Side 2 af 25
Abstract
This scientific assignment deals with GPS navigation and its principles, where Albert Einstein's theory
of relativity is included. The assignment tells about the basic principles behind the GPS navigation,
how the GPS system works overall, but also with the physical and mathematical considerations. In
addition the assignment also tells about navigation methods before GPS navigation, as an intro. Be-
sides that, it is also described how the theory of relativity has a huge influence on positioning. It is
describes how the atmosphere affects and how the clock has an influence. There will be calculations
which show how great a distance error one would encounter if you didn’t consider the psychical, but
also the mathematical principles behind the GPS, although the satellites aren’t moving with high
speed or high accelerations. Possibilities of application are also described; this deals with peaceful and
non-peaceful uses, including both military and civilian use.
Side 3 af 25
Studieretningsprojektet – 2010
Opgaveformulering
Cpr.nr:
Klasse:
Opgaveformulering udleveres
Afleveringsfrist projekt:
Fag 1: Fysik A
Vejleder:
Fag 2: Matematik A
Vejleder:
Område/tema: GPS-navigation
Opgaveformulering:
1.: Gennemgå et par navigationsmetoder, og beskrive specielt GPS-navigation
2.:Forklar ved hjælp af matematiske betragtninger, hvorfor der skal mindst 3 og
i praksis netop 4 satellitter til et velfungerende navigationssystem
3.:Forklar hvorfor relativistiske effekter er afgørende på trods af, at der hverken
er tale om specielt store farter eller store accelerationer i forbindelse med
satellitternes bevægelse.
4.:Beregn hvor store fejl GPS-systemet ville give, hvis der ikke blev taget højde
for specielle- og almen-relativistiske effekter.
5.:Redegør for fredelige og mindre fredelige anvendelsesmuligheder med GPS-
navigation.
Bilag:
Vejlederne vil have træffetid til at besvare mail eller vil kunne kontaktes i GA128 på følgende tidspunkter:
Uge 50
Uge 51
Torsdag
Fredag
Mandag
Tirsdag
Onsdag
11-12
10-11
Side 4 af 25
INDHOLDSFORTEGNELSE
INDLEDNING 1
NAVIGATIONSMETODER OG GPS NAVIGATION 2
SEKSTANTEN 2
GPS -GLOBAL POSITIONING SYSTEM 3
OPBYGNING AF GPS OG SATELLITTERNES FUNKTION 4
KONTROLSTATIONER 5
SIGNALSTRUKTUREN 6
SIGNALFORRINGELSE 6
PRÆCISION OG NØJAGTIGHED 7
PSEUDOAFSTANDE 7
POSITIONERING 9
ATMOSFÆRISKE FORSTYRRELSER 11
PÅVIRKNINGEN AF RELATIVISTISKE EFFEKTER VED GPS MÅLING 13
DEN SPECIELLE RELATIVITETSTEORI 13
TIDSFORLÆNGELSE 13
LÆNGEFORKORTELSE 15
RELATIVITETSTEORIENS TIDSFORLÆNGENDE EFFEKT 15
SAGNAC EFFEKT 16
GENERAL RELATIVITET 17
RESULTAT 18
ANVENDELSESMULIGHEDER FREDELIGE OG UFREDELIGE MED GPS 18
KONKLUSION 20
LITTERATURLISTE 21
WORLD WIDE WEB 21
BØGER SAMT PDF FILER FRA VIDENSKABELIGE INSTITUTTER. 21
Bilag A og B medfølger denne SRP om GPS Navigation (fra side 22)
Studieretningsprojekt: GPS-Navigation
Fag: Fysik A & Matematik A
Side Indledning1 af 20
INDLEDNING
Mange har hørt om Global Positioning System navigation(GPS navigation), men der er ikke mange
individer der tænker over, hvordan GPS navigation navigerer fra, punkt A til punkt B. GPS navigation
bruges i mange sammenhænge lige fra fredelige til mindre fredelige formål. Herunder kan et
eksempel være at man bruger GPS navigation til at finde en rumsondes koordinater ude i rummet,
eller at man holder styr på flytrafikken i flere tusinde kilometers højde. GPS navigation kan dog også
bruges til ufredelige formål som sporing af bestemte personer.
I denne opgave vil jeg beskrive, ud fra den problemformulering jeg har fået, følgende punkter.
1. En introduktion af GPS navigation samt andre navigationsmetoder, herunder vil jeg blandt
andet komme ind på GPS princip, satellitter samt funktion.
2. Forklaring og grundviden omkring, hvorfor der mindst skal være 3, men i praksis 4 satellitter til
et velfungerende navigationssystem. Herunder en naturvidenskabelig forklaring.
3. Forklaring af nødvendigheden ved relativitetsteorien, herunder også den specielle, trods der
hverken er tale om store farter eller store accelerationer i forbindelse med satellitternes
bevægelse. Beregning af fejl som GPS systemet vil få, hvis man ikke tager højde for
relativitetsteoriens specielle samt almene effekter.
4. Her vil jeg redegøre anvendelsesmulighederne af GPS navigation, herunder fredelige samt
ufredelige.
Grundlaget for valget af denne disposition, er fordi jeg vil introducere opgaven om GPS navigation
samt andre former for navigation, før jeg går i dybden med mit valgte emne. Jeg vil komme ind på,
hvordan GPS navigation fungerer, hvordan GPS har relation til relativitetsteorien, som blandt andet er
udledt af Albert Einstein, satellitterne samt funktion. Jeg vil forklare, hvordan matematikken har
indflydelse på GPS navigation. Inspirationen til dette studieretningsprojekt stammer fra den
teknologiske tankegang, som vi endnu er i gang, som omhandler, hvordan en GPS kan have så stor
indflydelse på vores hverdag. Jeg har også undret mig over om GPS egentlig kun bruges til navigation
eller om den også bruges til andre formål? Denne studieretningsopgave er skrevet i matematik A og
fysik A, hvor fysik A er hovedfaget. Disse to fag kan ikke kombineres, da matematikken bruges til at
beskrive fysikken, altså at matematikken er et redskab til at beskrive fysikken. Rapportens længde er
på 15,96 normalsider.
Side 2 af 25
NAVIGATIONSMETODER OG GPS NAVIGATION
Befolkningen på jorden har brugt utallige metoder til at navigere
1
fra punkt A til punkt B, om det bare
var en lille 3 kilometers vej eller om det var 40 mils søvej. Hvis vi går tilbage i tiden, så har folk brugt
stjernerne og himlen som navigation fra et punkt til et andet, men også andre navigationsmetoder,
som kompas, sekstanten, radionavigation og ikke mindst GPS navigation. Under dette afsnit vil jeg
forklare om princippet bag sekstanten samt beskrive GPS navigation. Grundlaget for jeg har valgt
sekstanten er, at det var et meget avanceret navigationsværktøj, som man brugte meget i 1700 tallet.
SEKSTANTEN
Princippet med sekstanten havde man allerede udviklet i 1500-tallet til astronomisk brug (dog uden
teleskop og spejle(Den trehjørnede astronomiske Sekstant
2
til Bestemmelse af Distancer
3
)). Den
nautiske sekstant, som var det navigationsmiddel man brugte, blev videreudviklet fra oktanten
4
, som
blev taget i brug omkring år 1769. Det menes, at det var englænderen John Hardley, som opfandt
instrumentet i 1731(oktanten
5
), men som senere blev udviklet til sekstanten. Instrumentet bruges til
forskellige ting som breddegrader eller position. Instrumentet måler vinklen mellem solen og
horisonten, når solen står højest, og derved kan sekstanten angive, hvor man befinder sig. En
sekstant
6
er opbygget med en vinkelmåler med vinklen 0
0
-120
0
og et lille hjul man kan justere på.
Dette lille hjul angiver antal minutter samt sekunder. Sekstanten er desuden opbygget med to spejle
med nogle filtre så solens stråler ikke ødelægger øjet. Man indstiller sekstanten så man i venstre spejl
kan se horisontlinjen, og derefter justerer man på minut og sekund hjulet og vinkelmåleren, så solens
underkant er lige over horisontlinjen. Ved hjælp af minut og sekund hjulet kan man se, hvor man
befinder sig ved breddegraden. Det eneste man nu mangler, er sin position i forhold til
længdegraderne, og dette gøres ved hjælp af, at man ved nogle beregninger fra sine målinger med
sekstanten kan regne sin position i længdegraden, men som det sidste er det også nødvendigt med et
opslag, som findes i en nautisk almanak
7
. Nautiske almanakker er tabeller over nogle udregninger som
astronomer har udregnet. Dette indebærer udregningen af astronomiske stedlinjer anvendte
himmellegemers deklination, timevinkel og op- og nedgangstider givet for hver time i året
8
.
1
http://da.wikipedia.org/wiki/Navigation
2
http://da.wikipedia.org/wiki/Sekstant
3
http://www.cozmo.dk/bio/brahe/instrumenter.html
4
http://da.wikipedia.org/wiki/Oktant
5
http://en.wikipedia.org/wiki/Sextant
6
http://galathea3.emu.dk/tvaerfagligt/sekstant.html
7
http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./S%C3%B8fart/Navigation/nautiske_almanakker
8
direkte fra http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./S%C3%B8fart/Navigation/nautiske_almanakker
Side 3 af 25
Almanakkerne indeholder blandt andet også stjernekort, oplysninger om måne og solformørkelse,
men også oplysninger om planetens stilling samt månens.
GPS -GLOBAL POSITIONING SYSTEM
For at gå i dybden med GPS-navigation skal vi have en grundviden. Jeg vil i følgende afsnit beskrive,
hvordan en GPS fungerer, det vil sige opbygningen af GPS. Jeg vil komme ind på satellitterne, der
kredser rundt om vores planet, kontrolstationerne, signal strukturen og signalforringelse.
GPS standarden blev udviklet af det amerikanske forsvarsministerium. NAVSTAR Global Positioning
System, som det hed dengang, blev officielt taget i brug i 1973. Det amerikanske forsvarsministerium
ville bruge GPS til militære formål, men som vi ved i dag, så blev deres projekt åbnet op, så almene
borgere kunne bruge det. Da GPS systemet blev færdigudviklet d. 8. december 1993 blev det lanceret
til offentligheden, så private samt kommercielle virksomheder kunne have gavn af dette projekt.
Amerika brugte stadig GPS systemet til militær forbrug.
GPS navigation bruges til mange ting, hvor nogle bruger det til rutevejledning når man kommer til et
fremmed land, eller andre prøver at finde den korteste rute fra A til B, men det man ikke tænker over
er, at rigtig mange moderne elektroniske apparater egentlig er udstyret med GPS modtager. Men ikke
kun det bruger man GPS navigation til. En ny måde at mindske tyveri på, er ved at placere en GPS
modtager i for eksempel et tv. Nogle virksomheder bruger det også som en sikkerhedsforanstaltning.
Et eksempel kan være Dansk værdihåndtering, der har GPS antenner i deres varevogne, så man fra
centralen kan se, hvor den specifikke bil er henne. Alt dette vil jeg komme meget mere ind på senere
henne i denne opgave.
GPS systemet er det amerikanske navigationssystem, men også nationer er i gang med at udvikle
deres eget navigeringssystem med deres egne satellitter. Under dette kan nævnes vores eget EU
projekt kaldet Galileo
9
eller Ruslands projekt kaldet GLONASS
10
. Disse to navigationssystemer er dem,
der er mest fremtræden verden over med hensyn til kommende navigationssystemer. Dog findes der
også andre projekter som er i gang hos andre nationer, her i blandt kan Kina(COMPASS
11
),
Indien(IRNSS
12
) og Japan(QXZZ
13
) nævnes.
9
http://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_%28satellite_navigation%29
10
http://en.wikipedia.org/wiki/GLONASS
11
http://en.wikipedia.org/wiki/COMPASS_navigation_system
12
http://en.wikipedia.org/wiki/IRNSS
13
http://en.wikipedia.org/wiki/QZSS
Side 4 af 25
OPBYGNING AF GPS OG SATELLITTERNES FUNKTION
Da man lancerede NAVSTAR GPS
14
, som senere hen blev til det vi kalder GPS, så havde man
dimensioneret systemet til 24 satellitter, men i 2002 besluttede det
amerikanske forsvar at få yderligere 4 satellitter ind i deres GPS
system, så der var 28 satellitter i alt, så der altid ville være 24 aktive
satellitter(en illustration til højre viser hvordan satellitterne
15
kredser
om jorden). Grunden var, at hvis nogle satellitter skulle vise sig at gå
ned eller fejl estimere en afstand, så har man altid de resterende
satellitter til at være en slags ”back up”. Satellitterne bevæger sig rundt
om jorden, og de befinder sig på en højde på 20.200 km over jordens
overflade. En satellits omløbstid er 12 timer regnet i stjernetid.
Stjernedøgn er det der svare til 23 timer og 56 min., altså 4 minutter
kortere end et døgn målt på jorden. Hver satellit er udstyret med
såkaldte atomure, hvilket er meget præcise ure. Der er 4 atomure, hvor
to af atomurene er udstyret med stoffet cæsium
16
, og de andre to
atomure er udstyret med stoffet rubidium
17
. Som vi ved er 1 sekund
defineret ved 70 periodetider af den stråling der svarer til
skiftet mellem to energiniveauer i elektronernes spin i et cæsium-133-
atom
18
. Denne præcision er vigtig for satellitterne, hvilket
jeg kommer ind på længere henne. Den største forskel på
cæsium og rubidium er, at cæsium har en større stabilitet
i lange tidsintervaller, mens rubidium har større stabilitet
i kortere tidsintervaller i forhold til cæsium, derfor bruger
man to forskellige stoffer. Der findes et mere stabilt stof
til atomure, som hedder hydrogen-maser, men det er 5
gange så dyrt i forhold til de to fornævnte stoffer.
Hydrogen-maser giver en fejl på
12
0,5 10 s/s pr. sekund
.
14
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 27-29.
15
http://www.emu.dk/gym/fag/ge/Eksperiment/GISogkort/gps.html
16
http://da.wikipedia.org/wiki/C%C3%A6sium
17
http://da.wikipedia.org/wiki/Rubidium
18
http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_clock
Figur 1.
15
Her ses en illustration
bestående af satellitter i
kredsløb om jorden, de befinder
sig i 20.200 kilometers højde.
Disse satellitter kredser i 6
forskellige kredsløbsbaner.
Satellitterne følger en bestemt
rute, så uanset hvor man
befinder sig på jorden vil man
mindst kunne modtage 4
satellitters signal.
Figur 2.
Præcision og stabiliteten af de forskellige
stoffer. Som man kan se er rubidium meget
præcis i de små intervaller mens cæsium er
mere præcis i de højere intervaller.
Side 5 af 25
Se figur 2 for mere information om stabiliteten
19
for de forskellige stoffer i et atomur. Grunden til, at
man bruger 4 atomure i stedet for 2 er på grund af stabiliteten, da man vil undgå et svigt. En satellit
har to solcelleplader, hvorpå solens stråler kan ramme solcellepladen, som kan omdannes til energi,
så satellitten kan sende og modtage signal fra et GPS apparat. En satellit er i sig selv billig i drift mht.
energi, men når satellitten først selv skal bruge kræfter på at flytte sig til en bestemt position, evt.
ændring af omløbsbane, så skal satellitten bruge energi, som den har lageret vha. solcelle pladerne.
Denne afgørelse om flytning af en satellit tages af det amerikanske forsvarsministerium
20
.
KONTROLSTATIONER
For at vedligeholde GPS nøjagtigheden er det
nødvendigt med vedligeholdelse, dette
indebærer i, at der er 5 kontrolstationer
21
, der
sørger for at vedligeholde satellitterne. De
røde prikker, der kan ses på figur 3
22
viser
kontrolstationerne. Hovedkontrolstationen
ligger ved Colorado Springs, mens de
resterende er spredt rundt i verdenen. De
lyserøde prikker er kommende stationer. Det
kontrolcentrene har til formål er at modtage
de kontinuerlige signaler fra satellitter og
beregne afstanden til dem. De beregnede
data sendes til hovedstationen, hvor der
kontrolleres om satellitten har nogle fejl samt
om satellitten holder sin baneposition. Disse fejl kaldes efenerider. Når fejlene er rettet, sendes data
fra kontrolstationen til de enkelte satellitter, og derved rettes fejlene.
19
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 37 tabel 4.1
20
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 29-30.
21
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 29-30.
22
http://www.kowoma.de/en/gps/control_segment.htm
Figur 3.
5 hovedstationer er placeret spredt på jorden. De 5
kontrolstationer har til formål at præcisere
satellitterne. De ligger hhv. på Hawaii, Kwajalein,
Diego Garcia, Ascension Islands og Colorado
Springs. De lyserøde prikker er kommende
kontrolstationer.
Side 6 af 25
SIGNALSTRUKTUREN
Satellitterne udsender to slags bærebølger kaldet L1 og L2, som er højfrekvente. Disse bærebølger har
en grundlæggende frekvens, desuden har de to koder en C/A-koden (coarse/acquisition) på 1,023MHz
samt P-koden (precise) på 10,23 MHz. Koderne er dannet ud fra den grundlæggende frekvens på
10,23 MHz men ganget med hhv. 0,1 og 1,0. C/A-kodens resulterende frekvens er således
0,1 10,23MHz 1,023MHz
,
mens P-koden er dannet ved
1,0 10,23MHz 10,23MHz
. Koden bæres af
bølgelængdens frekvenser, da satellitternes signaler, som modtager lave frekvenser, bliver meget
mere påvirket end, hvis de modtog med høje frekvenser. De lave frekvenser gør signalerne mere
følsomme, og dette vil skabe problemer med navigationsapparaternes nøjagtighed. Koderne benyttes
til kodemåling. L2 bærebølgen bærer kun P-koden, mens L1-bærebølgen både indeholder C/A koden
samt P-koden. Hver enkelte satellit bærer en variation af C/A koden, denne variation er bestemt ved
et matematisk udtryk. Deraf kan man blandt andet bestemme hvilken satellit signalet stammer fra.
Længden af C/A koden er
61
0,001s 1,023 10 s 293m 300km
, de 293m er bølgelænden på C/A
koden, samt at 0,001s er længden af koden. Længden af P-koden er
6 1 11
ts
7dg ,23 10 s 29,3m 1,8 10 km
dg dg
.
ts
7dg 24 3600
dg dg
svarer til 266 dage, hvilket er
længden af koden og 29,3 er bølgelængden på P-koden.
SIGNALFORRINGELSE
Når GPS anvendes så er det bevidst, at civile brugere har et svagere signal end militæret, der har en
meget præcis måling. Anvendelse af GPS navigation er opdelt i to autorisationsgrupper
23
. SPS står for
standard positioning service og PPS står for precise positioning service. Forskellen på disse to grupper
er, at den ene SPS er for civile brugere, den er som regel mindre præcis med et spænd på 2m-40m,
mens PPS kan præciseres med en nøjagtighed på under 2cm. Af sikkerhedsmæssige oversager, så har
det amerikanske forsvarsministerium valgt at kryptere PPS med P-koden. Forskellen ligger i at P-
koden har ti gange højere opløsning end C/A-koden, hvilket der allerede heri ligger en forringelse på
C/A koden. Kryptering af P-koden kaldes Antospoofing(AS)
24
. AS bygger på en matematisk algoritme,
som omformer P-koden til en såkaldt Y-kode. Denne algoritme har civile borgere ikke adgang til, og
derfor kan jeg ikke komme nærmere ind på dette. Y-koden kan ikke måles ved pseudoafstande, da
23
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 34-35.
24
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 35
Side 7 af 25
koden er krypteret, medmindre modtageren kan genere en kopi af den krypterede kode(hvilket kun
det amerikanske forsvarsministerium kan). C/A koden har også haft en kryptering på, så GPS
apparatet lavede ”fejl” med vilje, men den 2. maj år 2000 valgte man at fjerne denne kryptering, da
GPS apparaterne var alt for upræcise, dette medførte til at nøjagtigheden på GPS modulerne blev ti
fordoblet. Det amerikanske forsvarsministerium kan til hver en tid tilføje krypteringer, så der sker en
forringelse i GPS systemet for eksempel i situationer som krig. Men kun krigsområdet bliver unøjagtig,
så almene borgere i andre områder fortsat kan bruge GPS modulet.
PRÆCISION OG NØJAGTIGHED
I dette afsnit vil jeg komme ind på dele af matematikken bag GPS systemet. Blandt andet hvorfor der
skal 3 men i praksis 4 satellitter til et velfungerende navigationssystem.
PSEUDOAFSTANDE
P-koden som vi har læst om tidligere er forbeholdt det amerikanske forsvar, hvilket gør at jeg ikke kan
beskrive noget om den med hensyn til
pseudoafstande. Til gengæld har vi vores
C/A kode som sendes ved hjælp fra en
satellit, hvor modtageren generer en kopi,
som er helt unik for den enkelte satellit. Når
koden modtages fra satellitten, så forskydes
koden med tid, indtil der er maksimal
overensstemmelse med den af modtageren
genererede kode. Målingen forgår ved, at
C/A koden omdannes til tid
25
og registreres,
dette sker hvert millisekund, så det vi
egentlig måler er et millisekund eller omsat
til afstand, en brøkdel af C/A-kodens længde på ca. de 300km. Vi ved, at satellitterne befinder sig i
20.200km’s højde, men vi ved ikke, hvor mange C/A-kode længder vi skal bruge. Vi formår dog
alligevel at måle med stor præcision, da vores ukendte længde kan løses ved hjælp af foreløbige
koordinater. På figur 4 er der illustreret en pseudoafstand mellem en satellit og en modtager. n
betegner antal af hele kodelængder, hvor L betegner kodelængden.
k
T dT
er den målte forskydning.
25
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 51.
figur 4.
25
Pseudoafstanden mellem satellit P og modtager k
Side 8 af 25
c er signalets udbredelseshastighed, hvilket svarer til lysets fart i vakuum. Pseudoafstanden kan nu
beregnes således
p
k
k
n L T dT c
r
. Hvis vi nu skal finde ud af den geometriske afstand mellem
satellit og modtager, så har vi et matematisk udtryk som ser således ud
2
22
p
p
PP
X X Y Y Z Z
p
k
k k k
, denne formel kender vi fra vektor i rum, forskellen er bare at denne
formel har 3 ubekendte. De ubekendte led er
X ,Y ,Z
k k k
,
mens de kendte led er
p
PP
X ,Y ,Z
(da det er
GPS modulets koordinater), nu har vi den geometriske afstand og derved kan vi finde ud af, hvad
pseudoafstanden er. Men! vi skal huske at tilføje ledet
k
dT
, som er ur fejlen i GPS modtageren, ganget
med c. Vi kun nu beskrive pseudoafstanden til
p
p
kk
k
p dT c
r
. Det er nu her vi får forklaringen om
hvorfor vi netop skal bruge 4 satellitter, hvis vi skal have højst præcision og ikke kun 3 satellitter. Hvis
vi udvider
p
k
p
, så udtrykket til
p
k
2
22
p
PP
X X Y Y Z Z
k k k
p
og det vil sige, at pseudoafstandens
formel vil se således ud
p
k
k
2
22
p
PP
X X Y Y Z Z dT c
k k k
r
. Vi har nu 4 ubekendte nemlig,
X ,Y ,Z
k k k
og
k
dT
. Mens vi kender
p
PP
X ,Y ,Z
samt c. Derfor er det nødvendigt med 4 satellitter og ikke 3,
for at få en præcis navigation. Hvis vi kun brugte 3 satellitter ville vi ikke have ur fejlen fra GPS
modtageren med, og dette ville være et problem, da GPS modtageren normalt har et Quartz ur, som
ikke er lige så præcist som et atomur, som findes i satellitterne, og derved ville der være en tidsforskel
mellem signalets sender og modtager.
Her har jeg beskrevet den ene faktor for, at GPS navigation kan gøres muligt ved hjælp af matematik.
Jeg vil komme ind på endnu en faktor, der har med matematikken at gøre, nemlig positionering med
GPS. Det er også i det kommende afsnit, der fortælles, hvorfor der i princippet kun er brug for 3
satellitter men ikke 4, men af præcisions grunde er det nødvendigt med 4.
Side 9 af 25
POSITIONERING
Når et GPS apparat skal finde sin egen position gøres dette ved hjælp af komplekse algoritmer, og
derved undgår GPS modulet at have større væsentlige fejlkilder og har nemmere ved at finde sin egen
position. I dette afsnit vil jeg gennemgå princippet, da
selve beregningerne er meget komplekse. I dette princip
lader vi som om, at tiden mellem det præcise atomur og
det upræcise Quartz ur i GPS modtageren er total
synkroniseret (selvom dette ikke ville lade sig kunne gøre)
så den egentlige ur fejl er en faktor vi ikke kigger nærmere
på. Som nævnt tidligere så vil GPS modulet kunne
beregne afstanden mellem modtager og afsender af
signalet. Denne afstand/signal kalder vi
1
r
26
. En satellits
signal sendes ud i alle retninger, det vil sige at der vil
dannes en cirkel rundt om midtpunktet
P1
(satellitten),
hvor
1
r
er radien. Vi ved at afstanden fra
P1
til GPS
modulet er
1
r
. Det samme gælder de to andre satellitter
hhv.
P2
og
P3
, hvor henholdsvis
2
r
og
3
r
er radien. Da
GPS modulet befinder sig på et bestemt punkt på overfladen, hvor alle tre kugler skærer hinanden,
som ses på figur 5, må man befinde sig på et fælles skæringspunkt for alle tre kugler, det vil sige et
punkt hvor alle tre kugler skærer hinanden i samme punktkoordinat. Vi har nu ud fra dette 3 ligninger
med 3 ubekendte, og det er ikke bare lige at finde ud af, hvad der er hvad. Vi har dog en metode
kaldet trilateration
27
. Metoden fungerer således, at de tre punkter i rummet ligger i et plan, og derfor
gøre det muligt for os at bestemme vores koordinatsystem, og derefter kan man altid placere
centrum af cirklerne i det 2 dimensionale plan, altså xy-planet, hvor den ene cirklens centrum ligger i
origo. Dette kan ses på figur 5. Ligningerne til de tre kugler vil således være
2 2 2 2
1
1 r x y z
2 2 2 2
3
3 r (x i) (y j) z
For at finde x koordinatet trækker jeg nu ligning 2 fra 1.
26
Kilde: http://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration & The Mathematics of GPS af Richard B. Langlay, s. 2
27
http://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration
figur 5.
26
2 2 2 2
2
2 r (x d) y z
Side 10 af 25
12
2 2 2
12
2 2 2
12
x 2 1
r r x y z ((x d) y z )
r r 2dx d
r r d
x
2d
Nu siger metoden at jeg skal trække ligning 3 fra 1, for at finde y koordinatet.
13
2 2 2 2
13
2 2 2 2
13
1 3 1 3
2 2 2 2 2 2 2
1 3 1 2
y 3 1
r r x y z ((x i) (y j) z )
r r 2x i i 2y j j
r r 2 x i i j 2 y j
r r 2 x i i j r r i j x i
y
2 j 2 j j
r r i j i (r r d )
y
2 j 2 j d
Nu mangler jeg at isolere Z
28
, dette gør jeg ud fra den første ligning:
2 2 2 2
1
r x y z
2 2 2
1
22
2 2
2
1 2 1 3 1 2
1
22
2 2
2
1 2 1 3 1 2
1
z r x y
r r d r r i j i(r r d )
zr
2d 2j 2jd
r r d r r i j i(r r d )
zr
2d 2j 2jd
Ud fra dette kan vi således se, at vi får to koordinatsæt(da z giver to resultater), hvor det der ligger
tættest på jorden er det rigtige koordinat. Ved denne metode antog vi, at tiden mellem GPS modulet
og satellitten var synkroniseret, men da dette ikke er tilfældet i virkeligheden bruger man 4 satellitter,
og får dermed urfejlen som den sidste ubekendt med. Dette er det grundlæggende princip mht.
matematikken bag positionering.
28
CAS samt http://www.wolframalpha.com/, er brugt til udregninger og udledninger.
Side 11 af 25
ATMOSFÆRISKE FORSTYRRELSER
I de forrige afsnit har vi beskrevet om de matematiske betragtninger for, at GPS systemet fungere
optimalt med præcisionen og nøjagtigheden, men der også nogle fysiske betragtninger, som man skal
have styr på. Dette indebærer troposfæren og ionosfæren. Figur 6
29
viser jorden og den GPS
påvirkelige atmosfære. Ionosfæren er den atmosfære, der befinder sig 50-60 km fra jordens overflade
og op til ca. 1500 km’s, hvor magnetosfæren ligger. Atmosfæren hedder ionosfære, fordi den
ultraviolette stråling fra solen skaber en ionisering af atomerne, så størstedel af atomerne bliver
spaltet i ioner og elektroner. Densiteten af de spaltede atomer (ioner og elektroner) varierer efter
årstid, tidspunkt og solpletaktiviteten
30
over en årrække, derfor er der mange faktorer der spiller ind.
De frie elektroner, der befinder sig i ionosfæren påvirker radiobølgens udbredelse med en faktor, der
svarer til omvendt proportional med kvadratet på frekvensen
31
. Når vi beskriver om
udbredelseshastighed af signaler taler man om to forskellige hastigheder. Fasehastigheden er den
man normalt tænker på som er lig med bølgelængden
ganget med frekvensen
f
,
hvorimod
gruppehastigheden er om de overlejrede informationer, for eksempel vores P-kode eller C/A-kode,
hastighedsudbredelse. Begge
hastigheder påvirkes lige meget,
men med modsat fortegn
forskellen er, at fasehastigheden
forøges – altså koden
formindskes og fasen
fremskyndes, mens
gruppehastigheden nedsættes
32
.
Ionosfærefejlen, som vi antager
som
ion
d
. Ionosfærefejlen kan
måles som afstanden mellem et
GPS modul og en satellit. Dette
kan angives som
ion e
2
40,3
dN
f
,
29
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 39
30
http://www.gpsnet.dk/showcontent.php?nID=385&showSingle=1
31
sætning med kursiv direkte fra GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 39
32
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 39
Figur 6
29
Side 12 af 25
hvor f som tidligere nævn er frekvensen på radiobølgen og
e
N
er elektrodensiteten, der er langs
signalvejen. Elektrodensiteten angives i TEC
33
værdi. Enheden hedder TECU, som svarer til
16
10
elektroner pr. kvadratmeter. Siden elektrodensiteten er variabel, kan der forekomme fejlbidrag på 5-
20m. Faktorer der har indflydelse på dette kan være solpletaktiviteten, der ændrer sig med en
bølgelængde på 11 år. Jo højere solpletaktiviteten er jo højere er den ultraviolette stråling.
Ionosfæreforsinkelsen, som er omvendt proportional med kvadratet på frekvensen kender vi til nu,
men måler man vha. P-koden på de fornævnte bærebølger L1 og L2, så kan man desuden omregne
forsinkelsen til en afstandskorrektion som vi benævner som
d
. Formlen er således
2
L2
L1 L1 L2
22
L2 L1
f
d r r
ff
, hvor
L1
d
er afstandskorrektion på bærebølgen L2.
L1 L2
r og r
er
pseudoafstanden fundet ved hhv. L1 og L2’s bølgelængde samt
L2 L1
f og f
er frekvensen på hhv. L1 og L2.
Troposfærefejlen behandler faktorer, der udsætter signalet for refraktion, der er en funktion af
lufttryk, luftfugtighed og temperatur. Da denne atmosfære fejl findes i to atmosfære både
stratosfæren og troposfæren har man valgt at omtale det som en samlet fejl kaldet troposfærefejlen.
I denne atmosfære, hvor signalet bliver forringet er det ikke signalets frekvens, der har en indflydelse,
og derfor kan troposfærefejlen kun korrigeres vha. modeller. Den mest nøjagtige model man har
fundet frem til er Saastamoinen modellen fra 1973. Modellen er således.
s
f 1 0,00266 cos 2 0,00028H
samt
trop s
1255
d 0,002277 f sec 90 elv P 0,05 e
T
.
Forklaring af leddene på næste side.
T står for temperaturen, angivet i kelvin, ved GPS modulets antenne, P står for tryk i millibar,
e
er det
partielle tryk for vanddampen i millibar,
elv
er elevationsvinklen
34
for satellitsignalet(vinklen i forhold
til vandret),
står for breddegrad og H står for højde over havniveauet som angives i km. Ledet
s
f
er
en faktor, der korriger GPS modulets antennes placering på jorden. Hvis vi kigger overordnet på
denne model vil der være en restfejl på 3 cm tilbage på satellitternes signaler som modtages i zenit.
Grundet, at det er bedst at modtage signaler i zenit er, fordi siignalet skal gennem mindst
atmosfæriske forstyrrelser. Så jo lavere elevationsvinkel der er for signalet, jo højere er usikkerheden.
På bilag A kan der ses en oversigt over nogle fejlbidrag.
33
http://en.wikipedia.org/wiki/Total_electron_content
34
http://da.wikipedia.org/wiki/Koordinatsystem_for_himmelrummet
Side 13 af 25
PÅVIRKNINGEN AF RELATIVISTISKE EFFEKTER VED GPS MÅLING
DEN SPECIELLE RELATIVITETSTEORI
Som 25 årig publicerede Albert Einstein sin artikel om den specielle relativitetsteori
35
. Den specielle
relativitetsteori omhandlede to simple forudsætninger. Den første omhandlede, at alle fysikkens love
forblev de samme i alle inertialsystemer
36
. Denne teori kaldes speciel, fordi der ses bort fra nogle
faktorer som gravitationen. I det følgende afsnit vil jeg komme ind på hvordan to konsekvenser af den
specielle relativitetsteori blev udledt.
TIDSFORLÆNGELSE
For at forstå tidsforlængelse
37
er det en god ide med et tankeeksperiment. Hvis vi siger at
tændstikmanden L er sammen med et lys ur
38
. Vi har to inertialsystemer hhv. I
’
og I. Dette kan
defineres som, at I
’
bevæger med en fart(v) i forhold til I. De to inertialsystemer har således også en
fælles x-akse. Som vist på figur 7, befinder der sig en
person L i inertialsystemet I
’
. Afstanden fra lyskilden til
det spejl, der er opsat har afstanden d, og den tid, som L
tager tid på, er den tid det tager for lyset at ramme
spejlet og vende tilbage til den oprindelige kilde. Denne
tid kalder vi
0
t
nullet ved delta t viser, at tiden er målt
ved en stilstand i I
’
. Vi ved desuden, at lyskilden rammer
spejlet og returnere, så det betyder, at lysets længde er
2d.
35
http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity
36
http://da.wikipedia.org/wiki/Inertialsystem
37
http://da.wikipedia.org/wiki/Tidsforl%C3%A6ngelse
38
http://viden.jp.dk/binaries/an/8106.pdf
'
I
L
Spejl
d
Figur 7
Side 14 af 25
Vi ved desuden, at c som er lysets fart er den samme i alle inertialsystemer. Nu kan man ifølge L’s
observationer regne sig frem til, hvor lang tid lyset tager om at vende tilbage til sin lyskilde.
0
2d
t
c
,
som også kan udledes til
0
ct
d
2
, hvilket jeg kommer ind på senere hen, hvorfor jeg også skal bruge
d.
I et andet inertialsystem har vi
en person N. Det ville være
oplagt at tro, at N ville få samme
resultat som L på sidste side.
Men pga., at I
’
bevæger sig ift. I,
vil der forekomme en lysstråle,
som bevæger sig længere end
den på figur 7. Dette ses også på
figur 8, grundet fordi vi havde
den forudsætning, at lysets fart
er den samme i alle
inertialsystemer. Derfor kan vi
nu således se, at person N’s tid
vil blive længere end den L
måler. Tiden som N måler må
så være
2l
t
c
.
Vi kender Pythagoras’
læresætning og kan dermed
finde l, som er udtrykt ved d, v
og
t
. Vi har desuden fundet
frem til, hvad d er, og derved
substituere jeg ledet ind i det
udtryk vi kommer frem til.
Derefter isolerer jeg
t
.
Isolering af
t
39
kan ses til
højre. Jeg har nu fundet frem
til tidsforlængelsen vha. mit
tænkeeksperiment.
39
http://da.wikipedia.org/wiki/Tidsforl%C3%A6ngelse
I
N
'
I
d
vt
Figur 8
Side 15 af 25
LÆNGEFORKORTELSE
Længdeforkortelsens forklaring samt udledning kan ses i bilag B, hvor forklaringen findes.
RELATIVITETSTEORIENS TIDSFORLÆNGENDE EFFEKT
Vi har tidligere undersøgt, hvordan tidsforlængelse
40
med inertialsystemer er, det er dog ikke det
samme med GPS. Hvis vi antager satellitternes ure er synkroniseret med GPS modulernes ure og ser
bort fra denne fejlkilde, og en satellit bevæger sig i et ECI
41
koordinatsystem (Et ECI koordinatsystem
er hvor origo er i jordens massemidtpunkt, men den rotere således ikke om en akse. En position
beregnet i ECI bliver til WSG-84
42
.), så kan man således betegne, at satellitten bevæger sig rundt om
centrum, og derved kan man sige, at satellitten er det andet inertialsystemets holdepunkt. Dette
indebærer, at satellitten ikke har en konstant hastighed ift. Jordens fikseret jordens fikserede system.
Der er også andre faktorer, der spiller ind som, at satellittens omløbsbane ikke er cirkulær, hvilket kan
variere på satellittens fart, men denne sidste påstand ser vi bort fra, da den er minimal, når vi regner
et eksempel senere hen. Et argument kan være for, at vi ser bort fra dette er, at omløbsbanen for
satellitten er så stor, og at satellittens fart er næsten konstant. Vi har tidligere udledt en formel for
tidsforlængelse:
2
2
t
t
v
1
c
. For at forklare, at det er nødvendigt med at tage disse relativistiske
effekter med, så vil jeg give et eksempel på, hvor jeg udregner, hvad tidsforlængelsen er. For at
beregne det her er det nødvendigt med nogle data. Jordens masse Jordens radius har en værdi på
6378km. Vi ved at afstande mellem satellit og jordens overflade er 20200km. Vi kan nu regne os frem
til tidsforlængelsen(næste side).
40
http://da.wikipedia.org/wiki/Tidsforl%C3%A6ngelse & http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity
41
earth-centered-inertial
http://en.wikipedia.org/wiki/Earth-centered_inertial
42
http://en.wikipedia.org/wiki/World_Geodetic_System
Side 16 af 25
2
res T
2
2
2 2 2
3 3 3
jord satelit til jordoverflade
11 2 2
24
jord
v
a
R
FF
M m M v M M
m a G m G G V G
R R R R R
R R d R 6378 10 m 20200 10 m 26578 10 m
G 6,674 10 N m kg
M 5,97223 10 kg
24
2 11 2 2
3
2
2
2
2
5,97 10 kg
V 6.674 10 N m kg
26578 10 m
v 203
m
v 3872,58
s
denrelative tidsforskelkan via. denrelative relitivitetsteori udledes til
t 1 1 v
1
t 2 c
v
1
c
viskalnuregnehvad det giver af tidsforskelpå1d
2
11
2
8
2
11 8
afstand
2
8
øgn
3872,58
1
t 8,00s
2
3 10 m / s
På1 døgn giver det en fejli afs tandenpå
3872,58
1
P 8,00s 3 10 2,3km
2
3 10 m / s
Dog skal dette tal trækkes fra et tal man udregner fra den generelle relativitetsteori, hvilket jeg vil
fortælle om efter Sagnac effekten og runde af med, hvor stor den endelige afstand er.
SAGNAC EFFEKT
Side 17 af 25
Sagnac effekten
43
er afgørende for, at urene bliver så præcise som muligt. Fra relativitetsteorien ved
vi, at lyset i vakuum er konstant, men da det ikke er tilfældet her, da vi befinder os i en roterende
referenceramme. Hvis vi nu antog, at vi sendte to lysglimt afsted i hver sin retning ved ækvator, så vil
vores lysglimts startpunkt være rykket sig. Dette skaber så en tidsforskel, da vores lysglimt ikke
befinder sig på det sted de blev sendt ud fra. Vi kan ud fra en formel finde størrelsesforskellen mellem
lysstrålernes ankomst.
2
4A
t
c
. Forskellen i tid angives som delta t, A står for arealet af den
cirkel som lysstrålen har bevæget sig i, mens
er vinkelhastigheden. For at dække jorden skal man
kun sende lyset halvvejs rundt, dvs., at delta t må være divideret med 2. Ved ækvator er
vinkelhastigheden
51
7,2921 10 s
og jordens radius ved ækvator er bestemt til at være 6378km. Vi
indsætter nu i formlen.
2
35
9
jord jord
2
2 6378 10 m 7,2921 10
t 207,089 10 s t 207,089ns
c
Dette er den maksimale afvigelse, da vi har måle ved ækvator, da ækvator har den største fart. Vi kan
nu finde frem til ved at indsætte i pseudoafstandsformlen, at dette vil give en afvigelse på
P 207,089ns c
62m, i afvigelse er også en del, hvilket er vigtigt at tage hensyn til.
GENERAL RELATIVITET
En relativistisk effekt man skal tage højde for er den forskel, der forekommer ved satellitten i forhold
til jorden overfladens tyngdefelt. Hvis man skal beregne denne effekt gøres det med Einsteins field
equations
44
, som består af en række ligninger, som den generelle relativitetsteorien forudsætter. Det
har kun været muligt at løse denne problemstilling i nogle specialtilfælde, hvor tyngdefeltet omkring
en centralmasse roterer. Man har desuden vha. dette tilfælde fundet ud af, at uret vil gå hurtigere
desto længere man kommer ud i tyngdefeltet, hvis man vel og mærket observerede dette udenfor
jordens tyngdefelt. Man kan i princippet sige, at dette er en modsat virkning af tidsforlængelsen, og
dette indebærer, at den har større numerisk indvirkning. Dette betyder så, at atomuret vil gå
hurtigere end urene observeret på jorden
45
. Frekvensen på urene på jorden går med 10,23 MHz,
hvilket GPS signalet også sender med, men pga. denne relativistiske effekt har man ændret
frekvensen på atomurene til at gå med en frekvens på 10,543 MHz
46
. Herunder vil jeg vise
den generelle relativitets påvirkning af GPS systemet. Til dette skal vi tilbage i et tidligere studie, hvor
vi har fundet ud af at
N
y a x
som kan udledes til
yx
N
yx
. Uret i satellitten som befinder sig i
43
http://en.wikipedia.org/wiki/Sagnac_effect
44
http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_field_equations
45
Physical Geodesy by Bernhard Hofmann-Wellenhof and Helmut Moritz (Paperback - 28 Aug. 2006), s. 109-111
46
http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2003-1/download/lrr-2003-1Color.pdf side 16.
Side 18 af 25
rummet, går hurtigere som følge af større E
pot
(
pot
G M m
E
R
) Vi kender udtrykket
11
1
E h f og f T
T
, deraf kan udtrykkes at
jord satellit
2
G M m G M m
RR
T f E
T f E m c
, sidste led
reduceres nu
2
satellit jord
T G M 1 1
T C R R
, nu kan vi udregne fejlen ved at sætte vores data ind som vi
har fra den specielle relativitetsteori.
11 2 2 24
10
2
3 3 3
8
T 6,674 10 N m kg 5,97223 10 kg 1 1
5.277 10
T 6378 10 m 20200 10 m 6378 10 m
3 10 m / s
vi ganger resultatetmed1 døgn for at fåresultatet idøgn,dog skal videsuden gange med c(lysets fart),
da viregner tid
10 2 8 3
tilafstand.
T
79,17m 13,7 10 m
T
Dette er dog ikke den endelige fejl, da den generelle forlængelse, hvor den specielle er en
tidsforkortelse, og derved skal vi for at finde det endelige resultat trække de to resultater fra
hinanden, dette viser jeg næste afsnit.
RESULTAT
Resultatet bliver således.
Her kan vi se, at resultatet holder vand ved, at vi også kan sammenligne det fundne resultat med ”Tid
- den relative virkelighed” af Ulrik Uggerhøj
47
.
ANVENDELSESMULIGHEDER FREDELIGE OG UFREDELIGE MED GPS
47
Tid - den relative virkelighed af Ulrik Uggerhøj(2005) side 108 nederst.
afstand
33
T
P fejl afstandpr.døgn
T
13,7 10 m 2,3 10 m 11,4km
Side 19 af 25
GPS teknologien bliver mere og mere udviklet og mere avanceret. GPS målingerne bliver mere og
mere præcise, og det er en nødvendighed for civile vil have en større nøjagtighed, og derfor er det
vigtigt GPS systemet hele tiden udvikler sig
48
. Anvendelsesmulighederne indenfor GPS systemet er
enorme. Der findes mange anvendelser man kan bruge GPS til lige fra sporing af sin stjålne båd til, at
man skal planlægge at lave noget vejarbejde. En fredelig anvendelse som har haft stor betydning
indenfor sikkerhed for sine egne genstande er såkaldte ”Trackers”, disse systemer sporer simpelthen
disse ting, hvis de forsvinder. Dog skal det nævnes, at man skal bruge et lille apparat, som man
gemmer, så tyven heller ikke opdager apparatet, under en ting eller i sit handskerum. Ved hjælp af
disse sporingsapparater kan man spore sine genstande. Dette fungerer således, at signalet sendes til
det firma man har købt sit apparat ved, og derved sendes informationerne så videre til mobilen eller
en e-mail. En anden smart ting man har gjort med GPS systemet er at integrere det i mobilerne. Dette
har været et revolutionerende skridt mod fremtidens teknologi, at man kan integrere en GPS
modtager der ikke ændre på mobilens størrelse, men teknologien har simpelthen gjort det muligt,
fordi komponenterne bliver mindre og mindre. Men der er mere, HTC Corporation har udviklet et
stykke software, der hedder HTC Sense
49
. HTC Sense er smart på den måde, at man simpelthen kan
styre sin mobil fra internettet, dette gøres dog ikke vha. fra GPS, men hvis du mister din telefon kan
den via. et stykke software finde mobilen med GPS modulet, som mobilerne med det opdaterede HTC
Sense, har i sig. Nu er der beskrevet lidt om de fredelige formål om GPS og dens
anvendelsesmuligheder, men nu vil jeg fortælle lidt om de lidt mere ufredelige. GPS systemet er et
teknisk og teknologisk vidunder, men af alle de gode sider har systemet også nogle negative sider. Her
kan nævnes krig, pga. den mere og mere præcise navigation bliver krigsførelse og angrebsmål mere
og mere præcise. Både for de ”gode” og de ”onde”. Dette kan være et kæmpe problem, da vi
eksempelvis har terrorisme. Jo mere præcis GPS systemet bliver, jo lettere vil de have ved at ramme
deres mål. I Krig bruges GPS navigation også, til eksempelvis droner, som fjernestyres. Disse droner,
flyver jo uden en bemanding og det er vigtigt at præcisionen samt nøjagtigheden er i top. Men der er
også en masse andre ting, som at man har udviklet sporingschip, som man sætter på folk, hvis man vil
efterfølge dem. Disse chips er egentlig en blanding af mobilnettet (GSM) og GPS systemet. Disse
sporingschips kan også misbruges, hvilket jo kan være risikabelt for vigtige personer, som handelsfolk
og lignende, da de evt. kan tages til gidseltagning. Disse ting jeg har nævnt, er blot få af de mange
hundrede, hvis ikke tusinde måder man kan bruge navigationssystemet på.
48
GPS Modernization and the Path Forward, s. 15
49
http://www.htc.com/www/press.aspx?id=144266&lang=1033
Side 20 af 25
KONKLUSION
Vi har nu været igennem GPS-systemet og fundet ud af, hvordan GPS navigation fungerer. Vi har
været igennem, hvordan de gamle navigationsmetoder var, og hvordan GPS navigation fungerer, og
hvorfor det i princippet er nok med 3 satellitter, men nødvendigt med den sidste 4. satellit, pga. ur
fejlen. Ur fejlen har en stor indflydelse på GPS navigation, som vi fik os regnet frem til, men ikke nok
med det, så fandt vi ud af, at urene også skulle være synkroniseret. For at dette kunne være muligt,
skulle der beskrives om Albert Einsteins relativitetsteori, både den specielle og den generelle, for
begge teorier havde et kæmpe grundlag for eksistensen af det fungerende GPS navigationssystem. Vi
har regnet os frem til, hvorfor det er vigtigt med relativitetsteorien og den effekter med, for der kom
en fejl afstand på ca. 11 km, hvis man ikke tog denne effekt i betragtning, og det er pr. dag! Man
kunne bestemme en satellitmodtagers position vha. 3 ligninger med 3 ubekendte og derved
bestemme pseudoafstanden. GPS navigation har en kæmpe indflydelse, den integrere i vores hverdag
mere og mere, for jo mere i fremtiden vi kommer, jo mere nøjagtige og præcise målinger er det
nødvendigt for den almene borger. Men som nævnt er dette også en risikabel vej at gå, for GPS
navigation kan også bruges til ufredelige formål som krigsførelse. Vi har set, hvordan matematikken
og fysikken kunne kombineres, hvor matematikken var et redskab til at beskrive fysikken, men stadig
have matematikken i sig selv i stor indflydelse, eksempelvis ved positionering. Uden Albert Einsteins
relativitetsteorier ville vi aldrig have fået opbygget GPS navigationen, uden kæmpemæssige fejl ville
være optrådt.
Side 21 af 25
LITTERATURLISTE
WORLD WIDE WEB
http://da.wikipedia.org/wiki/Navigation
http://da.wikipedia.org/wiki/Sekstant
http://www.cozmo.dk/bio/brahe/instrumenter.html
http://da.wikipedia.org/wiki/Oktant
http://en.wikipedia.org/wiki/Sextant
http://galathea3.emu.dk/tvaerfagligt/sekstant.html
http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./S%C3%B8fart/Navigation/nautiske_almanakker
http://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_%28satellite_navigation%29
http://en.wikipedia.org/wiki/GLONASS
http://en.wikipedia.org/wiki/COMPASS_navigation_system
http://en.wikipedia.org/wiki/IRNSS
http://en.wikipedia.org/wiki/QZSS
http://da.wikipedia.org/wiki/C%C3%A6sium
http://da.wikipedia.org/wiki/Rubidium
http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_clock
http://www.kowoma.de/en/gps/control_segment.htm
http://www.emu.dk/gym/fag/ge/Eksperiment/GISogkort/gps.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration
http://www.wolframalpha.com/
http://www.gpsnet.dk/showcontent.php?nID=385&showSingle=1
http://en.wikipedia.org/wiki/Total_electron_content
http://da.wikipedia.org/wiki/Koordinatsystem_for_himmelrummet
http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity
http://da.wikipedia.org/wiki/Inertialsystem
http://da.wikipedia.org/wiki/Tidsforl%C3%A6ngelse
http://viden.jp.dk/binaries/an/8106.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Earth-centered_inertial
http://en.wikipedia.org/wiki/World_Geodetic_System
http://en.wikipedia.org/wiki/Sagnac_effect
http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_field_equations
http://www.htc.com/www/press.aspx?id=144266&lang=1033
BØGER SAMT PDF FILER FRA VIDENSKABELIGE INSTITUTTER.
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 27-29.
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 29-30.
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 34-35.
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 35
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 37 tabel 4.1
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 39
GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 51.
Physical Geodesy by Bernhard Hofmann-Wellenhof and Helmut Moritz (Paperback - 28 Aug 2006), s. 109-111
The Mathematics of GPS af Richard B. Langlay, s. 2
http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2003-1/download/lrr-2003-1Color.pdf
Tid - den relative virkelighed af Ulrik Uggerhøj(2005) side 108 nederst.
GPS Modernization and the Path Forward, s. 15
Side 22 af 25
BILAG A: OPSUMMERING AF FEJL BIDRAG
Fejlbidrag
Fejl I pseudoafstand
Satellitur
Banefejl
Ionosfære
Troposfære
Multipath
Korrelation
1 - 2 m (efter modellering)
1 - 2 m
1 - 50 m (efter modellering)
Få cm - dm (med 2 frekvente modtagere)
Få dm (efter modellering)
1 – 2 m
0,2 – 1 m
Tabel er gengivet efter GPS – Dueholm mfl. - s. 48
Side 23 af 25
BILAG B: LÆNGDEFORKORTELSE SAMT UDLEDNING
Når begrebet længdeforkortelse skal beskrives, kan det beskrives som når to personer måler en
bestemt længde der er lige lang, men ikke får samme resultat, fordi de befinder sig i to forskellige
inertialsystemer.
På samme måde, som da vi skulle
udlede tidsforlængelsen, så vil vi på
samme som først starte med et
tankeeksperiment. Her vil vi kigge på
længeforkortelsen i
bevægelsesretningen, hvor vi på
samme måde som tidligere opstiller to
inertialsystemer, i dette tilfælde A og
A
’
, hvor personerne L og N befinder
sig. I forhold til de to systemer. De
bevæger med en fart, v. Det inertialsystem A
’
indeholder et instrument (anordning), hvor der befinder
sig en målestok, som i den ene ende har et spejl monteret, mens den anden ende af målestokken er
sat sammen med en lyskilde. (Se figur 10)
Den tid som personen L tager tid på, er den tid,
0
t
det tager for lyset at ramme spejlet og vende
tilbage til den oprindelige kilde. Lysets fart, c har en sammenhæng med tiden, ∆𝑡
0
samt hvilelængden,
0
l
.
0
0
2l
t
c
I systemet A’ befinder
personen N sig, som på
samme måde som personen L
foretog målinger, men
forskellen er blot, at
meterstokken har en fart, v, i
forhold til N, som vi er nødt
til at tage hensyn til.
Personen N indfører
Meterstok
Spejl
Lyskilde
A'
Figur 9
0
l
L
d
v
vt
l
A
A'
Figur 10
L
N
Side 24 af 25
størrelserne, som faktisk er længdens l samlede sum, 𝑑
+
samt ∆𝑡
+
, som er den ene længde l, som har
flyttet sig ift. en anden længde l’. Ikke nok med det, så indfører personen N også den sidste størrelse,
som N kalder
d
denne størrelse er forskellen mellem de to længder, l og l’. Hvis vi kigger på figur 10,
så kan vi se, hvordan lyset bevæger sig i forhold til bevægelsesretningen, samt den strækning, som
lyset bevæger sig i tidsrummet, ∆𝑡
+
. Derfor kan man faktisk skrive strækningen af lyset, 𝑑
+
ganget
med tiden, ∆𝑡
+
samt lysets hastighed, c. Vi får nu følgende:
d l v t
d t c
Det samme gælder for forskellen mellem længderne, bare med modsat fortegn:
d l v t
d t c
Vi er faktisk ikke interesseret i lysets strækning samt forskellen af længderne, så derfor vil vi sætte
begge ligninger lig med hinanden, så vi får:
l v t c t c
1
t
cv
Det samme gælder for, 𝑑
−
:
Hvis vi lægger ∆𝑡
+
sammen med ∆𝑡
−
, så får vi den totale tid, ∆𝑡, som faktisk er den tid, som det tager
for lyset at komme fra kilden til spejlet og tilbage til kilden igen.
t t t
Side 25 af 25
2 2 2 2
22
2
2
ll
t
c v c v
l c v l c v
t
c v c v
2l c
t
cv
2l
t
v
c1
c
Hvis vi kigger tilbage til afsnittet om tidsforlængelse, så kan vi sætte udtrykket for tiden lig med
overstående udtryk. Vi får nu:
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t 2l
t
v
v
c1
1
c
c
v
2l 1
2l
c
t
v
v
c1
c1
c
c
Nu kan vi sætte overstående udtryk lig
0
2l
c
, da vi har fundet ud af at delta t er lig med det.
0
2
2
2
0
2
2l 2l
c
v
c1
c
v
l l 1
c
¨
Nu har vi så fundet frem til længeforkortelsen.