Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
1
HF Matematik B
11. maj 2009
HFE091-MAB
Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2
Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 7
Studiekompasset.dk Matematik B-niveau den 11. maj 2009 HFE091-MAB
Opgave 1 (uden hjælpemidler )
Grafen for den lineære funktion f(x) = ax + b går gennem punkterne (1, 0) og (3, 4)
(a) Bestem tallene a og b.
Tallet a er den såkaldte hældningskoefficient
til grafen for den lineære funktion f(x).
Det betyder, at ændres værdien af den uaf-
hængige variabel x med én enhed, så vil f(x)
ændres med a enheder.
Funktionsværdien f(x) kaldes ofte for den
afhængige variabel y.
Hældningskoefficienten a kan beregnes som
forholdet mellem en ændring på x-aksen og
den deraf betingede ændring på y-aksen.
Hældningskoefficienten omtales ofte som
stigningstallet.
Figur 1. Eksempel på lineær funktion
Konstanten b angiver grafens skæringspunkt
med y-aksen i punktet (0, b).
For at kunne bestemme hældningskoefficienten skal
der bruges to punkter på grafen for funktionen, hvil-
ket er opgivet i opgaveteksten:
P
1
(x
1
, y
1
) = (1, 0)
P
2
(x
2
, y
2
) = (3, 4)
Bestemmelse af hældningskoefficienten a:
a =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
(formel nr. 36)
(indsæt punkterne P
1
og P
2
i form len)
a =
4 − 0
3 − 1
m
a = 2
Ved bestemmelse af b indsættes koordinaterne fra et punkt på linjen samt den fundne
hældningskoefficient a i formlen for en lineær funktion:
y = ax + b (formel nr. 31)
(indsæt a = 2 og det ene punkt)
0 = 2 · 1 + b
m
b = −2
Forskriften for den lineære funktion gennem de angivne punkter kan nu bestemmes
til y = 2x − 2 (dette er dog ikke en del af opgaven i henhold til opgaveteksten).
2
Studiekompasset.dk Matematik B-niveau den 11. maj 2009 HFE091-MAB
Opgave 2 (uden hjælpemidler )
Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende funktion.
(a) Bestem halveringskonstanten.
Funktionen kaldes f for nemheds skyld.
Funktionens halveringskonstant, som benævnes T
1
2
,
er størrelsen af netop den ændring på førsteaksen,
der medfører en eksakt halvering af funktionsværdien
f(x) på andenaksen.
Hvilket i praksis betyder:
T
1
2
= x
2
− x
1
når f(x
2
) =
1
2
· f(x
1
)
Figur 2a. Grafen fra opgaveteksten
For at kunne bestemme halveringskonstanten må man i dette tilfælde først finde to
punkter på grafen, hvor forholdet mellem funktionsværdierne er, som angivet herover.
Dernæst må man så aflæse de tilhørende x-værdier på førsteaksen. Det er naturligvis
vigtigt, at man er så omhyggelig og nøjagtig, som det overhovedet kan lade sig gøre.
På figur 2b. herunder er der indtegnet et eksempel på en sådan aflæsning.
Som det fremgår af tallene, så er funktionsværdierne f(x
1
) og f (x
2
) valgt på andenaksen,
således at forholdet mellem dem opfylder betingelsen f (x
2
) =
1
2
· f(x
1
).
Figur 2b. Aflæsninger indtegnet
De aflæste punkter på grafen:
(x
1
; f(x
1
)) = (1; 11)
(x
2
, f(x
2
)) = (4; 5, 5)
Derved kan halveringskonstanten for den
pågældende funktion f bestemmes som:
T
1
2
= x
2
− x
1
(formel nr. 64)
(indsæt x
1
og x
2
)
T
1
2
= 4 − 1
m
T
1
2
= 3
Halveringskonstanten T
1
2
er altså lig med 3, hvilket er svaret på opgavens spørgsmål (a).
Det kan slutteligt konkluderes, at det forholder sig altså således, at hver gang funktionen
har en tilvækst på førsteaksen på netop 3 enheder, så vil funktionsværdien på andenaksen
blive halveret.
3
Studiekompasset.dk Matematik B-niveau den 11. maj 2009 HFE091-MAB
Opgave 3 (uden hjælpemidler)
Funktionerne f og g er givet ved
f(x) = x
4
+ 3x
2
− 5x og g(x) = ln(x) + 7
(a) Bestem f
0
(x) og g
0
(x).
f
0
(x) =
x
4
+ 3x
2
− 5x
0
(formlerne nr. 72 og 73)
=
x
4
0
+
3x
2
0
− (5x)
0
(formel nr. 78)
= 4 · x
(4−1)
+ 2 · 3 · x
(2−1)
− 1 · 5 · x
(1−1)
= 4x
3
+ 6x
1
− 5x
0
(da x
1
= x og x
0
= 1)
= 4x
3
+ 6x − 5
Med hensyn til f (x) så er regnereglen, der skal tages i anvendelse i dette tilfælde:
dy
dx
(p · x
n
) = n · p · x
n−1
(anvendes på hvert af leddene i forskriften for f i henhold til reglerne for differention).
g
0
(x) = (ln(x) + 7)
0
(formel nr. 72)
= (ln(x))
0
+ (7)
0
(se grå boks herunder)
=
1
x
+ 0
=
1
x
Ved bestemmelse af g
0
(x) skal et par særlige regler benyttes:
(formel nr. 74)
dy
dx
( ln(x) ) =
1
x
og
dy
dx
( k ) = 0
4
Studiekompasset.dk Matematik B-niveau den 11. maj 2009 HFE091-MAB
Opgave 4 (uden hjælpemidler )
En funktion er givet ved: f(x) = 4x + 3
(a) Bestem den stamfunktion til f , hvis graf går gennem punktet P (1, 10).
Først bestemmes et udtryk for alle stamfunktioner til f, derefter bestemmes netop
den bestemte stamfunktion, hvis graf går gennem punktet P (1, 10).
F (x) =
Z
(4x + 3) dx
(formel nr. 89)
=
Z
4x dx +
Z
3 dx
(formel nr. 84)
=
4
1 + 1
· x
(1+1)
+ c
1
| {z }
1. led
+ (3 · x) + c
2
| {z }
2. led
(sæt k = c
1
+ c
2
)
= 2x
2
+ 3x + k
Dette funktionsudtryk „dækker“ alle stamfunktioner til f.
Bemærk reglen omkring stamfunktionen til en konstant:
R
c dx = cx + k
Den stamfunktion, hvis graf går gennem P (1, 10), findes ved at indsætte punktet i
forskriften for F . Derved kan værdien for k bestemmes.
F (x) = 2x
2
+ 3x + k
(koordinaterne for P indsætt es)
10 = 2 · 1
2
+ 3 · 1 + k
m
10 = 5 + k
m
k = 5
Dermed kan forskriften for netop den stam-
funktion F til f , der går gennem punktet
P (1, 10) bestemmes som værende:
F (x) = 2x
2
+ 3x + 5
Ved eksamen ville det ikke være muligt at lave
et sådan screendump, da denne opgave er fra
delprøven uden hjælpemidler.
Figur 4. Grafen for F gennem P (1, 10).
(screendump fra TI-nspire)
5
Studiekompasset.dk Matematik B-niveau den 11. maj 2009 HFE091-MAB
Opgave 5 (uden hjælpemidler )
Figuren viser graferne for tre forskellige
andengradspolynomier y = ax
2
+ bx + c.
Diskriminanten betegnes med d.
(a) For hvilke(t) af de tre andengradspolynomier
er a > 0? Begrund svaret.
For hvilke(t) af de tre andengradspolynomier
er c > 0? Begrund svaret.
For hvilke(t) af de tre andengradspolynomier
er d > 0? Begrund svaret.
—— Besvarelsen af opgaven ——
(a) For et andengradspolynomium (y = ax
2
+ bx + c) gælder, at hvis koefficienten a til
andengradsleddet er positiv (a > 0), så vil grafen (der er en parabel) for polynomiet
„vende grenene opad“. Derfor er a > 0 for polynomierne P
1
og P
2
Konstanten c angiver grafens skæring med y-aksen i punktet (0, c).
Dette betyder, at for netop grafen for P
1
er c > 0, da grafen for P
1
, som den eneste
af de tre polynomier, skærer y-aksen i den positive halvdel af andenaksen.
Hvis diskriminanten d for et andengradspolynomium større end nul (d > 0), vil grafen
for polynomiet skærer x-aksen i to forskellige punkter (disse skæringspunkter kaldes
også for polynomiets rødder).
Da graferne for både P
1
og P
2
begge har to skæringspunkter med x-aksen (rødder),
vil begges diskriminant d være større end nul (d > 0).
Udenfor besvarelsen kan lige nævnes, at med hensyn til P
3
vil denne have en
negativ værdi for a, da "grenene vender nedad“. Ligeledes kan det af grafen for P
3
ses,
at diskriminanten vil være mindre end nul, da grafen ikke har nogen skæringspunkter
med x-aksen. Slutteligt kan om P
3
siges, at konstanten c også er negativ, da grafens
skæringspunkt med y-aksen nødvendigvis er i den negative halvdel af andenaksen.
I det tilfælde, at diskriminanten d for et andengradspolynomium er lig med nul (d = 0),
er dette ensbetydende med, at grafen for polynomiet har netop ét skæringspunkt med
x-aksen (kun én enkelt rod).
6
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
7
Delprøven med hjælpemidler
Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første
linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Modellen er en lineær model.
𝑓
(
𝑥
)
= 760𝑥+ 13570
Tallet 760 fortæller antallet af anmeldte voldsforbrydelser er stiger med 760 om året i perioden år 1998-
2006.
Tallet 13570 fortæller at antallet af anmeldte voldsforbrydelser i år 1998 var 13570.
b)
Vi definerer forskriften for f(x):
𝑓
(
𝑥
)
≔ 760𝑥 + 13570
Vi bestemmer en prognose for antallet af anmeldte voldsforbrydelser i år 2007 ved at bestemme f(2007 -
1998) = f(9).
𝑓
(
9
)
=20410
Ifølge modellen vil antallet af anmeldte voldsforbrydelser i år 2007 være bestemt til 20410.
Sammenligner vi det faktiske antal af anmeldte voldsforbrydelser i år 2007 på 18869 med prognosen på
20410, ser vi, at prognosen vurderer et langt større antal af anmeldte voldsforbrydelser det pågældende år.
Vi kan konkludere, at modellen ikke er særlig pålidelig til at forudsige antallet af anmeldte voldsforbrydelser
uden for modellens gyldighedsområde.
𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
8
Opgave 7
a)
Vi bestemmer længden af siden BC med WordMats trekantløser.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 32,8°, B = 41,5°, AC = 17,6
A = 32,8°
C = 105,7°
B = 41,5°
BC = 14,388434
AB = 25,570272
AC = 17,6
Længden af siderne BC findes vha. sinusrelation
𝐵𝐶 = 𝐶·
sin
(
𝐴
)
sin
(
𝐵
)
= 17,6·
sin
(
32,8°
)
sin
(
41,5°
)
= 14,388434
Længden af siden BC er bestemt til 14,39 (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi bestemmer længden af højden h
c
fra C, som modstående katete til vinkel A i den retvinklede trekant som
hjørnerne A og B udgør med højden h
c
.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 32,8°, HC = 90°, AC = 17,6
A = 32,8°
C = 57,2°
HC = 90°
hC = 9,5340645
AHC = 14,793972
AC = 17,6
Længden af siden hC findes vha. sinus
ℎ𝐶 = 𝐶·sin
(
𝐴
)
= 17,6·sin
(
32,8
)
= 9,5340645
A
C
B
BC
AB
AC
A
C
HC
hC
AHC
AC
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
9
Længden af højden h
C
er bestemt til 9,53 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 8
a)
Vi definerer forskriften for f(x):
Vi definerer førstekoordinaten til punktet (1, f(1)):
Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1, f(1)):
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1, f(1)) er bestemt til ovenstående udtryk.
b)
Vi bestemmer monotoniforhold og lokale ekstrema for f. Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion
f’(x).
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion.
Grafen for f har lokale ekstrema i x = 0 og x = 2.
f er aftagende i intervallet ]-∞; 0] og [2; ∞[
f er voksende i intervallet [0; 2]
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
10
Opgave 9
a)
Modellen kan beskrives med en potens funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med potens regression.
Vi opstiller tabel med data og foretager regression.
Diameter
(mm)
2,5
3,4
4,1
5,8
6,9
8,2
9,4
Vægt
(karat)
0,05
0,15
0,25
0,75
1,25
2,00
3,00
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R2 = 0,
Tallet a er bestemt til 3,06 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 0,0033 (afrundet til 4 decimaler).
b)
Vi bestemmer diameteren for diamanten med en vægt på 84,37 karat ved at løse for x i y = 84,37.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen er diameteren for diamanten 27,56 mm (afrundet til 2 decimaler).
c)
Vi definerer tallet 3,0614068 som a og væksten for den ene diamants diameter som r
x
.
Vi bestemmer, hvor mange procent større den store diamants vægt er end den mindre diamants ved at løse
for r
y
i nedenstående udtryk.
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen er den store diamants vægt 74,75 % (afrundet til 2 decimaler) større end den mindre
diamants.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
11
Opgave 10
a)
Vi definerer forskriften for f(x):
Vi bestemmer arealet af området ved:
Arealet af området er bestemt til 18,44 (afrundet til 2 decimaler).
Opgave 11
a)
Modellen kan beskrives vha. en eksponentiel funktion da udviklingen sker med en fast procent om året.
f(x) betegner skovarealet målt i km
2
til året x år efter 2006.
x betegner antal x år efter år 2006.
b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. i år 2006 var Danmarks skovareal 6000 km
2
.
a betegner fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r kan vi beregne fremskrivningsfaktoren a.
Vi opskriver (og definerer til senere brug) en model for størrelsen af skovarealet i Danmark efter år 2006.
En model, der beskriver udviklingen i skovarealet i Danmark efter år 2006 er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi bestemmer skovarealet i år 2089 ifølge modellen ved at bestemme f() = f(83).
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
12
Ifølge modellen er skovarealet i Danmark bestemt til 7693,6 m
2
i år 2089.
b)
Vi definerer kendte størrelser.
Vi benytter formlen for fremskrivning og isolerer den årlige vækstrate r i nedenstående udtryk.
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Skal målet nås, skal den gennemsnitlige årlige procentmæssige vækst for Danmarks skovareal være 0,43 %
(afrundet til 2 decimaler).
Til eksamen skal du kun udvælge én af de to følgende opgaver, 12a og 12b. Her bringes alle løsninger, så du
kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 12a
a)
Vi definerer forskriften for v(x).
Vi bestemmer farten efter 3,00 sekunders løb ved at bestemme v(3,00).
Ifølge modellen er farten 3,00 sekunder efter løbets start bestemt til 10,64 m/s (afrundet til 2 decimaler).
Vi bestemmer, hvornår farten var 10,17 m/s ved at løse for x i v(x) = 10,17.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
13
Da x = 23,834739 betegner et tidspunkt efter løbets afslutning, er denne værdi ikke en løsning til opgaven.
Ifølge modellen er farten 10,17 m/s ca. 2,58 sekunder efter løbets start.
b)
Vi bestemmer, hvor langt han løb i de første 2,00 sekunder dvs. intervallet [0; 2,00] ved:
Ifølge modellen løb Ben Johnson 11,34 m (afrundet til 2 decimaler) i de første 2,00 sekunder.
Vi beregne, hvor langt han løb de næste 2,00 sekunder dvs. intervallet [2; 4,00] ved:
Ifølge modellen løb Ben Johnson 21,03 m (afrundet til 2 decimaler) i de næste 2,00 sekunder.
Opgave 12b
b)
Vi definerer forskriften for f(x):
Vi bestemmer den tilladte strømbelastning ved en vindhastighed på 0,50 m/s ved at bestemme f(0, 50).
Ifølge modellen er den tilladte strømbelastning bestemt til 450,1 A (afrundet til 1 decimal).
Vi bestemmer vindhastigheden, hvis luftledningen skal kunne tåle en belastning på 800 A, ved at løse for x i
f(x) = 800.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen skal vindhastigheden være 7,24 m/s (afrundet til 2 decimaler).
Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 11. maj 2009
14
b)
Vi bestemmer den afledede funktion f’(x).
Den afledede funktion f’(x) er bestemt til ovenstående udtryk.
Vi bestemmer tallet f’(5).
Tallet f’(5) = 34,86 (afrundet til 2 decimaler) fortæller, at den tilladte strømbelastning ved en vindhastighed
på 5 m/s stiger med 34,86 A.