Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2011
1
HF Matematik B
31. august 2011
hfe112-MAT/B-
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 5
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HFe B hfe112-MAT/B-
Opgave nr. 1 (uden hjælpemidler).
(a) Udtrykket reduceres under anvendelse af kvadratsætningen om kvadratet på en
differens.
y · (2x − y) + (y − x)
2
= 2xy − y
2
+ (y − x)
2
(jf. formel 8)
= 2xy − y
2
+ y
2
+ x
2
− 2xy
= (2xy − 2xy) + (y
2
− y
2
) + x
2
= x
2
.
Udtrykkes reduceres således til x
2
.
Opgave nr. 2 (uden hjælpemidler).
(a) Da rødderne er −2 og 4, haves de tre punkter
(−2, 0), (4, 0), (1, −5) .
Ud fra disse tre punkter tegnes grafen for f.
Da grafens ben vender opad er a > 0. Af grafen aflæses opså at c = f(0) < 0.
Opgave nr. 3 (uden hjælpemidler).
(a) Da funktionen f er eksponentielt voksenden med fordoblingskonstanten 3, må
funktionsværdi fordobles hver gang x stiger med 3. Der gælder altså at
f(3) = 2 · f(0) = 10 og f(6) = 2 · f(3) = 20 .
Skemaet bliver altså som herunder.
x 0 3 6
f(x) 5 10 20
Opgave nr. 4 (uden hjælpemidler).
(a) Da x betegner antal år efter år 2000, og y betegner mængden af internationalt
gods målt i millioner ton, haves de to punkter
(0, 30) og (25, 80) .
Først bestemmes hældningskoefficienten (jf. formel 30)
a =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
=
80 − 30
25 − 0
=
50
25
= 2 .
2
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HFe B hfe112-MAT/B-
Ved at indsætte det ene af punkterne i ligningen
y = 2x + b
kan også b bestemmes.
30 = 2 · 0 + b ⇔ b = 30 .
Der gælder altså at a = 2 og b = 30
Opgave nr. 5 (uden hjælpemidler).
(a) På figuren herunder er størrelsen af f(1) illustreret ved længden af den blå
prikkede linie. Fortegnet er negativ da linien ligger under førsteaksen. Hældnin-
gen af den grønne stiplede linie illustrer f
0
(1). Der gælder altså f (1) ≈ −3 og
f
0
(1) ≈ 0.
3
Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HFe B hfe112-MAT/B-
Opgave nr. 6 (uden hjælpemidler).
(a) At g(x) er en stamfunktion til f(x) betyder at g
0
(x) = f(x). g(x) differentieres.
g
0
(x) =
3
2
x
2
+ 4x + 3
0
(jf. formel 89)
=
3
2
x
2
0
+ (4x)
0
+ (3)
0
(jf. formel 84)
= 3x + 4 + 0
= f (x) .
Det ses altså at g
0
(x) = f(x) så g er en stamfunktion til f .
Integralet bestemmes under anvendelse at at g er en stamfunktion til f (jf.
formel 91)
Z
2
0
f(x) dx = [g(x)]
2
0
= g(2) − g(0)
=
3
2
· 2
2
+ 4 · 2 + 3 −
3
2
· 0 + 4 · 0 + 3
=
12
2
+ 8 + 3 − 3 = 14 .
Alle formlerne henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Bemærk: Formelsamling må ikke anvendes til opgaver uden hjælpemidler.
Referencer til en formelsamling bør ikke medtages i en besvarelse, og formel-
henvisninger kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til,
at vi medtager formelnumre i vores løsninger, er så du præcist kan se hvilken
formel, der bruges i hver mellemregning.
4
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2011
5
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Udviklingen kan beskrives med en lineær funktion, da tilførsel af saltvand sker med en fast størrelse for hvert
minut, vi bestemmer derfor en model for rumfanget af saltvand tilbage i dropflasken efter x antal minutter
vha. af lineær regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
Tid (minutter)
Rumfang (mL)
30
790
60
655
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
𝑦=−4,5𝑥+925
En formel til at beregne mængden af saltvand i flasken efter x antal minutter er bestemt til ovenstående
udtryk.
b)
Vi kan fra modellen aflæse, at patienten får tilført 4,5 mL saltvand pr. minut, og til at starte med, dvs. x = 0,
var der 925 mL saltvand i dropflasken.
Opgave 8
a)
Vi bestemmer længden af siden BC med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 34,1°, C = 24,4°, AB = 10,3
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2011
6
A = 34,1°
B = 121,5°
C = 24,4°
BC = 13,978503
AC = 21,259016
AB = 10,3
Længden af siden BC findes vha. sinusrelation.
Siden BC er bestemt til 13,98 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer først vinkel B i trekant ABC, så vi kan bestemme vinkel B i trekant AHB.
I trekant ABC.
Vi har derved, at vinkel B i trekant AHB er givet ved:
Vi bestemmer siden AH vha. sinusrelation.
Ligningen løses for AH vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi arbejder ikke med negative længder, derfor er AH = -8,7821937 ikke en løsning til opgaven.
Længden af siden AH er bestemt til 8,78 (afrundet til 2 decimaler).
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2011
7
Opgave 9
a)
Modellen er en eksponentiel funktion.
Tallet 300 841 betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. antallet af danske brugere af Facebook i år 2007 var
300 841.
Tallet 1,147 betegner fremskrivningsfaktoren a. Med fremskrivningsfaktoren a kan vi beregne vækstraten r.
Dvs. at for hvert år i perioden december 2007 til januar 2009 vokser antallet af danske brugere af Facebook
med 14,7 %.
b)
Vi definerer forskriften for modellen.
Vi bestemmer, hvor mange måneder, der ifølge modellen går, før antallet af danske brugere af Facebook
overstiger 1 million ved at løse uligheden f(x) > 1000000 for x. Da WordMat har problemer med at løse
uligheder, hvori der indgår en eksponent, løser vi i stedet f(x) = 1000000 for x.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen går der 8,76 måneder (afrundet til 2 decimaler), før antallet af danske brugere af Facebook
kommer over 1 million.
c)
Vi bestemmer antallet af danske brugere af Facebook i oktober 2009 ved at bestemme f(22).
Ifølge modellen vil der i oktober 2009 være 6147977 (afrundet til helt tal) danske brugere af Facebook.
Vi kommenterer modellen.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2011
8
Sammenligner vi det faktiske tal for antallet af danske brugere af Facebook i oktober 2009 på 2,1 millioner
med modellens på 6147977 dvs. over 6 millioner, står det klart, at udviklingen i antallet af danske brugere af
Facebook er sket langsommere end forudsagt af modellen. Vi kan konkludere, at modellen ikke er pålidelig
med hensyn til at forudsige antallet af danske brugere af Facebook udenfor modellens gyldighedsområde.
Opgave 10
a)
Vi definerer forskriften for f(x).
Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion.
f er voksende i intervallet ]-∞; 1] og [3; ∞[
f er aftagende i intervallet [1; 3]
b)
Vi definerer førstekoordinaten til punktet P.
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2011
9
c)
Vi benytter, at differentialkvotienten i et punkt på en graf pr. definition er lig tangenthældningen til grafen i
samme punkt. Vi bestemmer førstekoordinaten til den anden tangent, der er parallel med t.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har, at x = 0 er førstekoordinaten til tangenten t.
Vi bestemmer anden koordinaten til røringspunktet mellem tangenten og grafen for f.
Koordinatsættet til røringspunktet for tangenten , der er parallel med t, bestemt (4,4).
Opgave 11
a)
Modellen kan beskrives med en potens funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med potens regression.
Vi beregner værdierne for sidste punkt i regressionen.
Hastighed (km/h)
Bremselængde (m)
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
Hastighed (km/h)
Bremselængde (m)
60
26
72
37,44
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Tallet a er bestemt til 2, og tallet b er bestemt til 0,0072 (afrundet til 4 decimaler).
Opgave 12
a)
Vi definerer forskriften for f(x) og g(x).
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2011
10
Vi løser ligningen f(x) = g(x) for x.
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.
Ligningen f(x) = g(x) er bestemt til x = 0,241 og x = 1,090 (begge afrundet til 3 decimaler).
Arealet af området, der afgrænses af graferne for f og g, er givet ved skæringspunkterne mellem graferne
dvs. løsningerne bestemt i opg a). Vi bestemmer arealet af det afgrænsede område.
Arealet af området er bestemt til 0,41 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 13
a)
Vi bestemmer arealet af flodbassinet Big Creek, ved at løse for x, når y = 21,5.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen er arealet af flodbassinet Big Creek 89,8 km
2
(afrundet til 1 decimal).
b)
Vi bestemmer tallene a og b ved at omskrive udtrykket opgivet i opgaveformuleringen til formen y = b • a
x
.
Først isolerer vi y.
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. august 2011
11
WordMat kan ikke reducere udtrykket yderligere, vi reducerer derfor udtrykket manuelt. Vi benytter reglen
for logaritmen 10
log(x)
= x og potensreglen (a
r
)
s
= a
r
•
s
.
Tallet a er bestemt til 0,59, og tallet b er bestemt til 1,514 (afrundet til 3 decimaler).