Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-
Opgaver uden hjælpemidler - den 2. juni 2014.
Alle formelnumre i de nedenstående vejledende løsninger henviser til
Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel/hvilke formler, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
Da trekanterne ABC og A
1
BC
1
er ensvinklede (ligedannede), gælder det, at forholdet
mellem to ensbeliggende sider i de to trekanter vil være lig med forholdet mellem to andre
ensbeliggende sider i de to trekanter.
Længden af siden A
1
C
1
kan derfor bestemmes som:
|A
1
C
1
|
|AC|
=
|A
1
B|
|AB|
(formel 19,20)
m
|A
1
C
1
|
|AC|
=
|A
1
A| + |AB|
|AB|
m
|A
1
C
1
| =
|AC| · (|A
1
A| + |AB|)
|AB|
kendte værdier indsættes
|A
1
C
1
| =
10 · (4 + 8)
8
m
|A
1
C
1
| =
120
8
m
|A
1
C
1
| = 15
Længden af siden A
1
C
1
er således bestemt til: |A
1
C
1
| = 15
Opgave 2
Da der er tale om en fast årlig tilvækst (20 mio. kg), er udviklingen lineær. (formel 35)
Salget (målt i mio. kg), som en funktion af antal år x efter 2004, benævnes f(x).
Salget i 2004 var på 155 mio. kg (jf. opgaveteksten).
Derved kan følgende model opstilles:
f(x) = 20x + 155
hvor f(x) er salget af økologiske fødevarer, målt i mio. kg, x år efter 2004.
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-
Opgave 3
Samtlige stamfunktioner F til funktionen f bestemmes som:
Z
f(x)dx = F (x) + k (formel 87)
hvor k er integrationskonstanten.
Samtlige stamfunktioner til f (x) = x
2
− 4x + 7 bestemmes:
Z
f(x) dx =
Z
x
2
− 4x + 7
dx
(formel 89,90)
=
Z
x
2
dx −
Z
(4x) dx +
Z
(7) dx
x
0
= 1
=
Z
x
2
dx −
Z
4x
1
dx +
Z
7x
0
dx
(formel 84)
=
1
2 + 1
· x
2+1
−
4
1 + 1
· x
1+1
+
7
0 + 1
· x
0+1
+ k
=
1
3
x
3
− 2x
2
+ 7x
1
+ k
x
1
= x
=
1
3
x
3
− 2x
2
+ 7x + k
Samtlige stamfunktioner til f (x) = x
2
− 4x + 7 er således bestemt til:
F (x) =
1
3
x
3
− 2x
2
+ 7x + k
Opgave 4
Givet funktionen f (x) = 3x
2
+ 5 kan en ligning for tangenten til grafen for f
i punktet (1, f(1)) bestemmes vha. tangentligningen:
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f(x
0
) (formel 70)
Først bestemmes den afledede funktion f
0
f
0
(x) =
3x
2
+ 5
0
m (formel 72)
f
0
(x) =
3x
2
0
+ (5)
0
|{z}
k
0
=0
m (formel 78)
f
0
(x) = 2 · 3 · x
2−1
+ 0
m x
1
= x
f
0
(x) = 6x
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-
Med x
0
= 1 bestemmes værdierne f(x
0
) og f
0
(x
0
):
f(x
0
) = 3x
2
0
+ 5
x
0
= 1 indsættes
f(1) = 3 · 1
2
+ 5
m
f(1) = 8
f
0
(x
0
) = 6x
0
x
0
= 1 indsættes
f
0
(1) = 6 · 1
m
f
0
(1) = 6
x
0
= 1, f (x
0
) = 8 og f
0
(x
0
) = 6 indsættes i tangentligningen:
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + f(x
0
)
m
y = 6 · (x − 1) + 8
m
y = 6x − 6 + 8
m
y = 6x + 2
en ligning for tangenten til grafen for f er således bestemt til:
y = 6x + 8
Opgave 5
• f(x) = 3x + 3 er en lineær funktion, hvis graf er en ret linje i et koordinatsystem.
Derfor er den viste figur ikke grafen for f. (formel 35)
• h(x) = 3 ·
1
2
x
er en eksponentielt aftagende funktion, idet fremskrivningsfaktoren
a =
1
2
er mindre end 1 (og større end 0), - altså 0 < a < 1. (formel 60)
Derfor er den viste figur ikke grafen for h.
• g(x) = 3 · 2
x
er en eksponentielt voksende funktion, idet fremskrivningsfaktoren
a = 2 er større end 1, - altså a > 1. (formel 54)
Derfor er den viste figur grafen for g.
Konklusionen er derfor, at den viste figur er grafen for g(x) = 3 · 2
x
.
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-
Opgave 6
En andengradsligning ax
2
+ bx + c = 0 vil have netop én løsning (rod),
hvis diskriminanten d = 0. Denne kan bestemmes som: d = b
2
− 4ac. (formel 39)
Mht. den aktuelle andengradsligning 3x
2
− 6x + c = 0, er a = 3 og b = −6
Værdien for c således, at der netop er én løsning, bestemmes ved indsættelse af
a = 3, b = −6 samt d = 0 i førnævnte formel til bestemmelse af diskriminanten.
Ligningen løses herefter mht. c
d = b
2
− 4ac
m værdierne indsættes
0 = (−6)
2
− 4 · 3 · c
m
0 = 36 − 12c
m
12c = 36
m
c = 3
Det konkluderes således, at andengradsligningen har netop én løsning, hvis c = 3
4