1
Indhold
Indhold Side 1
Indledning Side 2
Den historiske udvikling af løsningen til tredjegradsligningen Side 2
Den komplekse talplan Side 4
Regneregler for de komplekse tal Side 4
Modulus og Argument Side 6
De Moivres formel og den binome ligning Side 7
Andengradsligningen Side 9
Tredjegradsligningen Side 9
Løsning af opgave 1 Side 15
Løsning af opgave 2 Side 17
Konklusion Side 20
Litteratur Side 20
Bilag Side 21
2
Det Komplekse Talsystem
Indledning
Da det primære formål med denne opgave er at udlede en generel løsningsformel til den komplekse
tredjegradsligning, er det nødvendigt at have kendskab til de almene regneregler for de komplekse
tal, samt kunne løse en binom ligning og en andengradsligning. Dette vises i praksis på to
eksempler. I denne opgave vil jeg også komme ind på den historiske udviklingen af løsningen af
den komplekse tredjegradsligning, samt repræsentationen af de komplekse tal.
Den historiske udvikling af løsningen til tredjegradsligningen
Det er svært at afgøre hvem der fandt den generelle løsningsformel til den såkaldt kubiske ligning:
qpxx
3
hvor
Rqp,
....(1)
Nogle kilder siger at professoren Scipione Del Ferro fandt løsnigen, hvorefter han fortalte nogle af
sine elever den. Derefter skulle hans elev Antonio M. Fiore have udfordret matematikeren Niccolo
Tartaglia, som ifølge andre kilder også havde fundet en løsningsformel til (1), til matematikduel.
Duellen foregik ved at de to duellanter sendte hinanden 30 opgaver, som de naturligvis selv kunne
løse. Efter 30 dage skulle de så mødes foran et publikum og fremlægge løsningerne til deres egne
og modstanderens opgaver (såfremt de kunne løse dem). De fleste af disse opgaver skulle angiveligt
have ført til den kubiske ligning, hvorfor Tartaglia ikke havde nogle problemer med at løse dem, da
han kunne anvende hans løsningsformel til at løse dem.
Andre kilder siger at Tartaglia ikke kendte til løsningsformlen før han modtog opgaverne. Da han
modtog opgaverne indså han at der måtte findes en løsning, hvorfor det lykkedes ham at finde den.
Gerolamo Cardano, som havde skrevet en kendt bog om aritmetik, havde stor interesse i denne
løsning. Derfor fandt han en generel løsning til (1) og offentliggjorde den i det kendte værk Ars
Magna (Den Store Kunst) fra 1545.Om det var afhængigt eller uafhængigt at Tartaglia vides ikke.
Løsningsformlen til ligning (1) og
qpxx
3
, hvor
0p
og
0q
...(2) gav han ved:
3
32
3
32
)
3
()
2
(
2
)
3
()
2
(
2
pqqpqq
x
...(3), også kendt som Cardanos formel.
Ydermere optræder de komplekse tal i samme værk i en opgave der lyder ”Del 10 i to dele, hvis
produkt er 40”. Selvom Cardano skriver at ”det er klart, at dette tilfælde eller spørgsmål er umuligt”
giver han løsningerne
155
og
155
note 1
hvilket gav matematikeren Rafael Bombelli, som
Note 1
H.G ”Talbegrebets historie” s.77
3
også var af italiensk oprindelse, anledning til at regne videre på (3), selv med
0)
3
1
()
2
1
(
2
q
. Han
kiggede på ligningen
415
3
xx
. Ved Cardanos formel bliver løsningen givet ved:
33
3
32
3
32
)
3
15
()
2
4
(
2
4
)
3
15
()
2
4
(
2
4
x
.... (4)
hvilket, i den tid, så uløselig ud, da man ikke før havde regnet med kvadratroden af negative tal.
Dog lykkedes det Bombelli at vise at
1212)12(
3
note 2
hvilket gjorde det muligt at finde
en løsning til (4), ved
21212
33
x
Dog viser det sig at alle ligninger af type (1) eller (2) ikke er så lige til at beregne. Det ses bl.a. ved
ligningen
38
3
xx
som ved Cardanos formel giver
33
)
108
1805
(
2
3
)
108
1805
(
2
3
x
.
Da Bombelli, ved udregning
note 3
, fandt de sidste rødder til at blive
12
gav det ham anledning
til at se på tal af formen
1 ba
, hvor
Rba ,
som han kaldte ”udspekulerede tal”, men som vi i
dag betegner ”komplekse tal”.
Senere udtalte Cardano at der findes tredjegradsligninger med tre løsninger, hvilket fik den franske
matematiker Viéte til, i 1615, at finde frem til at ligningen
abcxcabcabxcbax )()(
23
, har løsningerne
bax ,
og
c
.
Matematikeren Girard udtalte i 1629 at ”enhver polynomiumsligning har nøjagtigt lige så mange
løsninger, som dens grad angiver”
note 4
.
En anden matematiker, Roger Cotes, fandt frem til at
ivvivLog )sin(cos
(skrevet i moderne
skrivemåde), hvilket vi i dag ved er ensbetydende med
iv
eviv sincos
, som Abraham De Moivre
brugte i særlige tilfælde i o. år 1722. En af de matematikkens mest kendte personer, Euler, beviste
de Moivres formel i almindelighed. Ydermere var Euler den første til at bruge betegnelsen
i
for
1
i 1777. Dog blev den først rigtig kendt i o. 1800
note 5
. Den danske landmåler Casper Wessel
gav den første brugbare geometriske fortolkning af de komplekse tal i o. 1797. Han viste
sammenhængen mellem multiplikation af komplekse tal og drejninger i den komplekse plan
note 6
.
note 2
J.C ”Komplekse tal” s.58
note 3
J.C ”Komplekse tal” s.58
note 4
H.G ”Talbegrebets historie” s. 87
note 5
J.C ”Komplekse tal” s. 59
4
Den komplekse talplan
Ligesom reelle tal kan skrives på en tallinje, kan komplekse tal skrives i et koordinatsystem, hvilket
virker logisk, idet definitionen af de komplekse tal bygger på regning med reelle talpar
note 7
. Vi
opfatter det komplekse tal
iyx
som punktet i et koordinatsystem med koordinaterne
),( yx
, hvor
xix 0
ligger på x-aksen, også kaldet den reelle akse, og
iyiy 0
ligger på y-aksen, som vi
kalder den imaginære akse. Vi kalder tallet
xix 0
et reelt tal, og tallet
iyiy 0
et rent
imaginært tal. Ved et komplekst tal skrevet på formen
ibaz
findes
a
på x-aksen, den reelle
akse, og
b
på y-aksen, den imaginære akse. Dette skriver vi som:
za Re
,
zb Im
,
zizz ImRe
Det er også værd at bemærke at et komplekst tal, z og dets konjugerede tal w ligger symmetrisk
omkring den reelle akse, idet de to komplekse tal har tilknyttet punkterne henholdsvis
yx,
og
yx ,
.
Med videre regning af komplekse tal, især argument og modulus, vil det være hensigtsmæssigt at
tegne en pil fra 0 til
ibaz
, som vi kalder stedvektoren til a. Ved hjælp af stedvektorer kan
addition af komplekse tal vises geometrisk, nemlig som normal vektoraddition i planen. Summen
eller differensen mellem to komplekse tal, er lig summen eller differensen mellem stedvektorerne til
de samme to tal.
På figur 1 i bilag 1 er der indtegnet forskellige komplekse tal, samt deres stedvektorer.
Regneregler for de komplekse tal
Før man redegør for regnereglerne for de komplekse tal, er det væsentligt at vise at man opfatter C
som et tallegeme.
Ligesom Z er en udvidelse af N, Q er en udvidelse af Z og R er en udvidelse af Q, indføres C som
en udvidelse af R. Derfor tager vi udgangspunkt i de reelle tal når vi definerer de komplekse tal, ved
at erstatte udtrykket
1
21
aa
med
),(
21
aa
, hvor
Raa
21
,
, idet udtrykket
1
er ukendt, og
udefinerbart inden for R. Hvis man ser på Bombellis udregninger får vi at:
1)()()1)(1(
1)()(11
2121
bababababbaa
bababbaa
note 6
H.G ”Talbegrebets historie” s. 100-103
note 7
Se næste afsnit for yderligere forklaring af komplekse tal som talpar
5
Med dette kan vi konkludere at addition og multiplikation af udtryk af formen
1 ba
får
resultatet af samme form, hvorfor vi kan konkludere, at ved talpar er addition og multiplikation
bestemt ved:
1)
),(),(),(
bababbaa
2)
),(),)(,(
2121
bababababbaa
Denne talmængde kaldes ”de komplekse tal” og betegnes med C
note 8
. Dermed har vi vist at C
opfattes som tallegeme, og det betegnes nu
),,( C
Førnævnte udtryk
1 ba
, skrives i moderne matematik på en anden måde.
Lader vi det rent imaginære tal (0,1) få betegnelsen
1)0,1()0110,1100()1,0()1,0()1,0(
2
ii
,
11
2
ii
og
)0,(aa
Lader vi
Rb
fås
),0()100,010()0,)(1,0( bbbbib
og dermed
ibababa ),0()0,(),(
,
og får at det komplekse tal z kan skrives på formen
ibabaz ),(
Ydermere findes udtrykket
z
, z’s konjugerede tal, som
ibaz
. Det gælder altså at ethvert
komplekst tal har et konjugeret tal, som findes ved at ændre fortegn på imaginærdelen. Altså:
ibazibaz
For regning med komplekse tal gælder de samme regler som for regning med reelle tal. For addition
gælder:
)()()(
bbiaaibaiba
Og for multiplikation gælder at:
)())((
212121
2
212211
abbaibbaaaibbiabbiaaibaiba
Det kan ydermere bevises at, idet z og w er komplekse tal, gælder det for regning med konjugerede
tal at summen af to komplekse tal z og w er lig med summen af det konjugerede tal til z og det
konjugerede tal til w. Endvidere kan det bevises at det konjugerede produkt af to komplekse tal, z
note 8
For bevis se ”komplekse og fraktaler” s. 13”
6
og w, giver samme resultatet som produktet af det konjugerede tal til z, og det konjugerede til det
andet tal w. Altså
wzwz
og
wzzw
note 9
Modulus og Argument
Videre bliver det nyttigt at indføre de to begreber modulus og argument til z, da det især viser sig
nyttigt at kende til disse udtryk ved multiplikation og division af komplekse tal. Modulus betegner
længden af stedvektoren fra 0 til z, og kan udregnes jfr. følgende formel fra plangeometrien:
22
baz
Argumentet betegner vinklen mellem den reelle talakse og stedvektoren for z, og betegnes arg z.
Tallet 0 tillægges ikke noget argument.
Dog bemærkes det at arg z ikke er entydigt bestemt, idet alle tallene
Zppz ,2arg
også er
argumenter for z. Derved findes der uendelig mange argumenter til z. Derfor indfører man
hovedargumentet arg z til z, som den værdi af arg z for hvilke det gælder at
,arg z
Argumentet findes i den komplekse talplan ved:
z
b
v
z
a
vvz sincosarg
idet man kigger på den retvinklede trekant stedvektoren og x eller y aksen danner i det komplekse
koordinatsystem. På figur 2 i bilag 2 ”Modulus og argument” er de to tal a og b angivet, samt deres
stedvektorer og argument.
Modulus og argument udgør en alternativ skrivemåde for komplekse tal, som følger:
Hvis
ibaz
og
z
b
v
z
a
vvz sincosarg
får vi at
vzbvza sincos
hvilket, ved indsættelse i
ibaz
, gør det muligt at skrive et komplekst tal som
)sin(cos vivzz
. Dette kan også skrives, idet
rz
, som
v
r
.
Som sagt er det i forbindelse med division og multiplikation at skriveformen modulus og argument
er særligt hensigtsmæssig .
Vi kigger på to komplekse tal,
v
r
og
w
s
, hvor
)sin(cos vivrr
v
og
)sin(cos wiwss
w
note 9
Se J.C Komplekse tal s. 14 for bevis
7
Ved multiplikation af de to tal fås:
)sin(cos)sin(cos wiwsvivrsr
wv
hvor r og s er modulus
for de to tal. Dette kan også skrives som:
))cossinsin(cos)sinsincos((cos wvwviwvwvrssr
wv
Ved hjælp af additionsformlerne for cosinus og sinus,
wvwvwv sinsincoscos)cos(
og
wvwvwv sinsincoscos)sin(
fås
))sin()(cos( wviwvrssr
wv
, hvilket gør det muligt at
skrive udtrykket som:
wv
rs
)(
Ved ovenstående kan vi konkludere at ved multiplikation af komplekse tal er produktets modulus
lig produktet af modulerne, og at produktets argument er lig summen af argumenterne, altså
wvwv
rssr
)(
Ydermere kan det vises at argumentet til et reciprokt tal er lig med det modsatte argument til samme
tal dvs. hvis det komplekse tal a har argumentet arg a, er
a
a
arg
1
arg
. Endvidere kan det bevises
at to reciprokke tal har reciprokke moduler, dvs. for de komplekse tal b og a hvor
a
b
1
gælder at
b
a
r
r
1
De Moivres formel og den binome ligning
Det kan vises at det for et komplekst tal z, gælder at modulus til det komplekse tal z opløftet i n’te
giver modulet til z opløftet i n’te, og argumentet for det komplekse tal z opløftet i n’te giver
produktet af n og argumentet til z, altså:
n
n
zz
og
znz
n
arg)arg(
Hvilket bringer os til de Moivres formel:
))sin()(cos( nvinvrz
nn
note 10
hvor r betegner modulet
til z, og v er argumentet til z.
Dette fører os til ligningen af typen
az
n
Ca ,
og
Zn
, som kaldes den binome ligning, da det
er en ligning med to led, eftersom a er et komplekst tal. Det kan vises at den binome ligning har n
antal løsninger, som er bestemt ved:
)),
2
sin()
2
(cos(
n
p
n
v
i
n
p
n
v
rz
n
n
hvor
}1,...,2,1,0{ np
note 11
note 10
J.F ”Komplekse tal og fraktaler” s. 24
note 11
J.F ”Komplekse tal og fraktaler” s.26
8
Rødderne til den binome ligning ligger på en cirkel med centrum (0,0), og ligger som vinkelspidser
i en regulær n-kant, da argumentet øges med
n
2
hver gang p øges med 1. Disse løsninger betegnes
som den n-te rod af z.
Som eksempel kigger vi på ligningen
iz 21
5
som har rødderne
iz 4648,00787,1
1
,
iz 1696,11087,0
2
,
iz 2580,01459,1
3
,
iz 0101,15996,0
4
,
iz 8823,07754,0
5
note 12
Figur 3 (se bilag 3 ”Den binome ligning”) viser de 5 løsninger samt deres stedvektorer. De 5
løsninger danner en regulær 5-kant, med en vinkel mellem to ”naboløsningers” stedvektor på
72
5
360
5
2
Hvis man ser på den binome ligning hvor
1a
, dvs.
1
n
z
, finder man at ligningen har et modulus
på 1 og et argument på 0, altså en real-del = 1 og imaginær-del = 0.
Hvis vi anvender løsningsformlen til den binome ligning, finder vi at ligningen har løsningerne:
))
20
sin()
20
(cos(1))
2
sin()
2
(cos(
n
p
n
i
n
p
nn
p
n
v
i
n
p
n
v
rz
n
n
),
2
sin()
2
cos(
n
p
i
n
p
z
n
hvor
}1,...,2,1,0{ np
Rødderne til
1
n
z
ligger på enhedscirklen i den komplekse talplan, og danner en regulær n-kant,
med en vinkelspids i
)1,0(
. Man betegner disse tal som de n-te enhedsrødder, og betegner den første
enhedsrod
1p
med
, dvs.
n
i
n
2
sin
2
cos
Resten af tallene er derfor de p-te potenser af
, og derfor er de n n-te enhedsrødder altså
13210
,...,,,,
n
.
bestemmes som følger:
ii
2
3
2
1
3
2
sin
3
2
cos
, og
2
som
iiii
2
3
2
1
)
2
3
)
2
1
(2
4
3
4
1
()
2
3
2
1
()
3
2
sin
3
2
(cos
222
Og hvis vi betegner
som en vilkårlig løsning til den binome ligning, får man at
13210
,...,,,,
n
note 12
J.C ”Komplekse tal” s. 29
9
Denne betegnelse for enhedsrødderne medfører at man kan finde samtlige løsninger i den binome
ligning, hvis blot man kender en vilkårlig af løsningerne. Alle tallene ovenfor passer nemlig i den
binome ligning, og de er alle forskellige, da
aaaa
ppnnpnpnnp
1)()()(
, fordi
n
som før vist er lig 1, og
a
n
Andengradsligningen
Løsningsformlen til den generelle komplekse andengradsligning af formen:
0,0
2
acbzaz
er næsten identisk med løsningsformlen til den normale andengradsligning, som har løsningen
a
db
z
2
Men da
d
er et ukendt fænomen, grundet komplekse tal altid skrives på formen
iba
, er det
nødvendigt at sætte
dv
2
, så
d
betegnes som v eller –v.
Nu ses det at den komplekse andengradsligning har løsningen
a
vb
z
2
, hvor
dv
2
, og
acbd 4
2
note 13
Trediegradsligningen
Komplekse tal viser sig især at være nyttige ved løsning af trediegradsligninger, og et af de hyppigst
sete problemer er løsningen af trediegradsligningen med komplekse koefficienter. Vi kigger på den
almindelige ligning af 3. grad:
0
01
2
2
3
3
azazaza
, hvor
0
3
a
Nemmere er det at arbejde uden 2.gradsleddet, og den variable z sættes derfor til:
3
2
3a
a
wz
Indsættes variablen z i ligningen får man:
0
27
2792
3
3
0)
3
()
3
()
3
(
2
3
2
30321
3
2
3
2
231
3
30
3
2
1
2
3
2
2
3
3
2
3
a
aaaaaa
w
a
aaa
waa
a
a
wa
a
a
wa
a
a
wa
(se bilag 4 ”Tredjegradsligningen” for mellemregninger)
For ar lette arbejdet med en ligning af den type, indfører vi konstanterne
note 13
J.F ”Komplekse tal og fraktaler” s.32-33
10
3
2
231
3
3
a
aaa
p
og
2
3
2
30321
3
2
27
2792
a
aaaaaa
q
Den oprindelige ligning
0
01
2
2
3
3
azazaza
, hvor
0
3
a
skrives nu:
0
3
qpww
... (1)
Derefter deler vi nu op i fire tilfælde afhængig af om p og/eller q er 0.
Er både p=0 og q=0 er ligningen
3
33
00000 wwww
og derfor bliver
0w
den eneste løsning til ligningen.
Hvis p=0 og q er forskellig fra 0 får vi ligningen:
qwqww
33
00
Dette er en binom ligning, og den løses efter metoden som er beskrevet tidligere.
Når vi betegner en vilkårlig af de komplekse løsninger som
3
q
,
er
2
3
2
1
)
3
2
sin()
3
2
cos( ii
den første tredje enhedsrod, dvs. de tre løsninger bliver
3
1
qw
,
3
2
qw
og
3
2
3
qw
Hvis p er forskellig fra nul og q=0, fås ligningen:
0)(000
233
pwwpwwpww
Fra nulreglen fås den første løsning
0w
og de to andre løsninger
pwpwpw
22
0
. De tre løsninger er således givet ved
0w
og
pw
Som det ses er det forholdsvis simpelt at finde rødderne i en kompleks tredjegradsligning hvis q
og/eller p er lig 0. Er hverken q eller p lig 0 bliver det dog mere kompliceret.
I tilfældet at hverken q eller p er lig 0 viser det sig at være nemmest for videre udregning af
ligningen, at sætte
vuw
. Derved omformes tredjegradsligningen til
0))(3(0)()(
333
qvupuvvuqvupvu
Se bilag 5 ”Tredjegradsligningen” for mellemregninger
11
Hvis tallet
vu
skal være rod i ligningen, må det gælde at
3
303
p
uvpuvpuv
og
qvu
33
....(2)
Dermed må tallet
vu
være løsningen til ligningen
0)()(
3
qvupvu
Ved isolering af v i
3
p
uv
fås
u
p
v
p
uv
33
. Kombinerer vi det udtryk med (2), fås
027270
27
)
3
(
336
3
333
pquuq
u
p
uq
u
p
u
Det viser sig, at i der i den nye ligning
02727
336
pquu
, findes en skjult andengradsligning i
3
u
For at løse denne andengradsligning benyttes den før omtalte formel til andengradsligningen:
a
vb
z
2
, hvor
dv
2
, og
acbd 4
2
I denne ligning er
27a
,
qb 27
og
3
pc
. v findes ved:
)427(27)(274)27(4
32322
pqpqacbdv
Ved indsættelse af værdierne findes de to løsninger til andengradsligningen derfor som
)427(
108
1
2
1
)427(
54
27
2
1
54
)427(27
2
1
54
)427(27
2
1
272
)427(2727
3232
2
2
32
3232
3
pqqpqq
pq
q
pq
q
pqq
u
Tredjegradsligningens diskriminant
32
427 pqd
bliver her indført, så ligningen kan skrives
som
dqu
108
1
2
1
3
. Her sættes
dD
108
1
,
og
3
u
bliver dermed bestemt ved
Dqu
2
1
3
, altså er der to løsninger
DquDqu
2
1
2
1
33
Efterfølgende er det nødvendigt at kigge på de to løsninger hver for sig.
Ser vi på første løsning, og sætter
1
u
som en af kubikrødderne til ligningen, fås
12
3
1
3
2
1
2
1
DquDqu
, og efterfølgende findes de to resterende kubikrødder som
12
uu
og
1
2
3
uu
, hvor
stadigvæk er den første tredje enhedsrod.
På tilsvarende måde findes de resterende kubikrødder i det andet tilfælde hvor
Dqu
2
1
3
.
3
4
2
1
Dqu
,
45
uu
og
2
2
6
uu
Som bekendt er den variable w, i ligningen
0
3
qpww
sat til
vuw
, og sammenhængen
mellem u og v er vist som
u
p
v
3
. Ved indsættelse af de seks fundne værdier til
Dqu
2
1
3
fås
1
1
3u
p
v
,
2
1
1
3
2
12
2
3
3
33
u
p
u
p
u
p
u
p
v
, idet det vides at
11
3
uu
1
1
1
3
1
2
3
3
3
33
3
v
u
p
u
p
u
p
u
p
v
,
4
4
3u
p
v
,
4
4
3
45
5
3
3
33 u
p
u
p
u
p
u
p
v
og
4
4
4
3
4
2
6
6
3
33
3
v
u
p
u
p
u
p
u
p
v
Som løsningssæt
),( vu
til ligninssystemet
3
p
uv
og
qvu
33
har vi altså
),(
11
vu
,
),(
1
2
2
vu
,
),(
13
vu
,
),(
44
vu
,
),(
4
2
5
vu
og
),(
66
vu
Som tidligere beskrevet er
1
u
en løsning til ligningen
Dqu
2
1
3
, og
4
u
er en løsning til
ligningen
Dqu
2
1
3
Adderes
1
u
og
4
u
får vi
qqqDqDquu
2
1
2
1
2
1
2
1
3
4
3
1
Som tidligere vist, opfattes –q som
3
3
33333
27
)
3
(
u
p
u
u
p
uqqvu
Dermed må
3
4
3
1
3
4
3
1
3
4
3
4
3
4
3
1
3
4
3
1
3
4
3
1
)
3
()
3
( vu
u
p
u
u
p
uuuquuquu
, idet
u
p
v
3
. Betragter vi resultatet viser det sig at
41
vu
13
Kigger vi på ligningen
3
4
3
1
uu
, får vi
3
1
3
4
3
1
3
4
3
1
3
1
3
1
3
4
3
1
3
4
3
4
3
1
)
3
()
3
( vu
u
p
u
u
p
uuuquuquu
og nu viser det sig at
14
vu
Dermed er det vist at de seks løsningssæt kan angives som
),(
11
vu
,
),(
1
2
1
vu
,
),(
11
2
vu
,
),(
11
uv
,
),(
1
2
1
uv
og
),(
11
2
uv
Det ses på løsningssættet, at de tre første løsningssæt er identiske med de tre sidste, blot med
ombyttede led. Da C er et legeme, gælder regnereglerne
uvvu
, og derfor kan de tre
løsninger
321
,, www
til (1) findes som
111
vuw
,
1
2
12
vuw
og
11
2
3
vuw
Disse tal er løsninger til ligningen (1), og det viser sig, ved indsættelse, at det passer (se bilag 6
”tredjegradsligningen”)
Vi har vist at
321
,, www
er løsninger til (1), og derved kan vi opstille en generel løsningsformel til
den komplekse tredjegradsligning:
0
3
qpww
,
0p
,
0q
har de tre løsninger
111
vuw
,
1
2
12
vuw
og
11
2
3
vuw
Da vi før har defineret
3
1
2
1
Dqu
,
3
2
2
1
Dqu
3
2
3
2
1
Dqu
3
4
2
1
Dqu
,
3
5
2
1
Dqu
,
3
2
6
2
1
Dqu
, og idet
41
uv
Fås
41111
uuvuw
,
624
2
21
2
12
uuuuvuw
Og
534311
2
3
uuuuvuw
Nu kan de tre løsninger
1
w
,
2
w
og
3
w
skrives på en mere overskuelig måde
11
1
2
1
11
33
3
2
1
2
1
2
1
vu
vu
vu
DqDq
w
w
w
14
Da vi til at starte med satte variablen
3
2
3a
a
wz
bliver de tre løsninger
1
z
,
2
z
og
3
z
til den
oprindelige komplekse tredjegradsligning
0
01
2
2
3
3
azazaza
, hvor
0
3
a
3
2
11
3a
a
wz
,
3
2
22
3a
a
wz
og
3
2
33
3a
a
wz
Således blev der udledt en løsningsmodel for den komplekse tredjegradsligning.
Disse løsninger kan også forklares geometrisk, såfremt koefficienterne er reelle. Metoden afhænger
af værdien af p og q, og vi kigger kun på de to tilfælde hvor
0p
,
0q
og
0p
,
0q
,
I første tilfælde, hvor
0p
,
0q
er
3
11
p
vu
større end nul, hvorfor
1
u
og
1
v
har samme fortegn.
Da også
0
3
1
3
1
qvu
må både
1
u
og
1
v
være positive, da
11
uv
note 14
, hvilket medfører at
1
u
og
1
v
begge ligger på den positive reelle akse i den komplekse talplan (se bilag 7 til opgave 2).
Da de tre rødder til tredjegradslignigen er indsat, konkluderer vi at hver multiplikation med
bevirker en rotation på
120
i positiv omløbsretning. Og da de forskellige u og v værdier er
indtegnet med en stedvektor, og da
111
vuw
, konstrueres
1
w
,
2
w
og
3
w
ved
vektoraddition.
Derefter kan z-værdierne til ligningen af typen (1) aflæses, såfremt værdierne er integnet præcist.
I andet tilfæde er
0p
og
0q
. Hermed er
3
11
p
vu
mindre end 0, og
1
u
og
1
v
har derfor
modsatte fortegn. Da vi ved at
11
uv
må
1
v
være negativt, og
1
u
positivt. Og da
0
3
1
3
1
qvu
er
11
3
1
3
1
)( vuvu
, hvilket medfører at
1
u
kommer til at ligge på den positive reelle akse, og
1
v
kommer til at ligge på den negative del af den reelle akse, samt
1
v
kommer til at ligge tættere på
punkten
)0,0(
end
1
u
. På samme måde adderes u og v værdierne, og forskellen mellem de
forskellige stedvektorer til henholdsvis u, v og w værdierne er igen
120
(se bilag 8 til opgave 1).
note 14
J.C ”Komplekse tal” s. 47
15
Løsning af opgave 1
Vi ser på ligningen
0206
3
zz
, med udelukkende reelle koefficienter,
1
3
a
0
2
a
6
1
a
20
0
a
. Dog har
denne ligning intet 2.gradsled, hvorfor
6p
og
20q
.
)20(27427
3232
pqd
Og
4
108
1
108
1
dD
,
Vi ved per definition at en tredjegradsligning med reelle koefficienter og d>0 har 1 reel løsning og 2
komplekse. Til løsningen af denne ligningen benyttes løsningsmodellen som jeg tidligere har
beskrevet. Men da denne ligning ikke har noget andengradsled, springes udregningen af p og q
over, hvilket medfører at
zw
. Derfor er løsningen er givet ved
111
vuz
,
1
2
12
vuz
og
11
2
1
vuz
Først findes
1
u
ved
33
1
3
1664
108
1
)20(
2
1
2
1
uDqu
Derefter findes
1
v
ved
3
1
10810 v
Da vi har sat
111
vuw
finder vi at den første rod bliver
2732051,0732051,2
1
z
Den anden rod må blive
)(
2
3
)(
2
1
)(
2
3
)(
2
1
)
2
3
2
1
()(
2
3
)(
2
1
)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
(
1111
111111
2
12
vivuiu
viuiuviuivuz
Ved at faktorisere får vi nu
)(
2
3
)(
2
1
11112
vuivuz
Ved indsættelse af
1
u
og
1
v
værdierne, får vi
iiiz 6
2
1
1464102,33
2
1
1464102,3
2
3
2
2
1
2
Den anden rod er dermed fundet, og gives ved
16
iz 31
2
Den tredje rod er givet ved
1111
2
3
)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
( viuivuz
Som før reducerer vi udtrykket, og faktoriserer. Dermed får vi
)(
2
3
)(
2
1
11113
vuivuz
Igen indsættes
1
u
og
1
v
værdierne, og vi får
iiz 3132
2
3
2
2
1
3
Således er de 3 rødder er fundet, og gives ved
iz
iz
z
31
31
2
3
2
1
Se bilag til opgave 1 for geometrisk forklaring
Løsningen kontrolleres ved at indsætte de 3 rødder i den oprindelige ligning
8
01826)1826(020186)186248(
020186)31)(68(020186)31)(9331(
020186)31)(31)(31(020)31(6)31(0206
26
26020)31(6)186248(
020)31(6)31)(68(020)31(6)31)(9331(
020)31(6)31)(31)(31(020)31(6)31(0206
2
2
3
3
3
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
ii
iiiiii
iiiiiiii
iiiiiizz
ii
iiiii
iiiiiiii
iiiiiizz
zz
Denne ligning kan dog løses på en anden, lidt lettere måde. Den reelle løsning kan nemlig
umiddelbart gættes. Ved at betragte ligningen, ser man at 2 kan være den reelle rod til ligningen.
Derfor sætter vi 2 på z’s plads, og får
0262
3
17
Således er den første rod fundet ved
2
1
z
Derefter foretages en polynomiets division af
206
3
zz
og
2z
for at finde de resterende
rødder.
Og får
)2)(102(206
23
zzzzz
Hvor den ene rod til
206
3
zz
er z=2 og de 2 andre fås ved at løse ligningen
102
2
zz
med a=1, b=2, c=10 og
22
acbd
Rødderne findes ved at sætte
ii
a
db
z 316
2
1
1136
2
1
136
2
1
1
2
362
2
Løsning af opgave 2
Vi betragter ligningen
02
23
zzz
a
3
=1 a
2
=0 a
1
=6 og a
0
=-2
Først omskriver vi ligningen, således den får formen
0
3
qpww
,
3
4
13
)1(1)1(3
3
3
2
2
2
3
2
231
a
aaa
p
27
65
27
5492
127
1)2(271)1)(1(9)1(2
27
2792
3
23
3
3
2
30321
3
2
a
aaaaaa
q
Således bliver den nye ligning givet ved
0
27
65
3
4
3
ww
Derefter findes d ved
zz
zz
42
62
2
2
2010
2010
z
z
23
3
2
(
zz
z
102)2(:)206
2
zzzz
18
36
49
2916
3969
2916
256
2916
4225
729
64
2916
4225
)
27
64
(
27
1
)
729
4225
(
4
1
)
3
4
(
27
1
)
27
65
(
4
1
27
1
4
1
3232
pqd
Som ved normale 3.gradsligninger har vi sat w
1
=u
1
+v
1
, og derfor er det nødvendigt at finde u
1
og v
1
Vi definerer u
1
3
4
27
64
54
128
54
63
54
65
99
97
54
65
9
7
54
65
36
49
54
65
36
49
)
27
65
(
2
1
2
1
2
1
333
33
33
3
1
3
1
DquDqu
Derefter sættes v
1
som
3
1
)
3
4
(3
3
4
)
3
4
(3
)
3
4
(
3
1
1
u
p
v
Som sagt er w
1
givet ved
3
5
3
1
3
4
111
vuw
Dernæst bestemmes z
1
ved
2
3
6
3
1
3
5
)
13
1
(
3
5
3
3
2
11
a
a
wz
Altså er den første rod fundet, ved z
1
=2
På tilsvarende måde skal de to sidste rødder findes
Vi ved at så w
2
findes:
iiivuivuvuw
2
3
6
5
2
3
)
3
5
(
2
1
)
3
1
3
4
(
2
3
)
3
1
3
4
(
2
1
)(
2
3
)(
2
1
11111
2
12
Derefter findes Z
2
ved
Således er den anden
rod fundet ved
iz
2
3
2
1
2
1
2
12
vuw
iii
a
a
wz
2
3
2
1
6
2
2
3
6
5
3
1
2
3
6
5
3
3
2
22
19
Til sidst findes den sidste rod, ved
iii
iiviuivuw
6
33
6
5
6
3
6
1
6
34
6
4
3
1
)
2
3
2
1
(
3
4
)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
()
2
3
2
1
(
1111
2
3
Og da
3
2
33
3a
a
wz
, er den sidste rod
iiiiz
2
3
2
1
6
33
6
3
6
2
6
33
6
5
3
1
6
33
6
5
3
De 3 rødder er fundet og gives ved
iz
iz
z
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
Se bilag 7 til opgave 2 for geometrisk forklaring.
Ved at indsætte de 3 fundne z-værdier i den oprindelige ligning, kontrolleres at de 3 rødder passer,
og ligningen er løst korrekt. (se bilag 9)
Konklusion
Som det kan ses på løsningen af de to opgaver – eller tredjegradsligningen generelt – er det et
forholdsvis stort arbejde at løse en tredjegradsligning, uanset hvilken måde man løser den på. Ikke
desto mindre anvendes de komplekse tal med særdeles stor nytte indenfor fysikken og
ingeniørfagene. I denne opgave blev blot indført de mest nødvendige matematiske værktøjer til
løsningen af tredjegradsligningen, hvorefter der udledtes en generel løsningsformel for den. Ved
anvendelsen af den generele løsningsformel blev det muligt at løse de to givne opgaver.
Da arbejdet med de komplekse tal ligger udenfor gymnasiepensum kan det, for en gymnasieelev,
virke som et ret abstrakt stof at sætte sig ind i. Indenfor emnet ligger en række begreber og
fremgangsmåder der således afviger fra den almindelige matematikundervisning og det er særligt
udfordrende at indlære disse. Det er denne intellektuelle udfordring der har fascineret mig.
20
Litteratur
1) Carstensen, Jens
Komplekse tal
Forlaget Systime A/S, 1993
3. udgave, 1. oplag
2) Frandsen, Jesper
Komplekse tal og fraktaler
Forlaget Systime A/S, 1992
1. udgave, 1. oplag
3) Gericke, Helmuth
Talbegrebets historie
1994
21
Bilag 4 ”Tredjegradsligningen”
Indsættes variablen z
3
2
3a
a
wz
i ligningen får man
0)
3
()
3
()
3
(
0
3
2
1
2
3
2
2
3
3
2
3
a
a
a
wa
a
a
wa
a
a
wa
Første led udregnes
3
3
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
3
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
3
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
3
3
2
27
3
3
9
3
9
2
27
33
2
9
)
3
2
9
)(
3
()
3
)(
3
()
3
(
a
a
w
a
a
w
a
a
ww
a
a
a
a
w
a
a
w
a
a
w
a
a
w
w
a
a
a
a
w
a
a
w
a
a
w
a
a
w
a
a
w
Udtrykket reduceres, og organiseres ved at sætte leddet med største rod forrest.
3
3
3
2
2
3
2
2
2
3
2
3
273 a
a
w
a
a
w
a
a
w
Derefter indsættes det i den oprindelige ligning
0)
3
()
3
()
273
(
0
3
2
1
2
3
2
2
3
3
3
2
2
3
2
2
2
3
2
3
3
a
a
a
wa
a
a
wa
a
a
w
a
a
w
a
a
wa
Parenteserne ophæves
0
33
2
927
3
0
3
21
1
3
2
2
2
3
3
2
2
2
2
3
3
2
3
2
2
2
2
3
3
a
a
aa
waw
a
a
a
a
wa
a
a
w
a
a
wawa
Således blev leddet af anden grad bortskaffet, idet
2
2
wa
og
2
2
wa
ligge på samme side af
lighedstegnet.
Igen organiserer vi ligningen således at leddene med største rod kommer først
0
3
927
3
2
3
0
3
21
2
3
3
2
2
3
3
2
1
3
2
2
3
2
2
3
3
a
a
aa
a
a
a
a
waw
a
a
w
a
a
wa
Derefter forlænges der i ligningen, samt bliver der reduceret:
22
0
27
2792
3
3
0
27
27
27
9
9
3
27
3
3
3
2
3
2
30321
3
2
3
2
231
3
3
2
3
2
30
2
3
321
2
3
3
2
2
3
3
2
3
31
3
2
2
3
3
a
aaaaaa
w
a
aaa
wa
a
aa
a
aaa
a
a
a
a
w
a
aa
w
a
a
wa
Bilag 5 ”Tredjegradsligningen”
0)(33
0)(220)()2)((
0)())((0)()(
2233
23
qvupuvvuvu
qvupuvvvuvuuvuqvupuvvuvu
qvupvuvuqvupvu
Ved at faktorisere med
uv3
fås
0))(3(0)()(3
3333
qvupuvvuqvupvuuvvu
Bilag 6 ”Tredjegradsligningen”
Første led udregnes
pwqvupqvuvuvu
vuvuvuvuvuvvuvuu
vuvuvuvuvuvuw
)()(3
3322
)2)(())(()(
111111
3
1
3
1
2
111
2
1
3
1
3
1
2
1
3
1
2
111
2
1
2
11
3
1
11
2
1
2
111
2
1111
3
11
3
1
Idet det vides at
uvq
u
p
v 3
3
og
qvu
33
Altså får vi
0)()(
1
3
1
qpvpupvpuqqvupvupqqpww
På samme måde gælder
2
1
4
11
2
2
1
2
3
1
6
3
1
3
2
1
2
11
22
1
3
1
23
1
3
1
2
1
3
2
33
)(3)(3)()()(
vuvuvu
vuvuvuvuw
Vi sætter
1
2
1
3 vu
uden for en parentes, og får
)(3
1
2
11
2
11
6
1
3
3
2
vuvuvuw
23
Da
11
3
uu
,
3
1
3
1
3
uu
og
11
6
uu
, får vi
)()(3
1
2
11
2
111
3
1
3
1
3
2
vupqvuvuvuw
Ydermere får vi udtrykket reduceret til
0)(
2
3
221
2
1
3
2
qpwwpwqvupqw
da vi ved at
21
2
1
wvu
Sidst kigger vi på
311
2
11
2
3
1
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
3
1
3
3
1
6
2
11
2
1
2
1
23
1
3
1
23
11
2
3
3
)(333
)(3)(3)()()(
pwqvuvuvuvuvuvu
vuvuvuvuw
idet
11
2
3
vuw
24
Bilag 9
02
2
3
2
1
2
3
2
1
12)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
(1
2)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
()
2
3
2
1
)(
2
3
2
1
(
2)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
()
2
3
)(
2
1
(2
4
3
4
1
)(
2
3
2
1
(
2)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
()
2
3
2
1
)(
2
3
2
1
(
2)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
()
2
3
2
1
(2
0
2
3
2
3
222
2
3
2
1
2
3
2
1
1
2)
2
3
2
1
()
4
3
)
2
1
(2
4
3
4
1
(1
2)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
(
4
3
4
3
4
3
4
1
2)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
()
2
3
2
1
)(
2
3
2
1
(
2)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
()
2
3
)
2
1
(2
4
3
4
1
)(
2
3
2
1
(
2)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
()
2
3
2
1
)(
2
3
2
1
(
2)
2
3
2
1
()
2
3
2
1
()
2
3
2
1
(2
22
2
2
22
23
3
2
3
3
3
2
2
2
22
23
2
2
2
3
2
23
1
2
1
3
1
iiii
iiii
iiii
iiii
iiizzz
iiii
ii
iiii
iiii
iiii
iiii
iiizzz
zzz