Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-
Opgaver uden hjælpemidler - den 6. december 2013
Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til
Matematisk formelsamling stx/hf b, 2007 fra Matematiklærerforeningen.
Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse den pågældende opgave.
Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.
Opgave 1
a)
x = 4 indsættes i ligningen og det undersøges, om værdien opfylder ligningen:
23 − 3x = 11
x = 4 indsættes
23 − 3 · 4 = 11
m
23 − 12 = 11
m
11 = 11
Da begge sider af lighedstegnet er ens, opfylder x = 4 ligningen.
x = 4 er derfor en løsning til ligningen.
Opgave 2
a)
De to andengradspolynomier har ikke samme a-værdi, idet parabelgrenene ikke vender i
samme retning, når man sammenligner de to grafer.
Fortegnet for koefficienten til andengradsleddet a har betydning for, hvorvidt parablens
grene vender opad eller nedad. En positiv a-værdi får parabelgrenene til at vende opad,
omvendt får en negativ a-værdi parabelgrenene til at vende nedad.
Desuden er grafen for P
2
mere "åben" end grafen for P
1
De to andengradspolynomier har ikke samme b-værdi, idet en tangent til hver af de to
grafer, i deres respektive skæringspunkteter med y-aksen, vil have forskellige hældnings-
koefficienter.
En tangent til grafen for andengradspolynomiet y = ax
2
+ bx + c i grafens skæringspunkt
med y-aksen, vil have en hældningskoefficient svarende til værdien for b.
Til gengæld har de to polynomier samme c-værdi, idet de skærer y-aksen i samme punkt.
Grafen for andengradspolynomiet y = ax
2
+ bx + c skærer y-aksen i punktet (0, c)
1
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-
Opgave 3
a)
Der er tale om eksponentiel vækst.
Sammenhængen y = 2, 7 · 0, 96
x
, mellem prisen på rækkehuse og antal år efter 2008,
er en eksponentiel sammenhæng, hvortil modellen er: y = b · a
x
(jf. formel 60)
Tallet 2,7 (målt i mio kr.) er begyndelsesværdien.
Prisen var således 2,7 mio. kr. i 2008 for et rækkehus i det pågældende kvarter.
Tallet 0,96 er fremskrivningsfaktoren. Da tallet er mindre end 1, er der tale om en
aftagende sammenhæng, hvor vækstraten r = 0, 96 − 1 = −0, 04,
hvilket betyder, at husprisen faldt med 4 % om året i årene efter 2008.
Opgave 4
a)
Værdien f (0) aflæses på grafen for f som y−koordinaten til skæringspunktet P (0, f (0))
mellem grafen for f og y-aksen.
f(0) = 4
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-
f
0
(0) kan bestemmes som hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f i P (0, f (0)).
To punkter aflæses på tangenten (−2, 0) og (2, 8).
Hældningskoefficienten a
t
(og dermed f
0
(0)) kan bestemmes som: (jf. formel 30)
f
0
(0) = a
t
=
y
2
− y
1
x
2
− x
1
aflæste punkter indsættes
f
0
(0) =
8 − 0
2 − (−2)
m
f
0
(0) = 2
Værdien f
0
(0) er således bestemt til: f
0
(0) = 2
Opgave 5
a)
Diskriminanten d for andengradsligningen ax
2
+ bx + c = 0 kan bestemmes som:
I dette tilfælde er a = 1, b = 2 og c = −8
d = b
2
− 4ac (jf. formel 39)
kendte værdier indsættes
d = 2
2
− 4 · 1 · (−8)
m
d = 36
Diskriminanten d er således bestemt til: d = 36
Andengradsligningen, der har to løsninger idet d > 0, løses som:
x =
−b ±
√
d
2a
(jf. formel 39)
kendte værdier indsættes
x =
−2 ±
√
36
2 · 1
m
x =
−2 ± 6
2
m
x =
−2 − 6
2
∨ x =
−2 + 6
2
m
x = −4 ∨ x = 2
Andengradsligningen har således løsningerne: x = −4
∨ x = 2
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-
Opgave 6
a)
Bestemmelse af integralet:
(jf. formel 84,89)
Z
x
3
+ 4x − 3
dx =
Z
x
3
+ 4x
1
− 3x
0
dx
=
1
3 + 1
· x
3+1
+
4
1 + 1
· x
1+1
−
3
0 + 1
· x
0+1
+ k
=
1
4
x
4
+ 2x
2
− 3x + k
hvor k er integrationskonstanten.
4