Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
1
HF Matematik B
12. december 2008
HFE083-MAB
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaverne med hjælpemidler er for så vidt muligt regnet med WordMat. Husk at skrive nedenstående
kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så
censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Delprøven uden hjælpemidler
Opgave 1
a)
Opgave 2
a)
Vi indsætter x = 4 og isolerer for a:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
2
Opgave 3
a)
f(x) har forskriften for en lineær funktion. Funktionen er aftagende da hældningen er under 0.
g(x) har forskriften for en eksponentialfunktion. Funktionen er voksende, da værdien for
fremskrivningsfaktoren er 1,21 > 1.
h(x) har forskriften for en eksponentialfunktion. Funktionen er aftagende, da værdien for
fremskrivningsfaktoren er 0,58 < 1.
Opgave 4
a)
Vi benytter nulreglen dvs. at hvis bare én af parenteserne antager værdien 0, bliver hele udtrykket lig 0.
Løsningen til ligningen er henholdsvis x = -1 og x = 3.
Opgave 5
a)
Vi bestemmer stamfunktionen til f(x):
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
3
hvor k er en variabel værdi, der bl.a. kan antage værdien 1.
Vi har dermed redegjort for, at
er en stamfunktion til f(x).
Til at bestemme
aflæser vi et punkt på grafen P(0, 5):
Vi indsætter punktet i F(x) og bestemmer konstanten k:
Vi kender nu konstanten k og kan opstille
:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
4
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 6
a)
Der er tale om en lineærudvikling, da udviklingen stiger med en fast del, hvert år.
f(x) beskriver antallet af danskere med en årlig indkomst på mindst 1 million kr. om året.
x beskriver året efter år 2000.
Tallet 7600 betegner b dvs. begyndelsesværdien for funktionen. I år 2000 var der således 7600 danskere
med en indkomst på mindst 1 million kr.
Tallet 1300 betegner tallet a, og er hældningskoefficienten funktionen. Antallet af danskere med en
indkomst på over 1 million kr. stiger således med 1300 danskere om året.
Vi opstiller modellen:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
5
Opgave 7
a)
Længden af siden |AC| bestemmes i WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 81°, CB = 135, AB = 178
A = 40,36216°
C = 58,63784°
B = 81°
CB = 135
AB = 178
AC = 205,8902
Længden af siden AC findes vha. en cosinusrelation
Siden |AC| aflæses fra WordMats trekantsløser til 205,89 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vinkel A bestemmes i WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: D = 128°, DC = 84, AC = 205,8902
A = 18,75343°
D = 128°
C = 33,24657°
DC = 84
AC = 205,8902
AD = 143,2441
Vinkel A findes vha. en cosinusrelation
A
C
B
CB
AB
AC
A
D
C
DC
AC
AD
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
6
Vinkel A aflæses fra WordMats trekantsløser til 18,75°. (afrundet til to decimaler).
Arealet af trekant ACD bestemmes ved:
Arealet af trekant ACD er bestemt 4740,87 (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
7
Opgave 8
a)
Udviklingen kan beskrives eksponentielt, modellen bestemmes, derfor ved eksponentiel regression.
Vi opstilles tabellen og foretager regression:
År
2001
2002
2003
2004
2005
År efter 2001
0
1
2
3
4
Dagligt antal
personrejser
35359
38960
41535
46031
50118
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9963435
Vi opskriver modellen:
b)
Vi definerer modellen:
Vi bestemmer antallet af personrejser over Øresundsbroen i år 2007:
Vi kommenterer modellen:
Sammenligner vi det faktiske tal på 67159 for antallet af personrejser over Øresundsbroen i år 2007, står
det klart, at det faktiske tal er væsentligt højere end de 59468 (afrundet) som modellen forudsiger. Det kan
konkluderes, at modellen ikke er særlig pålidelig, og at udviklingen i antallet af personrejser er sket med en
væsentligt højere hastighed end forudsagt af modellen.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
8
Opgave 9
a)
Vi definerer funktionen og førstekoordinaten for punktet P:
Vi bestemmer tangentens ligning til punktet P(2, f(2)):
En tangent til grafen for f til punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi definerer tangentens ligning:
Vi bestemmer arealet af M ved:
Arealet af M er bestemt til 2,67 (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
9
Opgave 10
a)
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer antallet af dage ved:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
11,84 dage efter første skoledag i januar, er der ifølge modellen 200 elever der har eller har haft influenza.
b)
Vi bestemmer f’(7):
f’(7) er bestemt til 15,63 dvs. at til tidspunktet 7 (målt i dage efter første skoledag i januar) vokser antallet
af elever der har influenza med 15,63 elever.
c)
Det udgår fra grafen og funktionsforskriften, at funktionen vil nærme sig en asymptote med værdien 350.
Ifølge modellen vil højst 350 elever kunne få influenza.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
10
Opgave 11
a)
Vi definerer funktionen og definitionsmængden:
Tangenten er vandret, når hældningen er lig 0:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der er to løsninger, hvor grafen for f har vandrette tangenter.
b)
Vi foretager en funktionsundersøgelse:
Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af den afledte funktions nulpunkter;
Vi opskriver monotoniforhold:
f er voksende i intervallet ]0; 1,5] og [4; ∞[
f er aftagende i intervallet [1,5; 4]
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008
11
Opgave 12
a)
Vi bestemmer T, når x = 0,50:
En 0,50 m lang bladfjeder har svingningstiden 0,099 s (afrundet til 3 decimaler).
Vi bestemmer x, når T = 0,040:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
En bladfjeder med svingningstiden 0,040 s har længden 0,27 m (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi definerer tilvæksten for svingningstiden og tallet 1,5 som a:
Vi bestemmer den relative vækst ved:
Ligningen løses for r_x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen skal fjederens længde øges med 19,11 % (afrundet til 2 decimaler) for at svingningstiden
øges med 30 %.