Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 7
a)
Tabellen indtastes i MS Excel, antal år efter 2001 bestemmes som forskellen mellem det aktuelle år og år
2001 (målt i år). Tabellen kopieres over i MS Word.
Sammenhængen mellem antal år efter 2001 og antallet af robotter bestemmes vha. en eksponentiel
regression over tabellens data, - hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel).
år
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
år efter 2001
0
1
2
3
4
5
6
7
Antal robotter
2093
2342
2630
2926
3258
3626
4115
4622
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9995476
En model for denne sammenhæng er således:
hvor er antal år efter 2001 og
er antal robotter som en funktion af .
defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion) til senere brug:
b)
Sammenhængen er eksponentiel efter modellen
jf. formel 54
Den årlige procentvise stigning kan bestemmes vha. fremskrivningsfaktoren som: jf. formel 3
Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn)
Den årlige procentvise stigning i antallet af robotter har således været:
Resultatet er afrundet til en enkelt decimal.
Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-
c)
Antallet af robotter i 2010 kan bestemmes som (da ).
På tilsvarende vis kan antallet af robotter i 2011 bestemmes som .
Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn)
Der blev således if. modellen benyttet robotter i 2010 og robotter i 2011.
Det oplyses efterfølgende, at det faktiske antal af industrirobotter i år 2010 var 5133 og 5571 i år 2011.
Ifølge modellen skulle antallet af robotter i 2010 have været godt 600 enheder mere og godt 800 enheder
mere i 2011, end de faktiske tal viser. Dette må nødvendigvis betyde, at modellen er for optimistisk
omkring udviklingen og derfor ikke kan give en troværdig prognose på antallet af robotter efter 2008.
Opgave 8
a)
Forskriften for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion):
Eventuelle ekstrema bestemmes ved at løse ligningen
.
Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
En undersøgelse af fortegnsvariationen for før, mellem og efter de fundne rødder foretages
nu med WordMat (CAS - Beregn). Derefter laves monotonilinje i WordMat (Diverse - Figurer).
Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-
Monotonilinje og konklusion.
er faldende i intervallet idet
er voksede i intervallet
idet
er faldende i intervallet
idet
er voksede i intervallet idet
b)
En ligning for tangenten til grafen for i punktet kan bestemmes vha. tangentligningen:
jf. formel 70
indsættes og udtrykket beregnes med WordMat (CAS - Beregn):
En ligning for tangenten til grafen for i punktet er således:
c)
Intervallet/intervallerne for det afgrænsede område kan bestemmes ved at løse ligningen
Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Arealet , området afgrænset af grafen for og førsteaksen, kan bestemmes som integralet: jf. formel 96
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Arealet af det afgrænsede område er således:
Resultatet er afrundet til to decimaler.
x
f’(x)
f(x)
0
1
_
0
0
+
-
+
2
-
0
Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-
Opgave 9
a)
Sammenhængen mellem bølgelængden og dens hastighed defineres, hvor bølgens hastighed
er en funktion af bølgelængden . Hertil benyttes WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Herefter bestemmes bølgelængden ved en hastighed på ved at løse ligningen
,0
Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Bølgens længde er således , når hastigheden er (resultatet er afrundet til én decimal).
b)
For potensfunktioner gælder det: jf. formel 68
Hvilket betyder, at når tallet ganges med tallet
så ganges med tallet
I dette specifikke tilfælde er og
jf. formel 3
Svaret på delopgaven kan bestemmes ud fra værdien for
.
Kendte værdier indsættes og ligningen løses i
vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses numerisk for r_x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hvilket svarer til 56,3 %, når der afrundes til en enkelt decimal jf. formel 3
Det kan således konkluderes, at bølgelængden ved er større end ved .
Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-
Opgave 10
a)
Længden af siden bestemmes vha. WordMat (Diverse - Trekant).
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 56,3° , AC = 10,0 , AB = 4,4
A = 56,3°
B = 97,85954°
C = 25,84046°
BC = 8,398434
AC = 10
AB = 4,4
Heraf fremgår det, at længden af er bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
Vinkel (vinkel i trekant ) kan bestemmes som supplementvinklen (nabovinklen) til
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Længden af siden kan bestemmes vha. af arealformlen for trekanter: jf. formel 29
De kendte værdier indsættes og bestemmes med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses for AD vha. CAS-værktøjet WordMat.
Længden af siden i trekant er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
A
B
C
BC
AC
AB
Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-
Opgave 11
a)
De tomme felter i tabellen udfyldes vha. de givne oplysninger i teksten.
Da højden forøges med 4 cm fra 172 cm til 176 cm, er den manglende armlængde:
Da armlængden forøges med 5 cm fra 65 cm til 70 cm, er den manglende højde:
Højde (cm)
172
176
196
Armlængde (cm)
64
65
70
b)
Den beskrevne sammenhæng mellem højde og armlængde er lineær jf. formel 35.
Den lineære sammenhæng mellem højden og armlængden , som en funktion af højden,
kan bestemmes vha. en lineær regression over tabellens data.
Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær):
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Formlen til at beregne armlængden, når højden er cm, er således:
hvor er højden (målt i cm) og er armens længde, som en funktion af højden (målt i cm).
Opgave 12
a)
Forskriften for defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion):
Antallet af cm
2
metalplade, der skal bruges, bestemmes som .
Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn).
Til en dåse med højden 10 cm kræves således en metalplade på
Resultatet er afrundet til én decimal.
Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-
b)
For at finde frem til den højde, der giver det mindste pladeforbrug, undersøges for eventuelle ekstrema.
Det gøres ved at løse ligningen
. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vha. en fortegnsundersøgelse for (før og efter det fundne ekstrema) kan det kontrolleres, om det fundne
ekstrema er et minimum. WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Da
før og
efter det fundne ekstrema, kan det konkluderes, at det er et minimum for .
Heraf følger, at den optimale højde for dåsen er på: når der afrundes til én decimal.