Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-
Opgaver uden hjælpemidler - den 29. august 2013
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til
Matematisk formelsamling stx/hf b, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse den pågældende opgave.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Opgave 1
a)
Den angivne model y = b · a
x
er model for eksponentielle udviklinger.
Konstanten b er lig med funktionsværdien, når x = 0, altså andenkoordinaten til grafens
skæringspunkt med y-aksen i punktet (0, b)
Grafen på Figur 1 er en eksponentielt aftagende funktion, idet 0 < a < 1,
hvilket kun opfyldes af forskriften for g, hvor a = 0, 60.
Grafen på Figur 2 skærer y-aksen i punktet (0, 5). Forskriften for h er den eneste,
hvor b = 5, hvilket medfører, at h(x) er forskriften for grafen på figur 2.
Som følge af udelukkelsesmetoden er Figur 3 således graf for f.
Konklusion:
• Figur 1 er grafen for: g(x) = 2 · 0, 60
x
• Figur 2 er grafen for: h(x) = 5 · 1, 60
x
• Figur 3 er grafen for: f(x) = 2 · 1, 12
x
Opgave 2
a)
Andengradsligningen:
ax
2
+ bx + c = 0
har løsningerne: (formel 39)
x =
−b ±
√
b
2
− 4ac
2a
I dette specifikke tilfælde er: a = 1, b = −4, c = −5, hvilket indsættes:
x =
−(−4) ±
p
(−4)
2
− 4 · 1 · (−5)
2 · 1
m
x =
4 ±
√
36
2
m
x = −1 ∨ x = 5
Andegradsligningen har således løsningerne: x = −1 ∨ x = 5
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-
Opgave 3
a)
Forskriften for antallet af PlayStation 2 i verden () er en lineær udvikling.
Modellen herfor er y = ax + b (formel 31)
Tallet a = 17, 4 betyder, at antallet af PlayStation 2 i perioden , ifølge
den angivne model, voksede med 17,4 millioner enheder om året.
Tallet b = 10, 6 betyder, at antallet af PlayStation 2 i 2001 var på 10,6 millioner enheder.
Opgave 4
a)
Givet f (x) = x
3
− 12x + 7 kan forskriften for den afledede funktion f
0
bestemmes som:
f
0
(x) =
x
3
− 12x + 7
0
m (formel 72,78)
f
0
(x) = 3 · x
3−1
− 1 · 12 · x
1−1
+ 0
|{z}
k
0
=0
m
f
0
(x) = 3 · x
2
− 12 · x
0
m x
0
= 1
f
0
(x) = 3x
2
− 12
Den afledede funktion er således bestemt til: f
0
(x) = 3x
2
− 12
Opgave 5
a)
En lodret linje gennem x = 1 indtegnes, dets skæringsunkt med grafen for f projiceres på
y-aksen, hvorved værdien f(1) kan aflæses (se nedenstående figur).
Værdien for f(1) kan således aflæses til: f(1) = 3
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-
b)
En vandret linje tegnes gennem y = 3, dets skæringspunkter med grafen for f projiceres
på x-aksen, hvorved løsningerne til ligningen f(x) = 3 kan aflæses.
(Se nedenstående figur)
Løsningerne til ligningen f(x) = 3 kan således aflæses til: x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 4
Opgave 6
Ifølge integrationsprøven er F (x) en stamfunktion til f (x), hvis F
0
(x) = f (x) (formel 87).
Derfor differentieres F og det undersøges, om F
0
(x) = f (x).
F
0
(x) =
1
5
x
5
+ e
x
− 2x
0
m (formel 72,78)
(formel 75)
F
0
(x) = 5 ·
1
5
· x
5−1
+ e
x
− 1 · 2 · x
1−1
m
F
0
(x) = x
4
+ e
x
− 2x
0
m x
0
= 1
F
0
(x) = x
4
+ e
x
− 2
Det fremgår af ovenstående beregning, at:
F
0
(x) = x
4
+ e
x
− 2 6= x
4
+
1
x
− 2
Det konkluderes, at F (x) =
1
5
x
5
+ e
x
−2x ikke er en stamfunktion til f (x) = x
4
+
1
x
−2
3