22/04-10 Emneopgave Matematik
[navn fjernet]
[navn fjernet] & [navn fjernet]
2.B HHX Slotshaven
Emneopgave / Portfolio-opgave 10
Harmoniske Svingninger
Som navnet antyder, bruger vi de harmoniske svingninger til at beskrive forskellige
former for svingninger. Dette kan eksempelvis være lydbølger, vekselspændinger
eller pulsslag i en Coopers test mm.
Man siger at bevægelsen er en harmonisk svingning, hvis forskriften for f er som
følger.
f(x) = a sin(bx + c) + d eller f(x) = a cos(bx + c + d
f(x)=2*sin(1x+0)+0
-
-5
5
x
y
22/04-10 Emneopgave Matematik
[navn fjernet]
[navn fjernet] & [navn fjernet]
2.B HHX Slotshaven
Denne figur viser en harmonisk svingning, ved værdierne A = 2, B = 1, C = 0 & D = 0.
A, b, c og d er reelle tal, som kan antage forskellige værdier. En ændring i partiklens
bevægelsesmønster medfører selvfølgelig en ændring i tallene a, b, c og d.
A eller amplituden som den også kaldes, bevirker størrelsen på de udsving, der er på
kurven, samt kan være negativ.
B eller frekvensen som den også kaldes, bevirker hyppigheden af de udsving der er
på kurven.
C eller begyndelsesfasen, bevirker et ændret udgangspunkt for svingningen, da
kurven forskydes vandret, når c ændres.
En ændring af D eller faseforskydning medfører en forskydning af kurven lodret, op
eller ned.
Cooperstest:
22/04-10 Emneopgave Matematik
[navn fjernet]
[navn fjernet] & [navn fjernet]
2.B HHX Slotshaven
På billedet ovenfor er en cooperstest. Funktionen for denne er som følger:
P(x) = a*cos(b*x)+c
P(x) er antal pulsslag pr. minut, og x er tiden målt i sekunder.
For denne kurve er konstanterne;
A = 30 B = 20 C = 150
Derfor ser forskriften for kurven således ud: p(175) = 30*cos(20*175)+150
Som det kan aflæses ud fra den lodrette og vandrette streg på kurven, kommer
pulsslagene pr. minut første gang ned på 175 efter ca 2 sekunder. Dette kan vi også
regne os frem til, på følgende måde.
175 = 30*cos x+150
25 = 30*cos x
= cos x
Cos
-1
( ) / 0.59 = x
X = 1.85
π
10
Grunden til at det er π tiendedel er, at
perioden svarer til π tiendedel.
π
10
5
6
π
10
5
6
π
10
22/04-10 Emneopgave Matematik
[navn fjernet]
[navn fjernet] & [navn fjernet]
2.B HHX Slotshaven
Enhedscirklen:
Hvis man bevæger sig venstre om enhedscirklen, kaldes det en positiv
omløbsretning, modsat bevæger man sig højre om enhedscirklen, kaldes det en
negativt omløbsretning.
Figuren her viser at enhedscirklen, har centrum i koordinatsystemets
begyndelsespunkt i (0,0).
Enhedscirklen skærer X- og Y-aksen i punkterne (1,0), (0,1), (-1,0) & (0,-1).
Som det kan ses på ovenstående figur, har punkterne tilsvarende π punkter. Disse π
punkter kan vi bruge til at lave harmoniske svingninger af.
Cosinus svingerne svarer til x koordinaterne, mens Sinus svingningerne svarer til y
koordinaterne.
π -3π
2 2
π
- π
-2π
0
2π
-π 3π
2 2
Cos
Sin
22/04-10 Emneopgave Matematik
[navn fjernet]
[navn fjernet] & [navn fjernet]
2.B HHX Slotshaven
Sinus Svingning
Cosinus Svingning
-
-5
5
x
y
Dette er både sinus og cosinus svingningerne for enhedscirklen.
Amplitude
Frekvens
22/04-10 Emneopgave Matematik
[navn fjernet]
[navn fjernet] & [navn fjernet]
2.B HHX Slotshaven
På figuren vises frekvens og amplitude.
f(x)=5*sin(0.5x+0)+10
-15 20
-10
-5
5
10
15
20
x
y
Denne figur har ændret faseforskydning, hvilket medfører at figuren svinger rundt
om 10 i stedet for 0.
22/04-10 Emneopgave Matematik
[navn fjernet]
[navn fjernet] & [navn fjernet]
2.B HHX Slotshaven
Figuren viser en principskitse af en sinus svingning. Denne skitse viser, som navnet
også fortæller, hvordan en sinus svingning i princippet er.
På y-aksen faseforskydningen (d), og hvordan svingningen går fra faseforskydning +
amplituden (a) til faseforskydning – amplituden. Dette er nødvendighed for at det
skal være en harmonisk svingning.
På x-aksen vises intervallerne. De er dog ikke vist i π punkter som ovenover, men det
er vist tilsvarende ved en udregning.
Denne principskitse skal følges af alle svingninger, før de kan kaldes harmoniske
svingninger.
Cosinus, sinus og tanges bruges ikke kun i sammenhæng med harmoniske
svingninger. Vi bruger også flittigt disse tre begreber, når vi arbejder med
retvinklede trekanter.
Vi har tre grundlæggende formler, når vi snakker cosinus, sinus og tangens i
sammenhæng med retvinklede trekanter.
CosV = <-> hos = hyp * cosv <-> hyp =
SinV = <-> mod = hyp * sinv <-> hyp =
TanV = <-> mod = hos * tanv <-> hos =
Med disse tre formler kan stortset alt i en retvinklet trekant beregnes, bare der
enten bliver oplyst en katete og en vinkel, eller to kateter.
Her følger et par eksempler på hvordan disse formler bruges i sammenhæng med
retvinklede trekanter.
Hos
Hyp
Hos
CosV
Mod
Hyp
Mod
SinV
Mod
Hos
Mod
TanV
22/04-10 Emneopgave Matematik
[navn fjernet]
[navn fjernet] & [navn fjernet]
2.B HHX Slotshaven
38º
30º
Mod
?
Hos
Hyp = 10
Mod = Hyp * SinV
Mod = 10 * Sin(30)
Mod = 5
Mod
Hos = 7
Hyp = ?
Hyp = Hos / CosV
Hyp = 7 / Cos(38)
Hyp = 8,9
40º
Mod = 6
Hos = ?
Hyp
Hos = Mod / TanV
Hos = 6 / Tan(40)
Hos = 7,2