Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2010
1
HF Matematik B
1. juni 2010
hfe101-MAT/B-
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6
Studiekompasset.dk HFe matematik B den 1. juni 2010 hfe101-Mat/B-
Opgave nr. 1 (uden hjæ lpemidler).
(a) Først reduceres udtrykket 5a(a − 2) + 3a.
5a(a − 2) + 3a =
5a
2
− 10a + 3a =
5a
2
− 7a
Nu løses ligningen 8x + 18 = 2x − 6.
8x + 18 = 2x − 6
m
8x − 2x = −6 − 18
m
6x = −24
m
x = −4
Opgave nr. 2 (uden hjæ lpemidler).
Figuren viser grafen for et tredjegradspolynomium f
(a) f
0
(x
0
) er differentialkvotienten til f i punktet x
0
og er lig med hældningskoefficienten
for tangenten til grafen for f i punktet (x
0
, f(x
0
)).
Den viste graf er påtegnet vandrette tangenter, hvor grafen for f har ekstrema, hvilket
betyder, at f
0
(x) = 0 i de viste punkter.
2
Studiekompasset.dk HFe matematik B den 1. juni 2010 hfe101-Mat/B-
Løsningerne til ligningen kan således aflæses af grafen:
f
0
(x) = 0
m
x = 1 ∨ x = 3
Lokale ekstrema kan således også aflæses, hvor der er vandret tangent til grafen for
f:
• f har lokalt maksimum i punktet (1, 6)
• f har lokalt minimum i punktet (3, 2)
Opgave nr. 3 (uden hjælpemidler).
(a) Det årlige antal enheder f (målt i stk.), som fabrikken fremstiller, kan som en funktion
af tiden x (målt i år efter 2005) beskrives med den eksponentielle vækstmodel:60
f(x) = b · a
x
= b · (1 + r)
x
.
hvor r er vækstraten, som her er negativ, da produktionen er aftagende
r =
p[%]
100
.
b er det producerede antal enheder i 2005 og x er antal år efter 2005.
Dermed kan følgende formel, der beskriver udviklingen i antallet af producerede
enheder pr. år i årene efter 2005, opstilles:
f(x) = b · (1 + r )
x
= b ·
1 +
p[%]
100
x
= 126000 ·
1 +
−3
100
x
= 126000 · (1 − 0, 03)
x
= 126000 · 0, 97
x
Forskriften for udviklingen i produktionen er således:
f(x) = 126000 · 0, 97
x
.
En fast årlig procentvis ændring er kendetegnende for eksponentiel vækst.
I dette specifikke tilfælde er der tale om en negativ vækst, idet antallet af producerede
enheder aftager med 3% om året.
3
Studiekompasset.dk HFe matematik B den 1. juni 2010 hfe101-Mat/B-
Opgave nr. 4 (uden hjælpemidler).
(a) Integralet bestemmes
Z
1
0
5x
4
+ 4x
dx = 94
=
Z
1
0
5x
4
dx +
Z
1
0
4x dx
92og84
= [
5
5
x
5
]
1
0
+ [
4
2
x
2
]
1
0
= 1 − 0 + 2 − 0 = 3.
Det er således bestemt at
Z
1
0
5x
4
+ 4x
dx = 3.
Opgave nr. 5 (uden hjælpemidler).
(a) Først bestemmes f
0
ved hjælp af regnereglerne for differentiering af polynomier.
f
0
(x) = (x
3
+ x − 2)
0
72og73
= (x
3
)
0
+ (x)
0
− (2)
0
78
= 3x
2
+ 1
Den afledte funktion til f er således bestemt til
f
0
(x) = 3x
2
+ 1.
f
0
(x
0
) er differentialkvotient til f i punktet x
0
og er lig med hældningskoefficienten
for tangenten til grafen for f i punktet (x
0
, f(x
0
)).
Da det af forskriften for f
0
tydeligt fremgår, at f
0
(x) > 0 i hele definitionsmængden,
medfører dette, at f er voksende i hele definitionsmængden.
Opgave nr. 6 (uden hjælpemidler).
(a) Konstanten c kan på graferne for f og g aflæses som y-koordinaten til grafernes
skæringspunkt med y-aksen. Ved aflæsning kan det bestemmes, at c = 4.
Der er flere måder, hvorpå det kan afgøres hvilken graf (blå/venstre eller rød/højre),
der er grafen for f .
Metode 1:
Da parablernes toppunkter ligger i henholdsvis 1. og 2. kvadrant, kan det ved en
fortegnsundersøgelse for x-koordinaten til toppunktet bestemmes, hvorvidt grafen
for f er den ene eller den anden 37.
f : x
tp
=
−b
2a
=
−2
2 ·
1
2
= −2
4
Studiekompasset.dk HFe matematik B den 1. juni 2010 hfe101-Mat/B-
g : x
tp
=
−b
2a
=
−(−2)
2 ·
1
2
= 2
Det kan dermed konkluderes, at den blå parabel (til venstre) er grafen for f,
da x-værdien for toppunktet til parabel f er negativ.
Metode 2:
Denne metode er „i famillie med“ den foregående, da det for en parabel gælder:
hvis fortegnene for a og b er ens, så ligger toppunktet i 2. eller 3. kvadrant.
hvis fortegnene for a og b er forskellige, så ligger toppunktet i 1. eller 4. kvadrant.
Da a > 0 og b > 0 for f, vil toppunktet være beliggende i 2. eller 3. kvadrant.
Derfor kan det konkluderes, at den blå parabel (til venstre) er grafen for f
Metode 3:
Det gælder for et andengradspolynomium (parabel), at fortegnet for b er lig med for-
tegnet for differentialkvotienten til funkionen, når x = 0. Dermed er fortegnet for b lig
med fortegnet for hældningskoefficienten for tangenten til grafen i skæringspunktet
med y-aksen.
Da b > 0 i forskriften for f , vil grafen for f have en tangent i skæringspunktet
med positiv hældningskoefficient. Dette opfyldes af den blå parabel (til venstre).
5
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2010
6
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 7
a)
Modellen kan beskrives med en eksponentiel funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med eksponentiel
regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
År
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
År efter år 1997
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Indbetalinger til
arbejdsmarkedsordninger
i mia. kr.
30
34
37
42
46
51
57
63
69
78
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,
Tallet a er bestemt til 1,11 (afrundet til to decimaler), og tallet b er bestemt til 30,31 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer fordoblingstiden.
Fordoblingstiden er bestemt til 6,64 år (afrundet til 2 decimaler), dvs. ifølge modellen vil indbetalinger til
arbejdsmarkedsordninger fordobles for hver 6,64 år.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2010
7
c)
Med fremskrivningsfaktoren a = 1,1100998 kan vi beregne den årlige vækstrate r.
Ifølge modellen er den årlige indbetaling vokset med 11 % (afrundet til helt tal) om året.
Vi beregner den procentvise stigning i indbetaling til arbejdsmarkedsordning for en 5-årsperiode ved:
Ifølge modellen er indbetalingerne i en 5-årsperiode vokset med 68,51 % (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 8
a)
Vi bestemmer længden af stien AC med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 90°, A = 49,4°, BA = 300
B = 90°
A = 49,4°
C = 40,6°
AC = 460,98938
BC = 350,01601
BA = 300
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden AC findes vha. sinus
B
A
C
AC
BC
BA
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2010
8
Længden af siden AC er bestemt til 461,0 m (afrundet til 1 decimal).
b)
Vi bestemmer vinkel D i trekant ACD med WordMats trekantsløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: CD = 260, AD = 423, AC = 460,98938
A = 33,863661°
C = 65,033095°
D = 81,103244°
CD = 260
AD = 423
AC = 460,98938
Vinkel A og C findes vha. cosinusrelationer
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Vinkel D i trekant ACD er bestemt til 81,1° (afrundet til 1 decimal).
A
C
D
CD
AD
AC
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2010
9
c)
Vi bestemmer arealet af de to trekanter ABC og ACD med en sinusrelation.
Arealet af trekant ABC.
Arealet af trekant ABC er bestemt til 51502,4 m
2
(afrundet til 1 decimal).
Arealet af trekant ACD.
Arealet af trekant ACD er bestemt til 54328,4 m
2
(afrundet til 1 decimal).
Vi har, at området ABC < ACD da 52502,4 < 54325,4.
Vi kan konkludere, at området af parken, der udgør trekant ACD, er størst.
Opgave 9
a)
Udviklingen kan beskrives med en lineær funktion, da der betales et fast beløb pr. kubikmeter vand.
f(x) beskriver den samlede udgift til vand i år 2009 for en forbruger i Holstebro (målt i kr.), hvor x > 0.
x betegner forbruget af vand (målt i kubikmeter).
a betegner prisen pr. kubikmeter vand, dvs. a er lig 34,15 kr.
b betegner et fast årligt abonnement, dvs. b er lig 581,25 kr.
Vi opskriver (og definerer til senere brug) en model for udgifterne til vandforbruget i år 2009 i Holstebro for
hver forbruger.
En model, der beskriver de samlede udgifter for vandforbruget for hver forbruger i Holstebro i år 2009, er
bestemt til ovenstående udtryk.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2010
10
b)
Vi definerer forskriften for y som funktion af x:
Vi bestemmer, hvor stort vandforbruget skal være, for at en forbruger i Holstebro skal betale mere end en
forbruger i Hillerød, ved at løse uligheden y(x) > f(x) for x.
Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellerne skal det årlige vandforbrug for en forbruger i Holstebro være større end 17,83 kubikmeter
vand, før at en forbruger i Holstebro skal betale mere end en forbruger i Hillerød.
Opgave 10
a)
Vi bestemmer den årlige produktion for en minivindmølle med vingelængde på 50 cm ved at bestemme E,
når x = 50.
Den årlige produktion er bestemt til 350 kWh.
Vi bestemmer vingelængden, så den årlige produktion bliver 600 kWh, ved at løse for x, når E = 600.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi arbejder ikke med negative længder, derfor er x = -65,465367 ikke en løsning til opgaven.
Ifølge modellen skal vingelængden være 65,47 cm (afrundet til 2 decimaler) for at den årlige produktion
bliver 600 kWh.
b)
Vi definerer tallet 2 som a og væksten for den større årlige produktion som r
y
.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2010
11
Vi bestemmer, hvor mange procent større den nye vindmøllevinge skal være ved at løse for r
y
i nedenstående
udtryk.
Ligningen løses for r_x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da de nye vinger ikke kan være mindre end 100 % af de gamle er r
x
= -2,2247449 ikke en løsning til opgaven.
Ifølge modellen skal den nye vindmøllevinge være 22,47 % (afrundet til 2 decimaler) længere end den forrige.
Opgave 11
a)
Vi definerer forskriften for f.
Vi bestemmer monotoniforhold for f. Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion f’.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion.
f er voksende i intervallet ]-∞; -2,19] og [0; 0,69]
f er aftagende i intervallet [-2,19; 0] og [0,69; ∞[
(nulpunkterne er afrundet til 2 decimaler).
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2010
12
Vi tegner grafen for f.
b)
Vi definerer førstekoordinaten for punktet P.
𝑥
0
≔−2
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.
𝑦
𝑡
=𝑓
′
(
𝑥
0
)
·
(
𝑥−𝑥
0
)
+𝑓
(
𝑥
0
)
=−4·𝑥+5
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.
c)
Vi bestemmer førstekoordinaten til punktet Q ved at bestemme det andet røringspunkt mellem grafen for f
og tangenten t.
𝑓
(
𝑥
)
=𝑦
𝑡
⇕
𝑓
(
𝑥
)
=−4𝑥+5
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2010
13
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har, at x = -2 er førstekoordinaten for punktet P, dvs. x = 1 er førstekoordinaten til punktet Q.
Vi bestemmer anden koordinaten til punktet Q.
Koordinatsættet til punktet Q er bestemt til Q(1, 1).
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12a og 12b. Her bringes alle løsninger, så
du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 12a
a)
Vi definerer forskriften for f(x) samt definitionsmængden for x.
Vi bestemmer en stamfunktion F(x) til f ved at integrere f(x).
Vi bestemmer netop, den stamfunktion, der opfylder F(1) = 5, ved at løse F(1) = 5 for k.
Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi opskriver stamfunktionen, der opfylder F(1) = 5.
Et udtryk for stamfunktionen, der opfylder F(1) = 5, er bestem til ovenstående udtryk.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2010
14
Opgave 12b
a)
Vi definerer forskriften for f(x).
Vi bestemmer grænserne for arealet af det røde område som skæringspunkterne mellem grafen for f og x-
aksen.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi indser vha. illustrationen i opgaveformuleringen at arealet af det røde område er afgrænset i intervallet
[2; 5].
Vi bestemmer arealet af det røde område ved:
Arealet af det røde område er bestemt til 11,25.