Matematikprojekt Af
Popcorn 2.y den 16/12-04
- 1 -
STX 2.g
STX 2.g
den 16/12-04
Matematikprojekt Af
Popcorn 2.y den 16/12-04
- 2 -
Indledning:
For at finde frem til det optimale popcornsbæger med det mindste papirforbrug, har vi foretaget
undersøgelser på de fire figurer designgruppen har fremsendt. Vi har regnet med et cylinderformet,
kasseformet med kvadratisk bund, kegleformet, pyramideformet popcornsbæger.
Vi vil give en vurdering på 6 forskellige punkter; papirforbrug, pakning til transport (om bægeret
kan stå i flere lag), brugervenlighed (om bægeret kan stå selv), mængden af popcorn (om der er
mange hulrum uden popcorn, mange = dårlig), stabilitet og synsbedrag (hvordan bægeret virker på
kunden, stort = god).
Udregningsmetode:
Der findes en formel til udregning af volumenet og en formel til udregning af overfladearealet.
Formelen for volumenet sættes til 500 ml=cm
3
. Vi bruger formlerne i forhold til hinanden, ved at
isolere en af de to variabler i formlen for volumen, fx højden,
og derefter indsætte den i overflade formlen. Herefter har vi
en funktion med en ubekendt/variabel. Denne funktion viser
papirforbruget(overfladearealet) ved en tilfældig variabel. Ved at differentiere funktionen og sætte
den lig nul, findes det ekstremunspunkt, hvor vi har det mindste papirforbrug ved volumenet 500
ml. Det tal som fremkommer når den differerede funktion sættes lig nul, er så størrelsen på
variablen. Vi indsætter variablen i overflade-formlen og beregner overfladen.
Vi kan nu også finde den anden variabels værdi, ved den mindste overflade, og kan udfra disse
oplysninger lave bægret.
Cylinderformet popcornsbæger:
Volumenet for en cylinder er:
hrV =
2
Overfladearealet for en cylinder er:
2
2 rhrO +=
Da kravet til popcornsbægeret er at dette kan indeholde 500 ml,
sættes volumenet til 500, og et udtryk for højden findes:
2
500
2
500
r
hhr
==
Et billede af et
cylinderformet
popcornsbæger
Det er ligegyldigt hvilken af de
to variabler der bruges, da det
vil give det samme resultat i
sidste ende.
Matematikprojekt Af
Popcorn 2.y den 16/12-04
- 3 -
Dette indsættes nu på højdens plads i overfaldearealet:
2
1000
2
500
)(2)(
2
rxOrrxO
r
r
+=+=
Når dette differeres og sættes lig nul, kan vi finde den radius hvor papirforbruget ved volumenet
500 ml er mindst:
276,79er ærdien funktionsv og 419,5er 0)('når )('
2
1000
2
===
+
−
rrOrO
rr
Altså når radiusen er 5,419 og volumenet 500 ml, får vi et papirforbrug på 276,79 cm
2
.
Kasseformet popcornsbæger:
Volumenet for kassen er
hxVhxxV ==
2
Overfaldearealet for kassen uden låg er:
xxhxxO += 4
Da kravet til kassen er at der er kvadratisk bund er både længden
og bredden sat til x.
Da kravet til popcornsbægeret er at dette kan indeholde 500 ml,
sættes volumenet til 500, og et udtryk for højden findes:
2
500
2
500
x
hhx ==
Dette indsættes nu på højdens plads i overfladearealet:
x
x
xxxOxxhxxO
2000
22
500
2
2
44 +=+=+=
Når dette differeres og sættes lig nul, kan vi finde den længde / bredde hvor
papirforbruget ved volumenet 500 ml er mindst:
300.er ærdien funktionsv og 5her 10er x 0(x)O'når 2)('
2
2000
===−=
x
xxO
Altså når længden og bredden er 10, højden 5 og volumenet 500 ml, får vi et papirforbrug på 300
cm
2
.
Et billede af et
kasseformet
popcornsbæger
Matematikprojekt Af
Popcorn 2.y den 16/12-04
- 4 -
Kegleformet popcornsbæger:
Man kan beregne en kegles volumen og overfladeareal ved følgende formler:
Først sætter vi V=500 cm
3
, da dette var et krav fra kunden. Herefter isolerer vi de to forskellige
variabler, r og h.
h
r
h
r
hr
=
=
=
3
1
500
3
1
500
3
1
500
2
2
2
3
1
500
r
h
=
Da det er målene for det mindste papirs forbrug/overfladeareal vi skal finde, er det den formel vi
skal bruge. Først indsætter vi a i funktionen, og derefter indsætter vi en af de to variabler i formlen.
Vi har valgt at beholde h som variabel, og indsætte r i formlen.
For at finde det mindste overfladeareal differentierer vi formlen, og sætter den derefter = 0. Dette
vil give os ekstremumspunkterne, og netop i ekstremumspunkterne er O mindst. Vi kan så udregne
h ved hjælp af den differentierede funktion, og indsætte den i overflade-formlen, og derved få
overfladearealet.
(se beregninger næste side)
22
2
3
1
hra
aro
hrv
+=
=
=
Krav fra kunden: v = 500cm
3
Vi har isoleret a efter
pythagoras sætning,
hvor a
2
+b
2
=c
2
, som
gælder for alle
retvinklede trekanter.
Et billede af et
kegleformet
popcornsbæger
Matematikprojekt Af
Popcorn 2.y den 16/12-04
- 5 -
3
2
2
2
22
83,263
,9
3
1
500
,9
9
3
1
500
),9(
,90
300
300
)(
3
1
500
3
1
500
3
1
500
3
1
500
cmO
h
h
h
h
hhO
h
h
h
O
rh
h
O
a
h
O
=
+
=
==
−
−=
=
=
=
Pyramideformet popcornsbæger:
Man kan beregne en pyramides volumen og overfladeareal ved hjælp af følgende formler:
2
3
1
xA
AhV
=
=
krav fra kunden:
v=500cm
3
Bunden er kvadratisk (derfor
A=x
2
, da hver sidelængde
kaldes x)
a indsættes
r indsættes
Funktionen differentieres
Den sættes =0
h udregnes
O udregnes ved hjælp af h
Et billede af et
pyramideformet
popcornsbæger
Matematikprojekt Af
Popcorn 2.y den 16/12-04
- 6 -
h
x
h
x
x
h
xhV
=
=
=
==
3
1
500
3
1
500
3
1
500
3
1
500
2
2
2
For at kunne beregne overfladearealet, har vi fundet frem til en formal, ved først at bruge
pythagoras til at beregne længden L.
22
)5,( hxoL +=
Når vi har L og x kan vi beregne 1 trekantens overfladeareal ved hjælp af formlen:
xLA
trekant
= 5,0
Derefter skal dette areal ganges med 4, da det er en 4-sidet pyramide. Vi har ikke medberegnet
bunden, da den i popcornmodellen vil være toppen, og derfor ikke vil være der.
Matematikprojekt Af
Popcorn 2.y den 16/12-04
- 7 -
( )
32
3
1
23
3
2
2
2
2
2
22
96,285
09,9
375
09,9
09,9
15
20)(
4,965
3751
10
37515
20
3
1
500
4
3
1
500
2
4
2
)5,0(5,0(4
)5,0(4
cmhO
h
h
h
h
h
h
hA
h
h
h
A
h
h
h
A
xh
x
A
xhxA
xLA
=+=
==
+
−
=
+=
+
=
+=
+=
=
Vurdering:
Papirforbrug
Pakning
Brugervenlighed
Mængde
Stabilitet
Synsbedrag
Samlet
Cylinder
x 3
x 2
x 4
x 1
x 4
x 2
x 16
Kasse
x 1
x 2
x 4
x 2
x 1
x 2
x 12
Kegle
x 4
x 4
x 2
x 4
x 4
x 4
x 22
Pyramide
x 2
x 4
x 1
x 3
x 1
x 4
x 15
Vi indsætter L i formlen.
Her bruger vi lommeregneren til at omskrive
formlen.
Indsætter x
2
og x.
Bruger lommeregneren til at reducere ved hjælp
af simplefy i cas menuen.
Bruger lommeregneren til at finde A’(h) ved
hjælp at diff funktionen inde i cas menuen.
Vi sætter nu A’(h) = 0, og finder herved
ekstremumspunktet = h.
Vi indsætter h i formlen og beregner det totale
overfladeareal.
Matematikprojekt Af
Popcorn 2.y den 16/12-04
- 8 -
Papirforbrug: Se tal under beregningerne, det bæger med det mindste papirforbrug har fået flest
popcorn i denne vurdering, da kravet fra firmaet var at vi skulle finde det mindste
papirforbrug, da dette er firmaets største udgift.
Pakning: Keglen og pyramiden har den fordel at de kan stoppes ind i hinanden, og på den
måde udnyttes tomrummet i selve bægeret under transport. Cylinderen og kassen har
ikke mulighed for at udnyttes tomrummet, da de lige nøjagtig ikke kan gå ned i
hinanden, og derfor skal stables. Dette skaber en masse apildplads, som man evt.
kunne undgå ved at lave en model der kunne foldes flad, men så ville vi ikke få den
store forskel. Derfor er vi gået ud fra et bæger som skal bruges uden at skulle foldes
ud først.
Brugervenlighed: Her har vi lagt stor vægt på hvordan det er for kunden at sidde i en biograf med
bægeret. Derfor at de bægere som kan stå selv fået flest popcorn. Det er besværligt
med et bæger som ikke kan stå selv, fx når man skal finde slik, betale, vente mv.
Dog er pyramiden lidt mere træls at sidde med end keglen, og har derfor kun fået 1
popcorn, hvorimod keglen har fået 2.
Mængde: Pyramiden og keglen har et tomrum i bunden, fordi at popcornene ikke kan komme
helt ned i spidsen. Derfor bruges der ikke nær så mange popcorn på at fylde disse to
bægere som der skal til at fylde cylinderen og kassen. I kassen er der fire hjørner
som ikke udnyttes 100 %, dog udnyttes de mere end spidserne i de to andre bægrer.
Cylinderen har ingen hjørner eller spidse ender, så her kan være flest popcorn. Vi har
vurderet ud fra firmaets side, og det er derfor en fordel at mængden af popcorn er
lille. Altså har cylinderen fået færre popcorn-point end keglen.
Stabilitet: Cylinderen har stabile sider som gør bægeret rart at arbejde med, det samme har
keglen. Keglen er dog mest stabil, fordi den samles i bunden i en spids. Kassen og
pyramiden finder vi mest ustabile. Man kunne lave kassen og cylinderen mere stabile
ved at bruge en tykkere form for materiale, men dette er dyrere, og ikke til at
sammenligne.
Synsbedrag: Når man kigger på pyramiden og keglen, virker de større end hvis man kigger på
kassen eller cylinderen. Dette er en klar fordel for fabrikanten, fordi alle bægerne har
det samme volumen men kunden vil oftest vælge pyramiden eller keglen. Derfor får
pyramiden og keglen fuldt antal popcorn i synsbedrag.
Matematikprojekt Af
Popcorn 2.y den 16/12-04
- 9 -
Konklusion:
Keglen er det popcornsbæger som har det mindste papirforbrug, men også det bæger som får flest
popcorn i vores vurdering hele 22, i forhold til de andre. Det kasseformede popcornsbæger var det
dårligste med kun 12 popcorn. Det var også det dyreste med hensyn til papirsforbrug. Vi anbefaler
derfor det kegleformede popcornsbæger, da det er det mest optimale popcornsbæger i forhold ti
kundens krav.