Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
1
HF Matematik B
31. maj 2016
Delprøven med hjælpemidler
Hfe161-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HF 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Der er tale om en eksponentiel model, så vi anvender eksponentiel regression. Først opstilles data i en
tabel, idet vi ved hovedregning bestemmer antal år efter 2006.
Antal år efter 2006
0
1
2
3
4
5
6
7
Installeret solenergi (målt i GW)
6,6
9,1
16
22
40
70
100
137
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9938382
Tallene og aflæses (og afrundes) af regressionsligningen:
b)
Tallet er fremskrivningsfaktor og fortæller os noget om funktionens vækstrate , idet:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
2
Det vil sige, at den installerede solenergi (målt i GW) vokser med 57,7% om året ifølge modellen.
c)
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer, hvornår funktionsværdien er lig med 1000:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
For , vil
, da er en voksende funktion.
For vil
, da er en voksende funktion.
svarer til årstallet .
Hvis udviklingen fortsætter, vil den installerede solenergi komme over 1000 GW i år 2018.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
3
Opgave 8
a)
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 101,8°, BC = 12,1, AC = 10,5
A = 42,39287°
B = 35,80713°
C = 101,8°
BC = 12,1
AC = 10,5
AB = 17,56765
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation:
Vinkel A findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant:
Længden af siden AB findes vha. en cosinusrelation
Vi konkluderer, at
.
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
4
b)
Vinkel i trekant og vinkel i trekant er supplementære (tilsammen lig med 180 grader). Vi får
så:
Ligningen løses for C_BCD vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinkel i trekant er .
Arealet af trekant kan bestemmes vha. to sider og vinklen mellem dem:
Den eneste ukendte størrelse er , så vi indsætter kendte størrelser og løser ligningen:
Ligningen løses for CD vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi konkluderer, at
.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
5
Opgave 9
a)
Da antallet af medlemmer vokser med en konstant størrelse hvert år, kan vi anvende en lineær model på
formen:
Hvor:
angiver antallet af medlemmer i de danske fitnesscentre i tusinder.
angiver antal år efter år 2006
er hældningskoefficienten og kan tolkes som -tilvæksten, når vokser med 1. Det vil sige, at
angiver -værdien for . Det vil sige, at
Den endelige model bliver så:
b)
Vi undersøger modellens bud på antallet af medlemmer i 2014 dvs. for
Modellens bud på antallet af medlemmer er altså 804.000. Den relative afvigelse fra den sande værdi er så:
Modellen rammer under 1% ved siden af i år 2014, så der er altså tale om en meget præcis forudsigelse.
Udviklingen fra er altså med meget god tilnærmelse fortsat mindst til år 2014.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
6
Opgave 10
a)
Vi definerer funktionen:
For en 35 cm lang fisk gælder, at . Vægten bliver så:
Vægten af en 35 cm lang fisk er altså ca. ifølge modellen.
b)
vokser med 25% og bliver således til
Den relative tilvækst i vægt kan da bestemmes som:
Det vil sige, at fiskens vægt vokser med 82,7%, når dens længde vokser med 25%.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
7
Opgave 11
a)
Vi definerer funktionen:
Vi løser ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for på begge sider af nulpunkterne:
Funktionen går i fra at være voksende til at være aftagende, mens funktionen i går fra at
være aftagende til at være voksende. Der er således et lokalt maksimum i og et lokalt minimum i
. Vi bestemmer funktionsværdier:
har lokalt maksimum i , og har lokalt minimum i .
b)
Vi definerer røringspunktets førstekoordinat:
En ligning for tangenten til grafen for et punkt
kan bestemmes som:
Vi konkluderer, at tangenten til grafen for i punktet
kan beskrives ved ligningen:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
8
c)
Hældningskoefficienten til tangenten for grafen for en funktion i et givet punkt
er lig med
differentialkvotienten for funktionen, når
. Vi løser så:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Førstekoordinaten til hver af de to tangenter er hhv.
og
.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
9
Opgave 12
a)
Funktionen defineres:
Arealet af kan udregnes som det bestemte integral af funktionen med og som grænser:
Arealet af området er 7,5.
b)
Når de to delområder er lige store, vil de hver især være halvt så store som :
Arealet af
kan udregnes som det bestemte integral af funktionen med og som grænser. Vi
løser så:
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi konkluderer, at de to områder har samme areal for .