Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
1
HF Matematik B 28.august 2015
Delprøven med hjælpemidler
hfe152-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HF 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Vi indsætter data’et i et koordinatsystem og foretager en eksponentiel regression:
Tendenslinjen har følgende forskrift:
y = 765,75e
0,0415x
R² = 0,9951
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
45
Antal nedlagte dyr
År efter 1965
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
2
Vi har derved følgende b-værdi:
Vi udregner a:
b)
a-værdien siger noget om, hvor mange procent antallet af nedlagte krondyr vokser med pr. år. Vi kan
foretage følgende beregning, som viser procenten:
Ifølge modellen vokser antallet af nedlagte krondyr i gennemsnit med 4,24 % pr. år. For at bestemme
antallet af nedlagte krondyr i 2015 ifølge modellen, indsættes antallet af år efter 1965 på x’s plads,
hvorefter funktionsværdien bestemmes:
Ifølge modellen nedlægges der 6098 krondyr i 2015.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
3
Opgave 8
a)
Vi beregner længden BD ud fra oplysningerne givet i trekant ADB.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 42° , b = 6 , d = 5
A = 42°
B = 82,32367°
D = 55,67633°
BD = 4,051088
AD = 6
AB = 5
Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation
Længden BD er 4,05
b)
Tegnes højden I trekant BCD dannes den retvinklede trekant med siden BD som hypotenuse. Da vi kender
vinkel D og længden af BD, kan vi bestemme højden:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: D = 56° , H = 90° , BD = 4,051088
A
B
D
BD
AD
AB
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
4
D = 56°
B = 34°
H = 90°
h = 3,358504
b = 2,26534
BD = 4,051088
Længden af siden h findes vha. sinus
Højden I trekant BCD er 3,36.
Formlen for arealet af en trekant er givet ved:
Hvor h er højden I trekanten og g er grundlinjen, som er lig længden CD. Vi kender arealet og højden i
trekanten BCD og kan derved bestemme længden af grundlinjen:
Ligningen løses for CD vha. CAS-værktøjet WordMat.
Længden af siden CD er 5,18.
D
B
H
h
b
BD
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
5
Opgave 9
a)
Vi sætter L=20000 LE/s og bestemmer værdien af A:
Huset skal mindst ligge 609,2 meter fra stalden.
b)
Vi sætter A=400 I formlen og isolerer for L:
Ligningen løses for L vha. CAS-værktøjet WordMat.
Lugten må være 9921,3 LE/s
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
6
Opgave 10
a)
Vi definerer funktionen:
Vi sætter den differentierede ligning lig nul og isolerer for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunktet:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
1
-
0
+
↘
↗
Vi kan dermed opstille følgende monotoniforhold for f:
f er voksende i intervallet:
f er aftagende i intervallet
f har minimum for
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
7
Opgave 11
a)
Hvor x er bilens alder og f(x) er forsikringsværdien.
b)
Vi sætter funktionen lig nul og isolerer for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Bilen er 12 år gammel når forsikringsværdien er 0.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
8
Opgave 12
a)
Arealet af et rektangel bestemmes således:
Hvor l er længde og b er bredde. Vi opstiller et udtryk for rektanglens længde:
Bredden af rektanglet er lig længden x. Vi har derved følgende udtryk for arealet, som funktion af x:
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hvor x skal være større end 0 og mindre end 10, da en længde ikke kan være negativ og trådhegnet i alt er
10 meter.
b)
Vi bestemmer funktionens maksimum. Vi definerer funktionen:
Vi sætter den differentierede ligning lig nul og isolerer for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi tjekker, at der er tale om et maksimum:
Fortegnet for funktionen skifter fra positivt til negativ omkring den fundne x-værdi. Der er derfor tale om et
maksimum. Arealet af løbegården bliver størst for
.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
9
Opgave 13
a)
Vi bestemmer arealet under f, afgrænset af x-aksen og grænseværdierne a og b:
Vi definerer funktionen:
Grænseværdierne a og b er givet i opgaven:
Vi indsætter størrelserne i formlen:
Arealet af området er 7,13.
b)
Differentialkvotienten for f er lig tangents hældning. Vi sætter derfor den differentierede funktion lig -0,5
og isolerer for x.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Tangents førstekoordinat er lig 2.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015
10
Opgave 14
a)
Vi opstiller den retvinklede trekant med gelænderet som hypotenuse.
WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 30° , A = 90° , a = 3,2
B = 30°
C = 60°
A = 90°
b = 1,6
c = 2,771281
a = 3,2
Længden af siden c findes vha. cosinus:
Gelænderets vandrette side er 2,77 meter. Vi kan derfor opstille følgende udtryk for x:
Vi isolerer for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Trindybden x er lig 0,28 meter.
B
C
A
b
c
a