Studiekompasset.dkKlasse: STX 2.g · Fag: SRO, Fysik B, Matematik A
DET MATEMATISKE PENDUL
- Med fysik som hovedfag og matematik som bifag
SRO
STX 2.g
2
Indholdsfortegnelse
FORMÅL ......................................................................................................................................................... 3
FORSØGSOPSTILLING ..................................................................................................................................... 4
UDFØRSEL ...................................................................................................................................................... 4
PROBLEMFORMULERING .............................................................................................................................. 3
OPGAVEFORMULERING ................................................................................................................................. 3
BETEGNELSER ................................................................................................................................................ 5
ABSTRACT ...................................................................................................................................................... 6
DIFFERENTIALLIGNINGER .............................................................................................................................. 6
DEN MATAMATISKE VÆRDIMÆNGDE OG DEN FYSISKE AMPLITUDE ........................................................... 9
PERIODICITET ............................................................................................................................................... 10
UDLEDNING AF g ......................................................................................................................................... 11
UDLEDNING AF FORMEL FOR SVINGNINGSTIDEN ....................................................................................... 13
UDLEDNING AF FORMEL FOR SVINGNINGSTIDEN PÅ BAGGRUND AF 2. GRADSLIGNINGER ...................... 16
HARMONISKE SVINGNINGER ....................................................................................................................... 18
UDLEDNING AF FUNKTION DER BESTEMMER VINKELACCELERATIONEN SOM FUNKTION AF TIDEN ......... 20
VARIATION AF SVINGNINGSTID(GRAF)........................................................................................................ 22
VARIATION AF MASSEN(GRAF) .................................................................................................................... 23
VARIATION AF SNORLÆNGDEN(GRAF) ........................................................................................................ 24
DISKUSSION ................................................................................................................................................. 25
KONKLUSION ............................................................................................................................................... 25
LITTERATURLISTE ......................................................................................................................................... 26
3
FORMÅL
Formålet med denne rapport er at undersøge det matematiske pendul ved hjælp af
differentialregning. Derefter at finde ud af hvilke faktorer der har indflydelse på svingningstiden.
PROBLEMFORMULERING
Vi vil undersøge hvilke faktorer der har indflydelse på svingningen af det matematiske pendul.
Vi vil prøve at undersøge om det er muligt at udlede en funktion for pendulets acceleration som
funktion af tiden samt undersøge om det er muligt ved hjælp af vores forsøgsresultater at udlede
tyngdeaccelerationen.
Vi vil undersøge om vores forsøgsresultater stemmer overens med vores teoretiske udregninger.
Vi vil undersøge 1. ordens differentialligninger samt 2. ordens differentialligninger og forsøge finde
en sammenhæng i pendulets bevægelse ved hjælp af differentielligninger.
Vi vil undersøge harmoniske svingninger samt sammenhængen mellem den matematiske
værdimængde og den fysiske amplitude.
OPGAVEFORMULERING
Det matematiske pendul – fysik som hovedfag
- Redegøre for de trigonometriske funktioner, dvs. hvordan man kan betragte cosinus og
sinus som funktioner af en variabel. Her kan i komme ind på:
o Brugen af radianer i stedet for grader
o Periodicitet
o Korrespondance mellem den matematiske værdimængde og den fysiske
amplitude.
- Præsenterer begreberne differentialligning og 2. ordens differentialligning. Eftervis som
minimum at: f(x) = A sin(kx) og f(x) = A cos(kx) er løsninger til den 2. ordens
differentialligning f’’(x) = -k
2
f(x).
o Du kan herunder inddrage nogle af opgaverne om differentialligninger hvis du
finder det relevant.
Vi har valgt ikke at skrive noget ”teori”-afsnit, men i stedet at skrive teorien ind i de forskellige opgaver vi
vil løse.
4
FORSØGSOPSTILLING
Nedenfor ses en skitse af vores forsøgsopstilling. Vi Brugte en metalstang på fod(den lodrette), hvor
vi satte endnu en metalstang på(den vandrette). På denne metalstang spænde vi en lille krog fast,
hvorfra vores ophæng blev sat. Til at måle vinklen af svingningen brugte vi en laser og en
vinkelmåler.
UDFØRSEL
Under alle vores forsøg satte vi loddet i gang og tog en mellemtid hver gang loddet kom tilbage til
sin udgangsposition, altså når den havde lavet en svingning. Vi tog ca. 8 målinger hver gang vi satte
loddet i gang, og ca. 4x8 målinger inden vi varierede noget. Vi forsøgte at vælge lodder med ca. lige
stor volumen, men med forskellig masse, for at undgå fejl i vores data pga. luftmodstand.
Vi startede med at fastholde en snorlængde og en masse af loddet for at undersøge om vinklen af
svingningen havde en indflydelse på svingningstiden. Dette gjorde vi ved at lade loddet falde fra
forskellige vinkler. Dernæst undersøgte vi om loddets masse havde en indflydelse ved at fastholde
en snorlængde og en vinkel. Til sidst undersøgte vi om snorlængden havde en indflydelse ved at
fastholde en vinkel og en masse af loddet. Se vores forsøgsresultater i bilag 1.
5
BETEGNELSER
Undervejs kommer vi til at bruge flere symboler samt formler, nedenfor ses et skema over de
symboler vi har brugt med forklaring.
Nedenfor ses nogle af de formler vi har brugt i løbet af opgaven (da vi ikke kan udlede alle
formlerne i denne opgave.)
Simpel formel for svingningstiden af et pendul,
hvor vi antager at sin(θ)=θ:
( )
2 sin
L
T
g
==
Formel for den resulterende kræft på loddet:
sin( )
res t
FF
=−
Formel for afvigelse:
Præcis formel for svingningstiden af et pendul:
24
00
1 11
2 1 ...
16 3072
L
T
g

= + + +


BOGSTAV
Masse(kg)
m
Snorlængde(m)
L
Tyngdeacceleration(m/sek
2
.)
g
Vinkel(Rad)
θ
Vinkelhastighed(Rad/ sek.)
ω
Hastighed(m/ sek.)
v
Acceleration/
Tangentacceleration(m/sek
2
.)
a/a
t
Vinkelacceleration(Rad/ sek
2
.)
α
6
ABSTRACT
In this report we have examined the “simple pendulum” also knows as the “mathematical
pendulum”. We have investigated which factors have an influence on the movement of the
pendulum. Doing so we have used differential equations to help us find functions that describe this
movement. Given that it is a simple pendulum we have ignored the influence of friction.
DIFFERENTIALLIGNINGER
I dette afsnit vil vi først komme inde på hvad forskellen mellem normale ligninger og
differentialligninger er. Derefter vil vi se på hvilken type løsning der er til en differentialligning og
kort hvordan man finde disse løsninger. Til sidst vil vi komme ind 2. ordens differentialligninger,
hvor vi bl.a. ser på hvordan man tjekker om en løsningen til en differentialligning er korrekt.
Først betragter vi en differentialligninger. Her er der både en funktion og dens afledte, f.eks.:
'( ) ( )V x C V x=
. Her er V’(x) den afledte og V(x) en funktion.
Nu betragter vi en ”normal” ligning. Her er der kun en funktion, f.eks.:
()V x C x=
.
Forskellen er altså, at en differentialligning indeholder både en funktion og dens afledte, mens en
ligning kun indeholder en funktion. Man kan ikke løse en differentialligning som en normal ligning,
da en differentialligning indeholder to ukendte funktioner.
For at finde en løsning til en differentialligning er man ofte nødt til at forsøge sig frem, med
kvalificerede bud, da der ikke findes nogen regneforskrift for hvordan man løser en
differentialligning. Man skal altså få en god idé. I nogle tilfælde er det muligt at finde alle
løsninger, i andre tilfælde kan det være svært, men kun samtlige løsninger udgøre den egentlige
løsning. Hvis man har fundet en enkelt løsning, kaldes det en partikulær løsning, en sådan
partikulær løsning kan i nogle tilfælde bruges til at stille uendelig mange løsninger op. Grafen over
()
1. ' ( , )
2. '' ( , , ')
EN LIGNING y f x
ENDIFFERANTIALLIGNING AF ORDEN y f x y
ENDIFFERANTIALLIGNING AF ORDEN y f x y y
=
=
=
7
en løsning kaldes en løsningskurve. For at man kan sige, at den partikulære løsning man har
”gættet” på er korrekt, skal partikulær løsningen, når man sætter den ind, give 0. Ligningen skal
være sand, altså der skal stå det samme på begge sider af lighedstegnet. Vi vel nu gennemgå
hvordan man kan tjekke om den partikulær løsning man har brugt metoden ”få en god ide” til, er
korrekt:
Den 1. ordnes differentialligning vi vil gennemgå en løsning til er:
2
) '( ) ( )A f x f x=
Det forslag til en løsning vi vil se om passer er:
2
2
1
) ( ) ,
3
1
) ( )
( 3)
B f x
x
C f x
x
=
−
=
−
Først differentierer vi B):
2
1
) '( )
( 3)
D f x
x
=
−
Vi kan nu sætte D) ind på f’(x) plads i A) og C) ind på f(x)
2
’s plads i A).
22
11
( 3) ( 3)xx
=
−−
Altså kan vi konkludere, at B) er en løsning til A).
2. ordens differentialligninger er, når den 2. afledede af den søgte funktion indgår – Og ikke højere
afledede, men funktionen og den 1. afledede indgår ofte. Der er fordi der indgår den dobbelt
differentierede funktion at det hedder en 2. ordens differentialligning. En 2. ordens
differentialligning kan ved substitution føres til 1. ordens differentialligning. Substitutionen kunne
se ud som følger:
8
' Altså er ' ''
Så den 2. ordnes differentialligning:
'
''
ville bliver substitueret til 1. ordnes differentialligningen:
'
z y z y
y
y
x
z
z
x
==
=
=
Derefter kan man løse ligningen efter samme princip som med en 1. ordens differentialligning.
Den funktion man søger som løsning til en 2. ordens differentialligning skal differentieres to gange
for at man kan tjekke om løsningen er sand. Det er ofte svært at finde alle løsningerne til en
2.ordens differentialligning. Vi vil nu gennemgå to korrekt partikulære løsning på en 2. ordens
differentialligning:
Den 2. ordens differentialligning vi vil eftervise to partikulære løsninger til er:
2
1) ''( ) ( )f x k f x=−
Den første løsning vi vil gennemgå er:
For at tjekke om 2) er en løsning til 1) er vi nødt til at dobbeltdifferentiere 2):
2
3) '(x)= sin( )
4) ''( ) cos( )
f A k kx
f x A k kx
−
=−
Vi kan nu sætte 2) ind op f(x)’s plads i 1) og 4) ind på f’’(x)’s plads i 1):
22
5) cos( ) cos( )A k kx k A kx− = −
Som tidligere nævnt, skal en partikulær løsning til en differentialligning for løsningen er korrekt,
skal den, når man sætter løsningen ind, give 0. Ligningen skal være sand, altså der skal stå det
samme på begge sider af lighedstegnet.
Vi kan altså konkludere at 2) er en partikulær løsning til 1), som vi nu har eftervist.
2) ( ) cos( )f x A kx=
9
Nu vil vi gennemgå en anden løsning til den 2. ordens differentialligning 1). Den løsning vi vil
gennemgå er:
6) ( ) sin( )f x A kx=
Vi følger samme princip som gennemgangen af første partikulære løsning – Altså skal vi
dobbeltdifferentiere 6) for at tjekke om 6) er en løsning til 1):
2
7) '(x)= cos( )
8) ''( ) sin( )
f A k kx
f x A k kx=−
Vi kan nu sætte 6) ind op f(x)’s plads i 1) og 8) ind på f’’(x)’s plads i 1):
22
9) sin( ) sin( )A k kx k A kx− = −
Vi kan altså konklurere at der står det samme på begge sider af lighedstegnet, altså har vi eftervist at
6) også er en løsning til 1).
Summen af vores to løsninger 2) og 6) vil give en tredje løsning. Hvilket gælder generelt, altså
summen af to sande løsninger, de funktioners sum er en tredje løsning til differentialligninger. Dette
har vi valgt ikke at bevise, men vi fandt det relevant at næve.
DEN MATAMATISKE VÆRDIMÆNGDE OG DEN FYSISKE
AMPLITUDE
En værdimængde er alle de y-værdier en funktion er i stand til at have. En amplitude er en kvart
svingningstid, altså fra ligevægtsstillingen til det maksimale udsving. Nedenfor ses både den
10
matematiske værdimængde og den fysiske amplitude på sinuskurven:
Mellem de to lilla prikker er den ene amplitude, +1. Mellem de to grønne prikker er den anden
amplitude, -1. Da sinuskurven f(x)=sin(x) kun er i stand til at have y-værdier der optræder i
enhedscirkelen er værdimængden Vm[-1;1], hvilket vi også han se på grafen mellem de to
yderpunkter.
Vi kan altså konkludere at stykket på sinuskurven mellem de to yderpunkter både er værdimængden
til sinus og amplituder.
PERIODICITET
Periodicitet kan beskrives som noget regelmæssigt tilbagevende. Når man snakker periodicitet i
forhold til Det Matematiske Pendul kan man se på den tid det tager pendulet at gennemføre en
periode, altså svingningstiden. En periode er tidsrummet mellem passage af to bølgetoppe på et
bestemt sted, vi har skitseret dette nedenfor:
f(x)=sin(x)
11
En periodisk funktion er en funktion der som sinuskurven periodisk gentager sig selv inden for det samme
tidsrum.
UDLEDNING AF g
Vi vil ud fra den simple for sviningstiden prøve at udregne ”g”.
Først omskriver vi vores simple formel for sviningstiden:
2
2
l
T T l
g
g
= =
Vi kan her ud fra se, at tiden er proportional med kvadratroden af snorlængden.
Vi tager derfor kvadratroden af vores snorlængder, og laver en linær regression med tiden som
funktion af snorlængden. I denne linæreregression må det gælde at hældningen, a, er:
2
a
g
=
samt
at x er;
xl=
.
Grafen må gå gennem punktet (0,0) da der ikke er nogen b værdi.
De indsatte data og udregnet regression ser således ud:
12
Her er L1(x-aksen)
l
og L2 (y-aksen) svingningstiden. Begge er i SI enheder (meter og
sekunder). Grunden til, at b ikke er lig nul, skyldes usikkerheder i formlen, da den ikke tager højde
for vinklen, samt usikkerheder i vores forsøgsresultater.
Vi kan ud fra regressionen se at
a=2,16.
Det betyder altså at:
2
2
2
2,16
2
2,16
8,46
a
g
g
m
g
s
==

=


=
Hvilket giver os en afvigelse fra
tabelværdien på:
9,82 8,46
100 13,85%
9,82
−

=


13
UDLEDNING AF FORMEL FOR SVINGNINGSTIDEN
For at udlede en formel for svingningstiden ved hjælp af dimensions analyse. Normalt bruger man
kun dimensions analyse til at eftervise en i forvejen kendt formel og vi vil derfor længere nede
udlede den samme formel ved hjælp af differentiel regning og newtons love. Vi vil overveje hvilke
ting der kunne have en indflydelse på svingningstiden. Her vil vi betragte følgende: massen (m),
snorlængden (l) og gravitationsacceleration (g).
Vi vælger bevidst ikke at tage højde for luftmodstanden, samt andre gnidninger f.eks. gnidninger
omkring den akse snoren, som holder pendulet, sidder på. Derudover vil vi regne med at svingnings
amplitude bliver så lille, at vinklen ikke har en indflydelse på snorlængden. Altså, at
( )
sin

=
For at vise dette har vi plottet:
( ) ( ) ( )
sin samt ff
==
i TI Interactive og sat
begrænsningerne
11
−
(vinklen er i radianer).
Grafen ser således ud:
Den ”lige” linje er
( )
f

=
og den linje der bøjer i enderne er
( ) ( )
sinf

=
.
14
På grafen kan man tydeligt se hvordan grafen for
( )
sin
og grafen
( )
følges ad ved små vinkler.
Man må konkludere ud fra grafen, at man har lov til at antage, at
( )
sin

=
op til en vinkel på
cirka 0,5 radianer. Samt at forskellen først bliver betydelig stor omkring 0,7 radianer.
Vi vil nu prøve at finde det vi kalder den karakteristiske tid for én radian. Vi gætter på, at man skal
gange faktorerne sammen og det kommer til at se således ud:
l m g
=
Alle faktorerne har en potens, som er den, vi prøver at finde for at komme frem til vores formel.
Men først vil vi prøve at omformulere
g
. Det gøres ved at tage udgangspunkt i SI enheden for g:
22
2
[]
m
g m s l t
s
−−
= = =
Vi sætter det derefter inde i den anden formel og får:
2
t l m l t

−
=
Da vi nu har brugt enheder i vores formel erstatter vi
med t (for tid, svingningstiden).
Nu indsætter vi
00
ml
på venstre side af lighedstegnet. Det må vi fordi man altid må gange med 1
og et tal i 0. potens er altid lig med 1. Det kommer så til at se sådan her ud.
0 0 2
m l t l m l t
−
=
For at udtrykket kan være sandt, skal potenserne på hver side væres ens og vi får derfor:
0
=
Hvilket betyder at
1m
=
og at massen derfor ikke har en indflydelse.
Det giver god mening, hvis tyngekraften er den eneste kraft der virker på et legeme, er den
resulterende kraft:
res
F m g=
og ifølge newtons anden lov kan den resulterende kraft findes ved:
res
F m a=
15
Altså må følgende gælde:
m gm= a g a =
Hvor det altså er tydeligt at massen ikke har betydning for faldets acceleration. Det gælder kun hvis
der ikke er andre ting der påvirker legemet f.eks. luftmodstand.
”l” er både opløftet i alfa og gamma så derfor må det gælde at:
l l l
+
=
Da potensen skal give 0 betyder det:
0

+=
Vi kigger nu på potensen for t. på venstre side er den ”1” og på højre side er den
2
−
.
Vi kan derfor finde værdien for gamma:
1
12
2

= − = −
Vi kan nu finde alpha da vi ved at:
0

+=
Alpha er ”0,5”
Da det er lettere at regne med
g
end
2
lt

−
vil vi gerne have den ind i formlen igen hvilket vi
gør.
Derved får vi at:
½½
l
t l g
g
−
= =
Vi skal dog huske på, at vi kun har udledt sviningstiden for 1 radian. For at sviningstiden for en hel
svingning må vi derfor gange med:
2
16
Så formlen kommer til at se således ud:
2
l
t
g
=
1
Det er altså en udledning på baggrund af enheder for formlen for sviningstiden.
UDLEDNING AF FORMEL FOR SVINGNINGSTIDEN PÅ BAGGRUND
AF 2. GRADSLIGNINGER
Dette afsnit er skrevet på baggrund af bogen ”Integralregning og differentialligninger”, men vi
syntes det var vigtigt at have den med for at sammenligne en udledning ved hjælp af
dimensionsanalyse og en ved hjælp af differentiel ligninger.
Først vil vi lave en lave en kraft analyse af pendulets svingning.
På nedenstående tegning er der 3 kraftpile: mg, F
t1
og F
res.
. Reelt er den eneste nedadgående kraft
der virker på pendulet kun tyngdekraften (mg) men den har vi valgt at dele op i 2 komposanter: F
t1
og F
res.
.
Kraft F
t1
bliver udlignet af en ligeså stor og modsat rettet snor kraft. Derfor er den resulterende F
res
.
Kraften ”mg” kan findes ved ”F
T
=m*g” Kraften F
t1
kan findes ved formlen:
( )
s
F Cos m g
=
.
Kraften F
res
er den resulterende kraft på pendulet og er den kraft der får pendulet til at accelerere.
Den findes ved:
( )
sin
res
F m g
= −
.
1
Efter forklaring af Christian Bierlich
17
”Newtons 2. lov”
Hvis den resulterende kraft på en genstand med masse m er F
res
vil genstanden bevæge sig med
accelerationen a bestem ved ligningen:
res
F m a=
2
”
Samtidig ved fi at
( ) ( ) ( )
' ''a t v t s t==
Altså kan de resulterende kraft udtrykkes ved:
( )
2
2
sin
res
ds
F m m g
dt
= = −
Vi dividere massen ud så der står a=a og antager at
( )
sin

=
Vi ved at
s
l
=
( )
2
2
sin tilnærmet -g =-
d s g s
g
dt L

= −
Løsningen hertil bliver:
( )
12
cos sin
gg
s t k t k t
ll
= +
3
Da strækning må være nul ved t=0 altså s(0)=0 er løsningen:
( )
2
sin
g
S t k t
l

=



fordi 0 sat ind på t’s plads ikke giver nul i formlen med cosinus.
11
0 cos 0 1
g
kk
l

=



2
FysikAB bogen
3
Integralregning og differentielligninger
18
( )
1
sin
g
s t k t
l

=



er en stedfunktion, men vi vil gerne have den formel der giver os
sviningstiden.
Vi fjerner konstanten og sinus da det er
g
t
l
der bestemmer sviningstiden.
Vi har en tiden for en radian, men ønsker at få den for en hel svingning, vi ganger derfor med 2π og
isolere T. Vores resultat bliver da:
2
l
T
g
=
4
HARMONISKE SVINGNINGER
En harmonisk svingning er en bevægelse hvor en genstand (i vores tilfælde et pendul) svinger
omkring en ligevægtsstilling. Pendulets udsving y(t) som er en sinusfunktion af formen:
( ) ( )
siny t A t
=
Hvor
er vinkelfrekvensen givet ved:
2
T
=
Det skyldes at en ”periode”(svingning) er fra bølge top til bølge top i en sinusfunktion, som er på
2π. Der divideres derefter med den tid som perioden har taget. Dvs. sviningsfrekvensen er antal
svingninger per sekund.
A er amplituden, dvs. genstandens maksimale udsving fra ligevægtsstilligen. A kan findes på
følgende måde:
Al
=
det må gælde fordi cirklens omkreds er givet ved:
( )
2
2 svare til 360 i en enhedscirkel og en hel cirkels i radianer.
Ved at sætte vores vinkel ind i radianer og erstatte "r" med "l" vil vi kunne
finde den tilbagelagte afstand.
Or
snorlængden
=

4
Integralregning og differentielligninger (samme udledning i bogen)
19
Vi vil prøve at vise en sinuskurve.
Først vælger vi en af vores svingninger. Den har følgende værdier:
7
0.545 63 1,58
20
l m radianer t s
= = = =
Så udregner vi amplituden og vinkelfrekvensen:
7
20
2
3,98
1,58
Al
A m m
rad
ss
=
= =
==
Vi sætter værdierne ind i funktion og får:
( )
0.599 3,98
rad
y t m t
s

=


Sinuskurven kommer så til at se ud som følge:
20
UDLEDNING AF FUNKTION DER BESTEMMER
VINKELACCELERATIONEN SOM FUNKTION AF TIDEN
Vi vil opstille vinklen som funktion af tiden og derefter differentier den så vi får pendulets
acceleration som funktion af tiden. Vi starter med en funktion vi tidligere har brugt i en
differentielligning nemlig:
( ) ( )
sinf x A kx=
som vi omskriver til:
( ) ( )
sins t A t
=
Vi ved at
s
ls
l

= =
så vi omskriver s(t) til
( )
t
l
.
Derudover må der gælde følgende for amplituden.
max max
A
lA
l

= =
21
Til sidst ved vi at
g
l
=
5
Vi sætter derefter ind i formlen. Vi har nu en funktion der angiver vinklen som funktion af tiden.
l
( )
t
l
l
=
max
sin
g
t
l
l
( )
max
sin
g
tt
l

=
Vi laver følgende omskrivning
Vi dobbeltdifferentierer ligesom vi gjorde tidligere i afsnittet om ”differentialligninger” under ”2.
ordens differentialligninger” og får:
( ) ( ) ( )
2
'' sin '' sin
g g g g
t t t t t
l l l l
= = − = −
Vi har nu udledt en funktion der bestemmer vinkelaccelerationen som funktion af tiden.
Man kan finde accelerationen af pendulet ved hjælp af formlen:
a
la
l

= =
5
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/node14.0.html
22
VARIATION AF SVINGNINGSTID(GRAF)
På grafen ovenfor kan vi se at vores målte værdier(de små firkantede) passer ret godt på de
teoretiske udregnede. Den store firkant er en teoretisk udregning der ikke tager højde for vinklen.
De trekantede er en teoretisk udregning der tager højde for viklen. Det er ud fra grafen ret tydeligt
at den tilnærmede formel:
2
L
T
g
ikke fungere til at udrenge svingningstiden når man varierer
vinklen til en vinkel over 0,7 radianer. Man skal derimod bruge formlen:
24
00
1 11
2 1 ...
16 3072
L
T
g

= + + +


6
Det er den almindelige formel ganget med en såkaldt ”uendelige” serie, hvis udledning ligger uden
for denne rapports rammer.
6
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pendl.html
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
Svinginings tid
[s]
Vinkel
målt
Teoretisk 1
Teoretisk 2
23
Her er der igen en graf med sviningstiden op af 2. aksen og vinklen i radianer ud af 1. aksen.
Man kan se at tiden som funktion af vinklen giver et Andensgradspolynomium dvs. en
andengradsligning.
VARIATION AF MASSEN(GRAF)
-2.1
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
1.95
1.445
1.495
1.545
1.595
1.645
0 50 60
Svingningstid
[s]
Masse[g]
Vægt
teoretisk
Quadratic Regression
f(x) = .102243x^2 + .044399x + 1.47655
24
På grafen her kan vi se, at vi har ramt lidt over med hensyn til svingningstiden i forhold til massen.
Dette kan skyldes, at vi har været upræcise da vi målte svingningstiderne, luftmodstand og fejl på
forsøgsopstillingen. Den store firkant er den teoretisk udregnet svingnings, mens de små firkantede
er vores målinger. Derudover kan vi, ud fra vores resultater, konkludere at massen ikke har en
umiddelbar indflydelse på sviningstiden idet at sviningstiden er stort set uændret selvom vi forøger
massen med en faktor 10.
VARIATION AF SNORLÆNGDEN(GRAF)
På grafen kan vi se, at vi se at vores data passer rigtig godt med de teoretiske udregnede værdier. De
små firkantede er vores målinger, de store firkantede er de teoretisk udregnede værdier. Ud fra
grafen kan vi altså konkludere at vi godt kan bruge formlen:
2
L
T
g
=
til at udregne
sviningstiden så længde det kun er snorlængden vi varierer.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
Svingnings tid
[s]
Snorlængde [cm]
Målt
Teoretisk 1
25
DISKUSSION
Vi kan se ud fra vores forsøgsresultater at den tilnærmede formel
2
L
T
g
kun gælder for
svingninger under 0,7 radianer. Ved større vinkler skal man bruge formlen:
24
00
1 11
2 1 ...
16 3072
L
T
g

= + + +


.
Vi har en del afvigelse fra de teoretiske værdier hvilket kan ses på graferne ovenfor. Det kan
skyldes tilnærmede formler samt fejl i vores forsøgsresultater. Dvs. fejlmålinger, antagelse af ingen
luftmodstand samt antagelse af ingen gnidningsmodstand. Derudover var det almindeligt, at vores
pendul begyndte at bevæge sig i ellipser og ikke i en 2-dimmensionel halvcirkel.
I forsøget hvor vi ville bestemme ”g” brugte vi en vinkel på 63grader dvs. 1,10 radianer. Da vi
antager at formlen (
2
L
T
g
) ikke kan regne præcist ved vinkler over 0,7 radianer må vi betragte
dette som en væsentlig fejlkilde.
KONKLUSION
På baggrund af vores afsnit ”Udledning af formel for svingningstiden” samt på baggrund af vores
forsøgs resultater, kan vi konkludere at massen af loddet ikke har indflydelse på svingningstiden. Vi
kan derudover konkludere, at sviningstiden er proportional med kvadratroden af snorlængden. Samt
at man ud fra den simple formel for sviningstiden kan udlede tyngdeaccelerationen dog fik vi en
lille afvigelse. Vi kan konkludere at vores forsøgsresultater stemmer overens med vores teoretiske
udregninger på den måde vi havde forudset. Dvs. at den simple formel for sviningstiden viste sig
utilstrækkelig ved større vinkler, men anvendelig ved variation af snorlængden samt massen. Vi kan
konkludere at differentialligninger kan anvendes til udledning af en formel som beskriver
acceleration i pendulet. Vi kan konkludere, at den matematiske værdimængde beskriver det samme
som den fysiske amplitude.
26
LITTERATURLISTE
1) Flemming Clausen, Poul Printz og Gert Schomacker: ”Integralregning og
differentialligninger”, BB Grafik, 1993
2) Carstensen, Frandsen, Stundsgaard: ”Mat B til A”, Systime, 2008
3) Finn Elvekjær og Torben Benoni ”FysikABbogen”, Systime, 2007
4) http://www.myphysicslab.com/pendulum1.html
5) http://www.physicsforums.com/archive/index.php/t-158251.html
6) http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/diffeq/pendulum/pend1.html
7) http://www.real-world-physics-problems.com/pendulum-physics.html
8) http://www.splung.com/content/sid/2/page/shm
9) http://calculuslab.deltacollege.edu/ODE/7-A-2/7-A-2-h.html
10) http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pendl.html
11) http://www.exo.net/~pauld/activities/pendulums/pendulums.html
12) http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/Pendulum/Pendula.html
13) Egne noter fra undervisning.