Fysik A Elektrondiffraktion
[navn fjernet] 3.y
1
Elektrondiffraktion
Formål
Formålet med dette forsøg er at påvise elektroners bølgenatur, samt at bestemme afstanden mellem
forskellige atomare gitterplaner i grafit (gitterkonstanten ).
Procedure
Ved brug af et elektronrør, der består af en elektronkanon med en katode i form af en glødetråd og
en anode, kan elektroner accelereres op. Med en spændingsforskel på nogle kV mellem anode og
katode frembringes nemlig en stråle af elektroner, hvor elektronerne meget nær har samme
hastighed. Elektronerne passerer derefter igennem et folie med et polykrystallinskgrafitlag,
hvorefter de rammer et fluorescerende lag på rørets forende, hvilket gør at de interfereres og dermed
udsender lys. Når elektronerne bliver accelereret, afhænger accelerationen af spændingsforskellen
. Des højere spændingsforskel, des hurtigere acceleration, og jo højere accelerationen bliver, jo
mindre bliver cirklerne. Cirklerne er synlige ved konstruktiv interferens, hvor eksempelvis to
bølgetoppe eller to bølgedale rammer hinanden.
Ved forskellige spændingsforskelle mellem anode og katode aflæste vi diametrene af ringene med
en skydelære. Her forsøgte vi så vidt muligt aflæse midt i ringene hver gang.
Teori
Hvis en elektrons bevægelsesmængde er veldefineret (hvilket den er her, da vi kender
spændingsforskellen), så følger det af Heisenbergs usikkerhedsrelation, at elektronens position er
ubestemt. Vi kan altså kun tale om en sandsynlighed for at elektronen er et bestemt sted. Dermed
Fysik A Elektrondiffraktion
[navn fjernet] 3.y
2
skal elektronen beskrives ved en bølgefunktion, og elektronen vil kunne interferere. Derved opstår
interferensmønstrene på glasset. Elektronens bølgelængde (de Broglie bølgelængden) er givet ved
Her er Plancks konstant og er bevægelsesmængden, hvor . Det vil sige udtrykket kan
udtrykkes ved:
Elektronernes fart er bestemt af det elektriske felt hvori de accelereres og deres kinetiske energi er:
Her er
den kinetiske energi, er spændingsforskellen og er elektronens elementarladning.
Da vi her opfatter elektronen som en bølge, kan vi finde dens energi ved hjælp af spændings-
forskellen mellem anode og katode. Ud fra udtrykket af den kinetiske energi og de Broglie
bølgelængden kan følgende udtryk udledes (udledning følger):
Som før beskrevet er den kinetiske energi:
Ved at isolere kan denne indsættes i de Broglie bølgelængden:
Herefter reduceres udtrykket:
Dermed er formlen udledt.
Fysik A Elektrondiffraktion
[navn fjernet] 3.y
3
Når elektronerne rammer grafitlaget sker der en diffraktion. Dermed vil elektronerne interferere
som i et gitter. Der gælder den samme ligning for elektronbølgernes interferens i et krystalgitter
som for røntgenstråling, nemlig Braggs ligning
1
:
hvor er gitterafstanden i grafitkrystallerne,
er antal ordenspletter, er bølgelængden
og er den vinkel elektronerne bliver affyret
med. 2-tallet i Braggs ligning skyldes, at der
er tale om diffraktion i et krystalgitter (se
også figuren til højre).
I vores forsøg har vi kun 1. ordens spektret,
altså n = 1. Hvis der regnes i radianer er
sin()≈ når er lille, og Braggs ligning
bliver dermed:
Diffraktionen frembringer to lysende cirkler med radier R
i
og R
y
på den fluorescerende skærm, da vi
ved denne øvelse har diffraktion i to forskellige gitterplaner. Om cirklerne gælder at:
Her er L afstanden fra grafitgitteret til glasskærmen (), mens radius af cirklen betegnes
med . Hvis al viden fra det foregående sammensættes kan nedenstående udtryk for findes
(udledning følger):
Fra de Broglie bølgelængden udledte vi følgende udtryk:
Ved indsættelse af bølgelængden fra Braggs ligning fås:
Da vi ved at
gælder for de to cirkler, kan udtrykket reduceres til:
1
Fysikkens spor, s. 174
Fysik A Elektrondiffraktion
[navn fjernet] 3.y
4
Ved isolering af bliver udtrykket nu:
I ovenstående formel for radius er spændingsforskellen den eneste afhængige variabel. Dermed
udskilles fra brøkstregen og formlen lyder nu således:
Dette udtryk bruges senere i rapporten, hvor det er en forskrift for en lineær funktion .
Her er -værdien af funktionen
, -værdien er og hældningen af funktionen er
. Grafen skulle gerne blive omvendt proportional, når man tager kvadratroden af .
Desuden bør den lineære funktion ikke have en b-værdi – det vil sige den burde gå gennem
–
da der, lige meget hvor høj spændingsforskellen bliver, altid vil blive dannet en cirkel. Ydermere
kan udtrykket fra x-aksen:
.
Databehandling og resultater
Data fra forsøget
Spændingsforskel
Diameter
1
Diameter
2
x-koordinat
U / V
D_1 / m
D_2 / m
1/√U
6000
0,01023
0,018695
0,4
5500
0,011065
0,01946
0,7
5000
0,01137
0,020075
0,6
4500
0,01224
0,021345
0,
4000
0,012875
0,022915
0,8
3500
0,014095
0,02494
0,5
3000
0,01542
0,02706
0,9
2500
0,01684
0,02995
0,02
Fysik A Elektrondiffraktion
[navn fjernet] 3.y
5
Overskueliggørelse af resultater og konstanter
Elektronrørets længde
0,135
m
Elektronens masse
9,109E-30
kg
Elementarladningen
1,602E-19
C
Plancks konstant
6,626E-34
J*s
Indre gitterkonstant
1,540E-01
m
Ydre gitterkonstant
2,700E-01
m
Graf 1 – Målinger af den ydre cirkel
Graf 2 – Målinger af den indre cirkel
y = 0,6157x + 0,0016
R² = 0,997
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035
Diameter 2
1/√U
Ydre cirkel
y = 1,0736x + 0,0018
R² = 0,997
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0 0,005 0,01 0,015 0,02
Diameter 1
1/√U
Indre cirkel
Fysik A Elektrondiffraktion
[navn fjernet] 3.y
6
På begge grafer er x-aksens variabel diameteren for henholdsvis den ydre og den indre cirkel.
Derudover er y-aksens variabel
. På begge grafer ses det, at punkterne ligger på en lineær linje
med meget lille afvigelse. Dette burde også gælde, hvis formlen:
skal kunne
anvendes. Ud fra funktionen ses det, at der er en værdi af , nemlig . Denne værdi
burde ikke forekomme ligesom beskrevet sidst i teori-afsnittet, og den forekommer dermed kun på
grund af måleusikkerheder eller andre fejlkilder.
a) Hvordan kan grafens hældning bruges til at bestemme afstanden mellem forskellige atomare
gitterplaner i grafit?
Ud fra udledningen af -formlen, ved vi at hældningskoefficienten er
. Her er
Plancks konstant, er elektronrørets længde, er gitterkostanten, er elementarladningen, er
elektronens masse. Ved at aflæse og indsætte hældningskoefficienten fra graferne og
samt de andre konstanter i ligningen for , kan en værdi af afstanden mellem forskellige
atomare gitterplaner i grafit bestemmes:
Den inderste cirkel:
Den yderste cirkel:
Fysik A Elektrondiffraktion
[navn fjernet] 3.y
7
Fra øvelsesvejledningen fik man oplyst to tabelværdier af gitterkonstanten. Udregner nu hvor stor
en afvigelsesprocent mine udregnede data har i forhold til tabelværdierne
og
, hvor
er
gitterkonstanten for den yderste cirkel og
er for den inderste
:
Den inderste cirkel
Den yderste cirkel
Ud fra de beregnede afvigelsesprocent fra tabelværdierne, ser mit beregnede data nogenlunde
rimelig ud, hvis man tager fejlkilderne i betragtning.
Forholdet mellem tabelværdierne for gitterkonstanterne i indre og ydre cirkel er
,
mens forholdet mellem vores værdier er
. Afvigelsesprocenten i dette tilfælde er:
Det vil sige, at forskellen af forholdet mellem de beregnede værdier og tabelværdierne er .
Med henblik på dette tal ses det, at jeg målte diameteren af cirklerne nogenlunde samme sted på
cirklerne hver eneste gang. Dette afspejler, at min afvigelsesprocent på hhv. og
skyldes, at jeg ikke har målt diameteren perfekt ud til ydersiden af cirklerne. Altså, er forholdet
mellem konstanterne fornuftigt, men pga. manglende viden om hvor jeg nøjagtigt skulle måle
diameteren af cirklen, er min afvigelsesprocent fra tabelværdierne stadig høj.
Taget afvigelsesprocenterne i betragtning vil jeg konkludere, at den brugte formel og model godt
kan anvendes til bestemmelse af afstanden mellem forskellige atomare gitterplaner i grafit.
Fysik A Elektrondiffraktion
[navn fjernet] 3.y
8
Fejlkilder
1. Lokalet var ikke helt mørkelagt, hvilket gjorde at cirklerne ikke var så tydelige. Dermed var
de også sværere at se og dermed sværere at måle.
a. Det kan give en afvigelse af diameteren og dermed radius af cirklerne. Hermed vil
graferne se anderledes ud og tendenslinjerne ville afvige en smule. Med andre
hældningskoefficienter ville gitterkonstanten for både ydre og indre cirkel dermed
afvige negativt eller positivt.
2. Målingerne har måske ikke været helt præcise, da man måske ikke har målt det samme sted
på cirklerne hver gang med skydelæren. Da man målte diametrene af cirklerne målte man
dem i luften, hvor kroppen og ens hånd måske ikke kunne holdes fuldstændig rolige.
a. Dette kan give de samme afvigelser som ved fejlkilde #1.
3. Ved indstillingen af voltmeteret har dette måske ikke været indstillet til præcist fx 4000 V.
a. Dette kan have givet en afvigelse i spændingsforskellen, hvilket kunne give
afvigelser på x-aksen af graferne – herved var netop lig
. Dette kunne have
medført en anden hældningskoefficient og dermed negative eller positive afvigelser
af den beregnede gitterkonstant i forsøget.
Konklusion
Formålet med denne øvelse var at påvise elektroners bølgenatur, samt at bestemme afstanden
mellem forskellige atomare gitterplaner i grafit (gitterkonstanten ).
Forsøget gik som det skulle, da jeg ved hjælp af indsamlet data kunne bestemme en værdi af
gitterkonstanten for ydre og indre cirkel, der henholdsvis var
og
.
Dog afveg de beregnede resultater med henholdsvis og fra tabelværdierne. Dette
skyldes nok fejlkilde #2, da vi ikke målte cirklernes diameter med præcision. Men alt i alt
kan jeg konkludere, at man godt kan bruge den samlede model, udledt af de Broglies og Braggs
formler for bølgenatur, til bestemmelse af afstanden mellem forskellige atomare gitterplaner i grafit.