Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 7
a)
Den viste model for sammenhængen er eksponentiel. Jf. formel 35
Tabellen oprettes i MS Word og en eksponentiel regression over tabellens data foretages herefter vha.
WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel).
Antal uger efter
premieren
1
3
5
7
9
Uge-indtjening
(mio. dollars)
43,7
24,9
15,0
10,6
5,0
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9886497
Hermed er værdierne for tallene og bestemt til (resultaterne er afrundet til to decimaler):
og
b)
Halveringskonstanten
for en aftagende eksponentiel funktion kan bestemmes som: jf. formel 65
Den fundne værdi for indsættes og halveringskonstanten for bestemmes:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Halveringskonstanten er således bestemt til:
Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-
At halveringskonstanten
betyder i dette tilfælde, at uge-indtjeningen (if. modellen) for en
spillefilm i de amerikanske biografer er halveret, hver gang der er gået 2,67 uge, - altså knap tre uger.
Opgave 8
a)
Længden af siden kan bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).
WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 86,8° , a = 10,6 , d = 3,17
WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 86,8° , BD = 10,6 , AB = 3,17
A = 76,30859°
B = 86,8°
D = 16,89141°
BD = 10,6
AD = 10,893
AB = 3,17
Af resultatet fremgår at længden af siden er:
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
Arealet af firkant kan bestemmes som summen af arealerne for trekanterne og .
Arealet af en trekant , hvor man kender længden af to sider og den mellemliggende vinkel,
kan bestemmes med formlen ”Den halve appelsin”: jf. formel 29
For at kunne beregne arealet af trekant med denne formel, er det nødvendigt at bestemme længden
af siden , hertil benyttes WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).
WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 39,5° , D = 108° , BD = 10,6
A
B
D
BD
AD
AB
Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-
B = 32,5°
C = 39,5°
D = 108°
CD = 8,953892
BD = 10,6
BC = 15,84899
Længden af siden er således 9,0 når resultatet afrundes til én decimal.
Anvendes ovenstående arealformel samt aktuelle benævnelser, kan det samlede areal bestemmes som:
Kendte sidelængder og vinkler indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Det er således bestemt, at arealet af firkant er:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Opgave 9
a)
Modellen defineres som en funktion af i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Hvor er fuglens vægt, målt i kg og er fuglens levetid, målt i år.
Levetiden for en fugl, der vejer 0,100 kg, kan bestemmes som tallet .
WordMat (CAS - Beregn) benyttes hertil.
Levetid for en fugl, der vejer 0,100 kg, er således bestemt til ,
Resultatet er afrundet til et helt antal år.
B
C
D
CD
BD
BC
Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-
b)
Fugl vejer kg, da fugl vejer fem gange så meget, er fugl ’s vægt kg.
Hvor mange procent fugl kan leve længere end fugl , kan bestemmes som:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Fugl vil, ifølge modellen, kunne leve længere end fugl .
Resultatet er afrundet til én decimal.
Opgave 10
a)
Ligningen for den parabel, der beskriver den blå kurve defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
som en funktion af .
Den blå parabelkurve, med grenene vendende nedad, er symmetrisk omkring -aksen, derfor kan buens
højde bestemmes som tallet , hvilket er den -værdi, hvor i parablen skærer -aksen.
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Buens højde er således bestemt til
Bredden af buen kan bestemmes ved at løse ligningen
.
Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
De fundne værdier er rødderne for den blå parabel, hvilket betyder, at buens bredde er den vandrette
afstand mellem disse skæringspunkter med -aksen og , hvis resultaterne af forrige
beregning afrundes til to decimaler.
Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-
Afstandsformlen til bestemmelse af afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem:
Indsættes koordinaterne for skæringspunkterne, kan buens bredde bestemmes:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Buens bredde er således bestemt til
Resultatet er afrundet til to decimaler.
Opgave 11
De to temperaturforløb defineres som funktioner i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
med isolering:
uden isolering:
a)
Begge temperaturforløb er lineære og følger begge modellen jf. formel 35
Det betyder, at temperaturstigningen pr. minut er lig med hældningskoefficienten ,
hvilket kan aflæses direkte af forskriften for temperaturforløbet.
Med isolering er temperaturstigningen pr. minut således
Temperaturen efter 35 minutter kan bestemmes som tallet . WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Afrundes resultatet til én decimal, så er temperaturen efter 35 minutter med isolering.
b)
Det antal minutter, der skal gå, før temperaturen uden isolering når op på , kan bestemmes ved
at løse ligningen
. hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der skal således gå før temperaturen når op på , når boligen er uisoleret.
Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-
Opgave 12
a)
Forskriften defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Vægten af en 14 år gammel T-Rex kan bestemmes som tallet . WordMat(CAS - Beregn) benyttes.
Vægten af en 14 år gammel T-Rex er således
Resultatet er afrundet til én deciamal.
b)
Tallet
bestemmes med WordMat (CAS - Beregn)
Tallet
(afrundet til én decimal) er vægtforøgelsen i kg pr. år, når T-Rex’en er netop 14 år
gammel.
Opgave 13
De tre funktioner og intervallet for defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
a)
Da i intervallet (ifølge den viste figur), kan den lodrette afstand mellem graferne
for og (når ) bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn) som tallet
:
Afstanden mellem graferne for og , når , er bestemt til:
Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-
b)
Den maksimale afstand mellem graferne kan bestemmes ved finde maksimum for h(x).
For at finde maksima stater vi med at løse ligningen
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Afrundet til fire decimaler, er denne værdi:
Det kontrolleres, om den fundne værdi er maksimum for i det givne interval. Dette gøres ved at
foretage en fortegnsundersøgelse for med værdier for , der vælges før og efter den fundne værdi.
Da
i intervallet: og
i intervallet , er den fundne værdi for
maksimum for i det givne interval. Den maksimale lodrette afstand mellem graferne kan derfor
bestemmes som tallet . WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Den maksimale lodrette afstand mellem graferne og i intervallet er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til tre decimaler.
c)
Da i det givne interval, kan arealet af det afgrænsede område bestemmes som integralet:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
jf. formel 97
Arealet af det afgrænsede område mellem graferne for og er således bestemt til: