · 1 + c = 10
m
5 + c = 10
m
c = 5
Den stamfunktion til f hvis graf går gennem punktet P (1, 10) er altså F
1
.
3