Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
1
HF Matematik B 5. december 2014
Delprøven med hjælpemidler
hfe143-MAT/B-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HF 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Vi indsætter data’et i et koordinatsystem og foretager en potens regression:
Ud fra tendenslinjen kan vi aflæse følgende værdier for a og b:
y = 12,367x
0,7384
R² = 0,9754
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
65 70 75
Verdensrekord (kg)
Vægtklasse(kg)
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
2
b)
Vi opstiller funktionen som viser sammenhængen:
Vi sætter x=75 og bestemmer funktionsværdien:
Ifølge modellen er verdensrekorden i vægtløftning for kvinder i vægtklassen 75 kg lig 299,8 kg.
Dette tal er ca. 3 kg højere end det faktiske tal. Modellen afviger derved fra de faktiske tal, når vægtklassen
øges.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
3
Opgave 8
a)
Vi bestemmer længden af siden AP vha. trekant APC. Da vi kender to vinkler i trekanten og én side, kan vi
beregne størrelsen af AP vha. WordMat:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: P = 78,1° , C = 26° , AC = 240
A = 75,9°
P = 78,1°
C = 26°
PC = 237,8816
AC = 240
AP = 107,5198
Længden af siden AP findes vha. sinusrelationerne
Længden af siden AP er 107,5.
b)
Længden af siden AB bestemmes vha. trekant APB. Vi bestemmer vinkel P i trekant ABP:
Vi kender nu længden af to sider i trekanten og størrelsen af en vinkel og kan derfor bestemme den
resterende længde AB vha. WordMats trekantløser:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: P = 101,9° , BP = 72,5 , AP = 107,5198
A
P
C
PC
AC
AP
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
4
A = 30,08205°
B = 48,01795°
P = 101,9°
BP = 72,5
AP = 107,5198
AB = 141,5329
Længden af siden AB findes vha. en cosinusrelation
c)
Vi benytter følgende formel til beregning af arealet af trekanten:
Størrelserne defineres:
Størrelserne indsættes:
Arealet af trekant ABC er 16327,48.
A
B
P
BP
AP
AB
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
5
Opgave 9
a)
Tallet 2294 viser med hvor mange hospitalsindlæggelser antallet af hospitalsindlæggelser stiger for hvert år
efter år 2006. Tallet 27801 antallet af hospitalsindlæggelser i 2006.
b)
Vi definerer funktionen:
Da der er 9 år fra år 2006 til 2015, sætter vi x=9 og bestemmer funktionsværdien:
Hvis udviklingen fortsætter er der 48447 hospitalsindlæggelser i år 2015.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
6
Opgave 10
a)
Vi definerer funktionen:
Vi sætter x=-2:
Denne værdi viser, at til x-værdien x=-2, så har funktionen en y-værdi, som er lig 69.
Vi bestemmer differentialkvotienten til x=-2:
Da funktionens differentialkvotient er lig nul til x-værdien x=-2, kan vi udlede, at funktionen har enten et
maksimum, et minimum eller en vandret vendetangent til x-værdien x=-2. Ud fra grafen kan vi se, at der er
tale om et lokalt maksimum.
b)
Vi bestemmer alle løsninger til f’(x)=0:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af alle nulpunkterne:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
-2
0
3
+
0
-
0
+
0
-
↗
↘
↗
↘
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
7
Vi kan dermed opstille funktionens monotoniforhold:
f er voksende i intervallerne og
f er aftagende i intervallerne og
f har lokalt minimum for
f har lokalt maksimum for og
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
8
Opgave 11
a)
Vi opstiller en eksponentiel funktion på følgende form:
Hvor x er luftens temperaturen, og f(x) er luftens maksimale vandindhold. b-værdien er derved luftens
maksimale vandindhold, når temperaturen er 0 grader celsius.
a-værdien er fremskrivningsfaktoren. Vi bestemmer a ud fra den angivet vækstrate, som angiver hvor
mange procent luftens maksimale vandindhold stiger, når luftens temperatur stiger med 1 grad:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi opstiller funktionen:
b)
Vi sætter funktionsværdien lig 15 og løser ligningen for x:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Til temperaturen 18,46
o
C er luftens maksimale vandindhold lig 15 g/m
3
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
9
Opgave 12
a)
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer differentialkvotienten til x=0,5:
Skumhøjden aftager med en hastighed på 2,23 cm/minut.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
10
Opgave 13
a)
Vi benytter følgende formel for arealet under en graf afgrænset af x-aksen og grænseværdierne a og b:
Vi definerer funktionen:
Vi bestemmer grænseværdierne a og b ved at beregne funktionens skæring med x-aksen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi indsætter størrelserne i formlen:
Beregnes arealet vha. et integral er A lig 4,5.
b)
Vi bestemmer længden af grundlinjen, som er afstanden mellem de to skæringspunkter med x-aksen:
Vi bestemmer højden ved at beregne 2.koordinatet til toppunktet:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
11
Vi indsætter størrelserne i formlen:
Beregnes arealet vha. Archimedes’ formel er A lig 4,5 og derved fås samme resultat, som fås ved at opstille
et integral.