Skriftlig matematik HF B hfe131-MAT/B-
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 7
a)
De givne data indtastes i tabel vha. MS Excel og år efter 1980 beregnes som: .
Derefter kopieres tabellen over i MS Word.
År
1980
1985
1990
1998
2003
År efter 1980
0
5
10
18
23
Vægt (kg)
10,2
9,6
9,1
8,1
7,2
Den angivne model
er en lineær sammenhæng, og værdierne for og kan
bestemmes med en lineær regression over tabellens data.
Her benyttes WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær)
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9910204
HF 2. år
b)
Tallet fortæller, at vægten af vinderens cykel er aftaget med 0,127 kg om året i tidsrummet
c)
Først defineres forskriften for i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Det antal år efter 1980, hvor vægten vil være nede på 6,8 kg, bestemmes ved at løse ligningen:
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Resultatet viser, at 27,2 år efter 1980 ville vægten af vinderens cykel være nede på 6,8 kg (jf. modellen).
Dette betyder, at vægten af vinderens cykel i år 2008 ville nå ned under 6,8 kg, hvis udviklingen var forsat.
Skriftlig matematik HF B hfe131-MAT/B-
Opgave 8
a)
Vinkel i trekant og bestemmes med trekantløseren i WordMat (Diverse - Trekant):
WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 80° , C = 72° , AC = 6,8
A = 28°
B = 80°
C = 72°
BC = 3,241655
AC = 6,8
AB = 6,566951
Af resultatet fremgår det, at: og
(længden er afrundet til én decimal)
b)
Længden af siden fremgår tillige af ovenstående beregning (afrundet til én decimal):
Arealet af trekant kan bestemmes med formlen: (jf. formel 29)
Aktuelle værdier indsættes og arealet beregnes med WordMat (CAS - Beregn):
Arealet af trekant er således bestemt til:
(resultatet er afrundet til én decimal)
c)
Vinkel i trekant beregnes
Længden af siden i trekant kan bestemmes vha. arealformlen: (jf. formel 29)
A
B
C
BC
AC
AB
Skriftlig matematik HF B hfe131-MAT/B-
Aktuelle værdier indsættes og ligningen løses med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses for CD vha. CAS-værktøjet WordMat.
Længden af siden i trekant er således bestemt til:
(afrundet til én decimal)
Skriftlig matematik HF B hfe131-MAT/B-
Opgave 9
a)
Radius indsættes i den angivne formel og rumfanget bestemmes:
WordMat (CAS - Beregn)
Rumfanget af en sådan dåse med radius 4,0 cm er således bestemt til:
b)
Sammenhængen mellem radius og rumfang er en potenssammenhæng.
Der gælder for en sådan sammenhæng, at: (jf. formel 68)
hvor
og
er vækstraten for henholdsvis kaffedåsens radius og rumfang. (
Sammenhængen mellem vækstraten og den procentvise ændring er: (jf. formel 3)
En fordobling af rumfanget svarer til en procentvis tilvækst på 100 %. De aktuelle værdier indsættes i
ovenstående ligning og den løses i
ved hjælp af WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses for r_x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der er tale om en voksende potenssammenhæng, derfor forkastes den negative løsning.
Vækstraten for
(afrundet til tre decimaler), hvilket svarer til .
Radius skal således være større, hvis rumfanget skal fordobles (ved den samme højde).
Skriftlig matematik HF B hfe131-MAT/B-
Opgave 10
a)
Først defineres forskriften for i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
For at kunne argumentere for grafens forløb bestemmes først eventuelle ekstrema.
Dette gøres ved at løse ligningen
. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
De mulige ekstrema undersøges vha. en fortegnsundersøgelse for
før, mellem og efter de fundne
rødder for
. WordMat (CAS - Beregn) benyttes:
Monotonilinje tegnes med WordMat (Diverse - Figurer):
er voksende i intervallet da
er aftagende i intervallet da
er voksende i intervallet da
b)
Tangenten til grafen for i punktet
kan bestemmes med tangentligningen: (jf. formel 70)
indsættes i ovenstående og udtrykket beregnes med WordMat (CAS - Beregn):
En ligning for tangenten til i punktet er således bestemt til:
x
f(x)
_
0
0
+
-
+
Skriftlig matematik HF B hfe131-MAT/B-
c)
Ligningen løses med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen
har således løsningerne:
Løsningerne betyder, at væksthastigheden for er når eller .
Skriftlig matematik HF B hfe131-MAT/B-
Opgave 11
a)
Først defineres forskriften for i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Træningseffekten ved bestemmes ved at beregne funktionsværdien
.
WordMat (CAS - Beregn) benyttes hertil:
Træningseffekten til tidspunktet er således:
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
indsættes í den angivne formel og det samlede energiforbrug bestemmes vha. nedenstående
integrale,WordMat (CAS - Beregn) benyttes:
Personens samlede energiforbrug i løbet af de første 10 min er således:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Skriftlig matematik HF B hfe131-MAT/B-
c)
Træningstiden, der forbruger , bestemmes ved at løse nedenstående ligning i ,
hvor , hvilket defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel):
(CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes til at løse ligningen:
Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Resultatet betyder, at personen skal træne i (afrundet til ét helt antal minutter) for at
det samlede energiforbrug bliver på .