[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
1
Indholdsfortegnelse
Indledning
Fremstilling 2
Omkostningsbegrebet 2
Faste og variable omkostninger 2
Samlede omkostninger 3
Proportionale, progressive og degressive variable omkostninger 3
Gevinstoptimering 5
Pris/afsætningsfunktion 6
Aalborg DH i kamp for bundlinjen 6
Strategi 7
Konklusion 8
Bilag 9
Litteraturliste 12
[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
2
Indledning
En virksomhed har behov for redskaber til at styre enkeltvareproduktionen, her under faste og
variable omkostninger, produktionsmængde og prissætning for at kunne maksimere virksomhedens
gevinst. Dertil anvendes forskellige økonomiske begreber. Disse begreber er vist både som
matematiske funktioner og ved grafisk fremstilling. Virksomheden kan drage konkurrencefordele
ud fra de graffiske fremstilling/beregninger, ved at aflæse på grafen eller beregne, hvor deres
gevinstoptimale produktion ligger.
Fremstilling
Omkostningsbegrebet
Omkostningsbegrebet dækker forbruget af de produktionsmidlers, som man skal bruge til at
gennemføre produktion og salg. Produktionsmidler er alle de faktorer, der medgår til at gennemføre
produktionen i en virksomhed. De forskellige faktorer kan være lønninger, maskiner, råvarer osv.
Inden for omkostningsbegrebet er der også tale om afskrivninger/værdiforringelse, der defineres
som et aktivs bogførte værdi, nedsat over en tidsperiode. Der afskrives på f.eks. maskiner,
bygninger og inventar. Afskrivninger indgår under begrebet faste omkostninger. Hvis man
eksempelvis køber en maskine til 200.000 og regner med, at den er slidt ned efter 10 år mister den
en værdi på 200.000kr./10år = 20.000kr. pr. år (lineær afskrivning).
Hver enkel virksomhed fører et regnskab over omkostninger for bl.a. at kunne få et overblik over
profittens størrelse, hvortil der bruges en række omkostningsfunktioner til at beregne
omkostningerne.
Faste og variable omkostninger
Omkostningsbegrebet omfatter to forhold, faste og variable omkostninger.
Faste omkostninger (kapacitetsomkostninger) varierer ikke med produktion eller salg, hvorimod
variable omkostninger (stykomkostninger) modsat varierer med produktionens størrelse. Faste
omkostninger er eksempelvis husleje, renter af lån, afskrivning på maskiner m.v.
Variable omkostninger er eksempelvis råvareforbrug, materialeforbrug, arbejdsløn m.v.
Matematisk betegnes faste omkostning K
o
(totale faste omkostninger), og variable omkostninger
V(x) (totale variable omkostninger).
Faste omkostninger pr. enhed (k(x)) beregnes således:
k(x) = K
o
/ x
hvor k(x) = totale faste omkostninger (K
o
) pr. enhed (x).
Variable omkostninger pr. enhed (v
o
(x) beregnes således:
v(x) = V(x) / x
hvor v(x) = variable omkostninger (V(x)) pr. enhed (x).
[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
3
Samlede omkostninger
K(x) = de samlede omkostning ved produktion, hvor x betegner enheder af varemængden pr. en
tidsperiode.
De gennemsnitlige omkostninger kan dernæst beregnes pr. produceret enhed over en tidsperiode
ved funktionen:
k(x) = K(x) / x
hvor k(x) = de samlede enhedsomkostninger ved produktion af x enheder pr. tidsperiode.
De variable og faste omkostninger er lig med den totale omkostning K(x), dvs. K(x) = V(x) + K
o
Nedenfor ses en graffisk fremstilling af funktionen, der viser, jo større mængde, jo større
omsætning:
Fig. 1
1
Når en virksomhed kender størrelsen af K(x) og K
o
, men er usikker på V(x), kan de ved hjælp af
ligningen K(x) = V(x) + K
o
finde V(x).
Ved at sætte minus foran K
o
på begge sider af lighedstegnet kommer V(x) til at stå alene, dermed
beregnes den totale variable omsætning således:
K(x) – K
o
= V(x) + K
o
– K
o
V(x) = K(x) – K
o
.
Proportionale, progressive og degressive variable omkostninger
Variable omkostninger kan vokse på tre forskellige måder, proportionalt (konstant), progressivt
(voksende) og degressivt (aftagende).
Hvis en kurve skal være voksende skal følgende gælde.
a. Hvis f ´(x) er positiv for alle x i et interval, så er f(x) voksende i intervallet.
b. Hvis f ´(x) er negativ for alle x i et interval, så er f(x) aftagende i intervallet.
1
Hansen, Mogens Ditlev ”Matematik – Økonomi – Optimering” forlag ABACUS 1. udgave
[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
4
c. Hvis f ´(x) er 0 for alle x i et interval, så er f(x) konstant i intervallet.
Kort sagt f(x) > f(x
0
), dvs. (f(x) – f(x
0
)) / (x-x
0
) > 0
Nedenfor vises en proportional, en progressiv og en degressiv kurve, hvor funktion x
a
er gældende.
Fig. 2
2
Den proportionale kurve antages at være ”hovedreglen”, fordi den er konstant. For en
proportionalkurve en det gældende, at a = 1, altså a vokser procentuelt lige meget med x i dette
tilfælde.
Den progressive kurve vokser mere end den proportionale, fordi a > 1, da den vokser procentuelt
mere end x. Grunden til at den overstiger den konstante kan f.eks. skyldes en overbelastning af
arbejdere og maskiner.
Den degressive kurve er aftagende i forhold til den proportionale kurve. Her gælder, at 0 < a < 1, da
a vokser procentuelt mindre end x, men mere end 0. Her er det f.eks. kvantumsrabatter
(mængderabat) der gør udsvinget degressivt.
Alt dette kunne ses som v(x), hvormed V(x) = a og x = x. Det samme er gældende som i fig. 2.
Gevinstoptimering
En virksomheds daglige variable omkostninger ved produktion af en bestemt vare er givet ved:
V(x) = x
3
– 39x
2
+ 607x, hvor x er mellem 0 og 33
Der er to forskellige metoder til at finde den gevinstoptimale produktions mængde ved brug af en
graf for V(x) eller V´(x).
I bilagets fig. 1 er markedsprisen (B(x)) sat til 247 kr.
Her ses 2 kurver B(x) og V(x), hvor dækningsbidraget aflæses som den afstand fra kurven V til
kurven B. Det ses på figuren, at B(x) er konstant, hvorimod V(x) er svingende. De to punkter, hvor
2
Hansen, Mogens Ditlev ”Matematik – Økonomi – Optimering” forlag ABACUS 1. udgave
[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
5
tangenternes hældning er parallelle, er en geometrisk betegnelse for, at grænseomsætningen er lig
grænseomkostningerne, når x = 5 og x = 20
Dækningsbidraget er lig den lodrette afstand fra kurven V til kurven B. Dermed vil den optimale
produktionsstørrelse være 20 pr. givne tidsperiode.
Ved en anden metode til at finde virksomhedens optimale produktionsstørrelse bruges V´(x) og
markedsprisen B´, samt v(x).
Se bilagets fig. 2.
v(x) er en vigtig faktor at placere i grafen, da v(x) er afgørende til at finde den optimale
produktionsstørrelse.
V ´(x) = 3x
2
– 2*39x + 607.
V´(x) = 3x
2
– 78x + 607.
v(x) = V(x) / x
Man vil kunne komme frem til en overensstemmelse mellem de to grafer ved at sætte
247 = V´(x) og se, hvor V´(x) skærer kurven B´ for at finde D´(x), som er dækningsbidraget.
D´(x) = B´(x) – V´(x).
Når B(x) ændres til B´, er det lig grænseomsætningen, og V´(x) er lig grænseomkostningen.
Man kunne lave en monotonilinje, efter at man har beregnet de 2 skæringspunkter ved at sætte B´ =
V´(x). Derved beregnes værdierne for x:
247 = 3x
2
– 78x + 607
x = 6 og x = 20
Dvs. hvis man ønsker at se en monotonilinje for at finde, hvor den aftager og stiger, kan man tage et
eksempel i intervallet [0;6] [6;20] [20;33].
V´(3) = 3*3
2
– 78*3 + 607 = 400
V´(13) = 3*13
2
– 78*13 + 607 = 100
V´(23) = 3*23
2
– 78*23 + 607 = 400
Se bilagets fig. 3.
Herfra antager man, at D(x) har sit optimale maksimum i enten 0 eller 20, men for v(x) er
markedsprisen større end de variable enhedsomkostninger i intervallet fra ca. 13 til ca. 26, så man
[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
6
antager B´ = v(x), men da der ikke behøves et nøjagtigt tal, kan man nøjes med at aflæse. Derfra
kan man konkludere, at dækningsbidraget/den optimale produktionsmængde har sit maksimum,
hvor x = 20.
Når intervallet er fra 0 til 33, kan produktionen ikke være mindre end 0, og da den overstiger 33, er
der ikke nogen grund til at gøre intervallet større, da den fortsat er stigende i n’te.
Resultatet heraf er afhængigt af afsætningsfunktionen.
Hvis produktionen er optimal skal følgende gælde:
salgspris > enhedsomkostninger og grænseomsætning > grænseomkostning
En god strategi er, når det gælder den optimale produktion, at salgspris > enhedsomkostninger, og
så længe grænseomsætningen er større eller lig med grænseomkostningerne, bør man udvide
produktionen
Pris/afsætningsfunktion
En virksomhed har fundet frem til følgende pris/afsætningsfunktion pr. dag:
G(x) = -7x + 427
Se bilagets fig. 4.
Ovenstående funktion er en aftagende lineær funktion (-ax + b), fordi a er negativ og x er den
variable.
Funktionen er aftagende, fordi x
1
> x
2
samt G(x
1
) > G(x
2
) dvs. y-værdien er størst for den mindste
x-værdi.
Med denne ligning gælder det om for virksomheden at finde det punkt, hvor dækningsbidraget er
størst, eller sagt med andre ord varens gevinstoptimale pris. Alt handler om gevinstoptimeringen.
Ved brug af, at ligningen dækningsbidraget (D(x)) = bruttoomsætning (B(x)) – totale variable
omkostninger (V(x)), kan virksomhedens revisorer, hvis de er dygtige, skabe en konkurrencefordel
for virksomheden, hvis revisorerne kan hjælpe til at fastholde den gevinstoptimale produktion.
Se bilagets fig. 5.
Her ses en grafisk fremstilling af afsætningsfunktionen, hvor man kan aflæse den optimale
produktion og tilhørende pris. Dernæst kan man bekræfte den optimale produktion og tilhørende
pris ved at beregne skæringspunktet x og derefter finde prisen.
-7 + 427 = 3x^2 – 78x + 607
x = 2,89 og x = 20,78
[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
7
x = 2,89 kan ikke bruges, da enhedsomkostningerne er dyrere end prisen, derfor må det være
produktionsstørrelsen 20,78. Den optimale pris findes ved at sætte 20,78 ind på x’s plads i
afsætningsfunktionen, der ser således ud:
-7 * 20,78 + 427 = 281,5
Ud fra dette kan man konkludere, at den optimale pris vil være 281,50 kr. ud fra de givne
funktioner.
Dette er strategisk afgørende for virksomheden, om hvilken konkurrencestrategi, den skal anvende.
Virksomheden kan heraf afgøre, om det er den optimale produktions størrelse eller pris, den vil
konkurrere om.
Strategi
Konkurrencemæssige fordel
Marked
Fig. 6
3
Omkostningslederen vil være virksomheden, inden for en bestemt branche, der producere og sælger
mest til lave omkostninger, da den virksomhed kan være den potentiale markedsleder.
Omkostningslederen har man en konkurrencemæssig fordel, fordi den har en stor markedsandel, og
er eksempelvis initiativtageren til priskrig.
Derimod producere omkostningsfokus til en lille del af markedet med lave omkostninger, således
lavere profit. Det kan også være til en bestemt målgruppe inden for branchen.
Differentiering går ud på, at virksomheden har stor andel af totalmarkedet og producere og sælger
et unikt produkt, der adskiller sig fra konkurrenters på flere punkter.
Fokuseret differentiering går ud på at sælge til en lille del af markedet med et unikt produkt, der
adskiller sig fra de andre på flere punkter.
Markedsudfordreren med et direkte angreb er et eksempel på en virksomhed, der har minimaliseret
deres omkostninger, så de kan komme ind på markedet med lavere priser end nuværende
konkurrenter i branchen. Variable omkostninger har en væsentlig rolle da den variable omkostning
er den letteste at reducere.
Aalborg DH i kamp for bundlinjen
I Børsen den 8. februar 2010 har jeg læst ovenstående artikel, fordi den er relevant for emnet, da
den omhandler en konkurstruet virksomhed, som skal reducere deres omkostningerne for at
overleve. Aalborg damehåndbold har fået nye engagerede ejere, som vil få håndboldklubben tilbage
på sporet.
3
Adapteret fra Michael Porter: The Competitive Advantage of Nations, MacMillan, 1990.
Strategi
Lave omkostninger
Unikt produkt
Stor andel af totalmarkedet
Omkostningsleder
Differentiering
Lille andel af totalmarkedet
Omkostningsfokus
Fokuseretdifferentiering
[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
8
Aalborg DH’s strategi:
- Nøje gennemgang af omkostninger
- Nedskæring på lønnen
- Kapitalindsprøjtning
- Sænke billetpriser
- Sponsoratbesparelse
- Attraktivt Nordjylland
En nøje gennemgang af samtlige omkostninger er gennemført, dog er de kommet frem til at 80% af
omkostningerne er faste og kun 20% variable. Aalborg DH har ikke mange variable omkostninger
at gøre godt med, men løn til medarbejderne og spillerne indgår. Derfor vil klubben midlertidigt
skære ned på disse lønninger, for at spare hvor der nu engang kan spares.
Kapitalindsprøjtning er en start på en løsning af problemet, og klubben håber på minimum to
millioner kroner. Den vil opnå beløbet ved en igangværende aktieemission, hvor hver aktie koster
1.000 kr. En sænket billetpris vil være med til at fastholde tilskuerne og endda øge antallet på
længere sigt. Senere vil kan prisen hæves, når der bliver udsolgt. Derudover vil klubben forsøge at
tiltrække masser nye unge danske spillere. Sponsoratbesparelse ved brug af LED-bander gør det
muligt at sænke prisen på sponsorater og hermed spare en tredjedel på de faste omkostninger.
Klubbens forholdsvis langsigtede plan er at gøre Aalborg/Nordjylland til et attraktivt sted for
eliteidrætten. Landsdelen er interesseret i sporten og vil gøre en indsats for den.
Samlet vurdering. Klubben har gjort det rigtige og reducere budgettet, hvor det har været muligt.
Klubben har forhandlet sig til et minimalt budget. Den har beholdt tilskuerne. Og håndbold livet
holdes i gang.
Konklusion
Ud fra fremstillingen kan man konkludere, at variable omkostninger er de letteste at regulere, hvis
virksomheden skal spare på budgettet. Der findes proportionale, progressive og degressive former
for variable, heriblandt er den degressive variable bedst for virksomheden, da omkostninger er
lavere pr. enhed pga. mængderabatter. Gevinstmaksimering bruges sammen med en række
funktioner til at finde den optimale produktions mængde, som vist i fig. 1 eller 2. Afsætningsprisen
aflæses der, hvor den skær V´(x). Når grænseomsætning er lig med eller større end
grænseomkostning, får virksomheden en strategisk fordel, da de har mulighed for at øge produktion
og dermed få større andel af markedet. Revisorerne har også en væsentlig rolle i virksomheden,
fordi gode revisorer kan hjælpe til at finde den gevinstoptimale produktion og dermed den bedste
gevinst.
___________________________________________________
[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
9
Bilag
Fig. 1
Fig. 2
[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
10
Fig. 3
Fig. 4
[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
11
Fig. 5
[navn fjernet] 2s SRO 11/02-2010
12
Litteraturliste
Hansen, Mogens Ditlev (1987): Matematik – Økonomi – Optimering. Forlaget ABACUS
1. udgave.
Severinsen, Malene (2010): Aalborg DH i kamp for bundlinjen. Børsen, den 8. februar 2010,
s. 12-13
Det virksomhedsøkonomiske område i grundforløbet. Forlaget Trojka, 1. udgave