Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 7
a)
Tabellen oprettes i MS Word.
Den angivne sammenhæng er en potenssammenhæng. Tallene og bestemmes vha. en
potensregression over tabellens data. Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - regression - Potens).
Galapagos-
pingvin
Humboldt-
pingvin
Magellan-
pingvin
Konge-
pingvin
Højde (meter)
0,50
0,65
0,70
0,95
Vægt (kg)
2,2
4,5
4,9
15
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9850875
HF 2. år
Resultaterne er afrundet til tre decimaler.
b)
Sammenhængen mellem højde som en funktion af vægten (for pingvinerne) defineres som funktion i
WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion).
Alternativt kan definitionslighedstegnet := benyttes.
For at undersøge om sammenhængen gælder for en kejserpingvin (1,20 m / 40 kg), indsættes
i forskriften for og det undersøges, om
.
Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn).
Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-
Skulle kejserpingvinens vægt følge dens højde efter den fundne model, så skulle en kejserpingvin med en
højde på 1,20 m veje ca. 28 kg. Da det er oplyst, at den pågældende kejserpingvin vejer 40 kg, kan det
konkluderes, at den fundne sammenhæng mellem højde og vægt, ikke gælder for kejserpingviner.
Opgave 8
a)
Forskriften for defineres i WordMat (definitionslighedstegnet := benyttes).
Ligningen
løses vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Løsningen på den givne ligning er således:
Den fundne løsning betyder, at grafen for tangerer -aksen, hvor i punktet .
b)
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
kan bestemmes vha. tangentligningen:
(jf. formel 70)
indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes til bestemmelse af en ligning.
En ligning for tangenten til grafen for i punktet
er således:
c)
Arealet af det farvede område kan bestemmes som værende lig med integralet: (jf. formel 96)
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Arealet af området, der afgrænses af grafen for , førsteaksen, linjen samt linjen ,
er således bestemt til (resultatet er afrundet til to decimaler):
Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-
Opgave 9
a)
Stigningen for bruttotonnagen (BT) i årene efter 1999 er oplyst værende fast 0,33 mio. BT om året,
hvilket betyder, at der er tale om en lineær udvikling efter modellen
(jf. formel 35)
Hvis angiver antal år efter 1999 og
angiver bruttotonnagen (målt i mio.) som en funktion af
antal år efter 1999, kan følgende lineære sammenhæng opstilles:
b)
Den fundne forskrift defineres i WordMat (definitionslighedstegnet := benyttes).
Det år, hvor bruttotonnagen oversteg 5,0 mio., kan bestemmes ved at løse ligningen
Denne løses vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Af resultatet fremgår det, at bruttotonnagen oversteg 5,0 mio. godt og vel 7 år efter 1999,
hvilket var i år (i løbet af august måned).
Opgave 10
a)
Længden af korden kan bestemmes vha. de givne oplysninger , samt
hertil benyttes WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant) med input: B = 135° , BA = 7,7 , BC = 7,7
B = 135°
C = 22,5°
A = 22,5°
CA = 14,22774
BA = 7,7
BC = 7,7
Længden af er således bestemt til:
(resultatet er afrundet til én decimal)
B
C
A
CA
BA
BC
Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-
b)
Arealet af trekant kan bestemmes som: (jf. formel 29)
De givne værdier indsættes og arealet bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn).
Arealet af trekant er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til to decimaler.
Arealet af hele grundplanen (polygonen) kan bestemmes som summen af trekanternes arealer og arealet
for firkant . Trekanterne er identiske og har dermed samme areal.
Arealet for hele grundplanen kan således bestemmes som:
De givne værdier indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Arealet er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
c)
Trekant og trekant er ligedannede (ensvinklede) trekanter. Man kan derfor opstille forhold
mellem ens beliggende sider i de to trekanter og bestemme en skalafaktor (jf. formel 19)
Længden af siden kan derfor bestemmes som:
De kendte værdier indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes til beregningen.
Længden af siden er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-
Opgave 11
a)
Sammenhængen mellem og fedtprocenten defineres i WordMat (vha. definitionslighedstegnet :=),
hvor fedtprocenten er en funktion af , herefter benævnt med .
Fedtprocenten for en kvinde med et BMI på 28, kan således bestemmes som .
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Fedtprocenten, når er således:
Resultatet er afrundet til én decimal.
for en kvinde med en fedtprocent på 20 %, kan bestemmes ved at løse ligningen
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
En kvinde med fedtprocenten 20 %, vil således have et på:
Resultatet er afrundet til én decimal.
b)
I den angivne formel
kan isoleres vha. WordMat.
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses for BMI vha. CAS-værktøjet WordMat.
Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-
Opgave 12
a)
Den samlede længde af kablet fra til gennem kan bestemmes som
Afstanden fra til samt fra til kan bestemmes vha. Pythagoras’ læresætning, da de to trekanter, som
dannes mellem jorden, stolpen og wirerne, er retvinklede (jf. formel 21)
Wirens samlede længde afhænger af afstanden målt fra den venstre stolpe til punktet .
Den samlede wirelængde , som en funktion af afstanden , kan bestemmes som:
Hvilket skulle vises.
Da afstanden mellem stolperne er oplyst værende 10 meter, følger at:
b)
Funktionsudtrykket defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=
Afstanden , så den samlede længde af wiren er mindst mulig, kan bestemmes ved at
løse ligningen
. Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den afstand , der giver den kortest mulige wire, er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til to decimaler.