Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HFe B hfe131-MAT/b-
Opgaver uden hjælpemidler - den 31. maj 2013
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling
stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
a)
Tallet a kan bestemmes ved indsættelse af koordinatsættene for P (1, 1) og Q(4, 10) i:
a =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
(jf. formel 36)
Punkternes koordinater indsættes:
a =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
=
10 − 1
4 − 1
=
9
3
= 3
Tallet b bestemmes ved indsættelse af den fundne værdi for a samt ét af de kendte punkter
i den lineære model:
f(x) = ax + b
Punktet P (1, 1) samt a = 3 indsættes:
1 = 3 · 1 + b ⇔ b = −2
Hældningskoefficienten a og konstanten b er således bestemt til:
a = 3 og b = −2
Opgave 2
a)
Grafen for f(x) = ax
2
+ bx − 3 er en parabel.
Da a > 0 vender parabelgrenene opad.
Da konstanten c er negativ (-3), skærer grafen for f(x) y-aksen i punktet (0, −3).
b angiver hældningen for tangenten i parablens skæringspunkt med y-aksen. Da denne
er positiv mål parablens toppunkt være beliggende i tredje kvadrant.
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HFe B hfe131-MAT/b-
En mulig graf for f (x) kan derfor se således ud:
BEMÆRK:
Ved delprøven uden hjælpemidler skal ovenstående skitse af grafen tegnes "i hånden".
Opgave 3
a)
f
0
(x) =
2x
4
− 3x
0
m (jf. formel 73)
f
0
(x) =
2x
4
0
− (3x)
0
m (jf. formel 78)
f
0
(x) = 4 · 2 · x
4−1
− 1 · 3 · x
1−1
m x
0
= 1
f
0
(x) = 8x
3
− 3
f
0
er således bestemt: f
0
(x) = 8x
3
− 3
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HFe B hfe131-MAT/b-
g
0
(x) = (4 ln(x) + 5)
0
m (jf. formel 71,72)
g
0
(x) = 4 (ln(x))
0
+ (5)
0
|{z}
k
0
=0
m (jf. formel 74)
g
0
(x) = 4 ·
1
x
g
0
er således bestemt:
g
0
(x) =
4
x
Opgave 4
Da det er en fast procentvis tilvækst pr. tidsenhed, kan udviklingen i antallet af markmus
beskrives med en eksponentiel funktion. Modellen herfor: f (t) = b · (1 + r)
t
(jf. formel 54)
b = 150, da der udsættes 150 markmus i området.
t er antallet af måneder efter udsættelsen af markmus.
f(t) er antallet af markmus som en funktion af antal måneder efter udsættelsen.
Vækstraten r =
p%
100%
=
39%
100%
= 0, 39 (jf. formel 3)
Formlen for antallet af markmus, som funktion af antal måneder efter musene blev sluppet
ud i området, er således:
f(t) = 150 · (1 + 0, 39)
t
= 150 · 1, 39
t
Opgave 5
a)
Ligningen f(x) = 0 løses ved at aflæse koordinatsættene for grafen for f’s skæringspunkter
med x-aksen (rødderne for f ). Skæringspunkterne kan aflæses til: s
1
(−2, 0) og s
2
(4, 0).
Løsningerne til ligningen er således x-koordinaterne til skæringspunkterne.
f(x) = 0
m
x = −2 ∨ x = 4
Jf. tegningen på side 9 nederst i Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007.
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HFe B hfe131-MAT/b-
Differentialkvotienten f
0
(x
0
) er defineret som hældningskoefficienten for tangenten til
grafen for f i punktet (x
0
, f(x
0
)). Da tangenten til f i R(2, 4) er indtegnet, kan dennes
hældningskoefficient a
t
= f
0
(2) bestemmes ved at aflæses koordinatsættene til to punkter
på tangenten og indsætte disse koordinater i formlen: a =
y
2
−y
1
x
2
−x
1
(jf. formel 36)
To punkter på tangenten kan aflæses til: (0, 6) og (5, 1), hvilket indsættes i:
a
t
=
y
2
− y
1
x
2
− x
1
a
t
=
5 − 0
1 − 6
m
a
t
= −1
Det kan således konkluderes, at: f
0
(2) = −1
4
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HFe B hfe131-MAT/b-
Opgave 6
Samtlige stamfunktioner F (x) + c til f (x) = x
3
+ 6x
2
+ 5 kan bestemmes som:
F (x) + c =
Z
x
3
+ 6x
2
+ 5
dx (jf. formel 87)
(jf. formel 89)
=
Z
x
3
dx +
Z
6x
2
dx +
Z
5 dx
(jf. formel 84)
=
1
3 + 1
· x
3+1
+
6
2 + 1
· x
2+1
+
5
0 + 1
· x
0+1
+ c
=
x
4
4
+ 2x
3
+ 5x + c
Samtlige stamfunktioner til f (x) er således:
Z
f(x)dx =
x
4
4
+ 2x
3
+ 5x + c
hvor c er integrationskonstanten.
5