Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
1
HF Matematik B
15. august 2016
Delprøven med hjælpemidler
hfe162-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HF 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Sammenhængen kan beskrives med en lineær model:
Tallet -269 beskriver den årlige udvikling af landbrugsdrifter i Region Sjælland. Dvs. at, hvert år efter år
2006 falder antallet af landbrugsbedrifter i Region Sjælland med 269 landbrug ifølge modellen.
Tallet 8363 beskriver antallet af landbrugsdrifter i Region Sjælland i året 2006. Dvs. at, der i år 2006 var
8363 landbrugsdrifter ifølge modellen.
b)
Vi definerer funktionen :
Vi løser ligningen
:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
2
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen når antallet af landbrugsbedrifter under 5000 ca. 12,52 år efter år 2006 dvs. ca. i år 2018.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
3
Opgave 8
a)
Sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel funktion:
Vi opstiller tabellen og foretager en eksponentiel regression:
Watt
Lumen
15
140
25
250
40
470
60
800
75
1050
100
1520
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9993617
Tallet aflæses til 1,2696 (afrundet til 4 decimaler) og tallet aflæses til 4,3698 (afrundet til 4 decimaler).
b)
Vi definerer regressionsligningen:
Vi løser :
Ifølge modellen svarer en effekt på 150W ca. til en lysstyrke på 2531 lumen (afrundet).
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
4
Opgave 9
a)
Vi definerer funktionen:
År 2015 er ( ) efter år 1995. Vi løser ligningen :
Ifølge modellen vil Drejøs indbyggertal være ca. 62 (afrundet) i år 2015.
b)
Vi løser :
Vi løser
:
Tallet
bestemmer udviklingen i indbyggertallet på Drejø 10 år efter 1955 dvs. i år 1965. Ifølge
modellen faldt indbyggertallet på Drejø med 6 personer (afrundet til helt antal person) i år 1965.
Tallet
bestemmer udviklingen i indbyggertallet på Drejø 50 år efter 1955 dvs. i år 2005. Ifølge
modellen faldt indbyggertallet på Drejø med 1 (afrundet til helt antal person) i år 2005.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
5
Opgave 10
a)
Vinklerne i trekant ABC bestemmes med (WordMat trekantsløser):
WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 8, b = 12, c = 8
A = 41,40962°
B = 97,18076°
C = 41,40962°
a = 8
b = 12
c = 8
Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Vinklerne i trekant ABC er fundet til: , , . (Afrundet til 2 decimaler)
b)
Længden af BD bestemmes med (WordMat trekantsløser):
Vinklen er i denne trekant halveret dvs.:
A
B
C
a
b
c
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
6
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 20,705°, B = 97,18°, AB = 8
A = 20,705°
B = 97,18°
D = 62,115°
BD = 3,200011
AD = 8,979946
AB = 8
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siderne BD findes vha. sinusrelationerne
Siden BD aflæses til 3,2 (afrundet til 1 decimal).
A
B
D
BD
AD
AB
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
7
Opgave 11
a)
Funktionen og det gældende interval defineres:
Grafen for tegnes med (GnuPlot):
For at bestemme monotoniforholdende bestemmes først evt. ekstrema:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Herefter undersøges differentialkvotienten på begge sider af ekstrema:
Monotoniforholdene opstilles:
er voksende i intervallet
er faldende i intervallet
har maksimum i punktet
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
8
b)
Først bestemmes grænserne, ved at løse
, der bestemmer nulpunkterne for :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Herefter bestemmes arealet af det afgrænsede område med det bestemte integral af i intervallet
:
Arealet af det område som afgrænser med førsteaksen er
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
9
Opgave 12
a)
Der er tale om en fast årlig tilvækst, dvs. der er tale om en eksponentiel udvikling:
Den eksakte funktion opstilles og defineres:
Værdien for aflæses til og betegner produktionen af solenergi i år 2010. Vækstraten aflæses
til :
b)
Produktionen af vindenergi defineres:
Til at bestemme året, hvor produktionen af solenergi vil overstige produktionen af vindenergi løses
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ca. 10,91 år efter år 2010 dvs. ca. i år 2020, vil produktionen af solenergi overstige produktionen af
vindenergi ifølge modellerne.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016
10
Opgave 13
a)
Funktionen defineres:
En ligning for tangenten , der har røringspunkt i
bestemmes med formlen for tangentens ligning
og udregnes vha.:
Tangenten har ligningen
Den generelle formel for tangentens ligning er
b)
For at bestemme en ligning til tangenten , udnyttes det, at og må have samme hældning siden de er
parallelle:
Førstekoordinaten til bestemmes ved at løse følgende ligning:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi kan se, at der er to løsninger, hvoraf den ene er førstekoordinaten til tangenten . Førstekoordinaten til
tangenten er således
.