hfe111-MAT/B-
1
Vejledende besvarelse
HF Matematik B – 26. maj 2011
Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel,
der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det
hurtigste værktøj at anvende.
Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som
første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.
Tips til TI-nSpire findes i slutningen af dokumentet.
Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat.
Opgave 7
a)
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 63° , BC = 6,8 , AB = 4,3
A = 63°
B = 82,70662°
C = 34,29338°
BC = 6,8
AC = 7,57007
AB = 4,3
Længden af siden AC findes vha. en cosinusrelation
63°
82,7°
34,3°
6,8
7,57
4,3
hfe111-MAT/B-
2
2. gradsligningen løses for AC
2. gradsligningen har to løsninger:
Men den anden løsninger er negativ, og vi kan jo ikke have negative sidelængder.
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Af ovenstående udregninger, har vi dermed bestemt vinkel C til afrundet til en decimal.
b)
Af udregningerne i a) kan vi bestemme
afrundet til en decimal.
c)
For din egen skyld, er det altid en god idé at lave en skitse.
Da M deler linjestykket AC i to lige store stykker gælder der at:
Da vi nu kender en vinkel og to sider i trekanten ABM, kan de resterende vinkler og sider beregnes:
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 63° , AM = 3,785035 , AB = 4,3
hfe111-MAT/B-
3
A = 63°
B = 52,56607°
M = 64,43393°
BM = 4,247177
AM = 3,785035
AB = 4,3
Længden af siden BM findes vha. en cosinusrelation
Vinkel B findes vha. en cosinusrelation
Vinkel M findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Af udregningerne i kan vi bestemme
afrundet til en decimal.
63°
52,6°
64,4°
4,25
3,79
4,3
hfe111-MAT/B-
4
Opgave 8
a)
Først defineres sammenhængen mellem dyrets vægt x og vægten af hjernen y, som en funktion f af dyrets
vægt:
Hjernens vægt, når dyret vejer 100 g beregnes ved at indsætte i modellen:
Hjernen vejer altså 2,8 gram afrundet til en decimal når dyret vejer 100 g.
Dyrets vægt, for at hjernen vejer mere end 75 g kan bestemmes ved at løse ligningen
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Når dyret vejer mere end 5464,8 gram afrundet til en decimal, vejer hjernen mere end 75 gram.
OBS. I det oprindelige eksamenssæt er modellen defineret til
.
I så fald bliver løsningerne
28,0 gram
331,9 gram
b)
Da der er tale om en potensfunktion med ved vi at når x ganges med tallet
så
ganges
med tallet
(jf. A:formel 108, B: formel 68)
Vi indsætter
og løser ligningen:
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dermed vejer det største dyrs hjerne ifølge modellen 20,1 % mere end det mindste dyrs hjerne.
hfe111-MAT/B-
5
Opgave 9
a)
For at bestemme facadens bredde beregnes grafens skæringer med x-aksen, da facadens bredde så kan
bestemmes som afstanden mellem skæringspunkterne. Vi bestemmer x-koordinaterne til
skæringspunkterne ved at løse ligningen
Funktionen defineres:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da begge skæringspunkter ligger på x-aksen, kan afstanden mellem skæringspunkterne bestemmes som
Dermed er bygningen 70 m bred.
Bygningens højde findes som den største værdi f antager. Da f er et andengradspolynomium kan dette
beregnes som y-koordinaten til parablens toppunkt.
y-koordinaten for en parabels toppunkt er givet ved (jf. formel 37)
Bygningens højde er dermed 35 m.
b)
Tværsnittets areal kan bestemmes som arealet af den punktmængde, der afgrænses af x-aksen og grafen
for f.
Arealet af denne punktmængde kan bestemmes som (formel 96)
Tværsnitsarealet er dermed
afrundet til en decimal.
Tip: Husk enheden i angivelse af facit. Er der enheder i opgaveteksten, skal resultatet også have
enheder.
hfe111-MAT/B-
6
Opgave 10
a)
bestemmes:
Dette tal angiver at egetræet ifølge modellen producerer 683 agern om året (afrundet til et helt tal) når det
er 70 år gammelt.
b)
Træets alder, når den årlige produktion er 1000 agern om året bestemmes ved at løse ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Når træet er 77 år gammelt, rundet op til et helt tal, producerer det over 1000 agern årligt.
hfe111-MAT/B-
7
Opgave 11
a)
Da der er tale om en lineær model, bestemmes a og b ved en lineær regression:
Distance
(meter)
2300
2500
2700
2900
3100
3300
3500
3700
Kondital
40
45
49
54
58
62
67
71
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9992409
Ud fra regressionen kan vi aflæse og begge afrundet til 3 decimaler.
b)
Sammenhængen mellem distancen x og konditallet y, som en funktion f af distancen defineres:
Vi definerer den distance manden løber ved første test som
og distancen som løbes ved næste test til
.
Der gælder at:
Forskellen i kondital før og efter træning beregnes som:
Efter et par måneders træning har manden altså forbedret sit kondital med 9,9 afrundet til en decimal.
hfe111-MAT/B-
8
Opgave 12
a)
f defineres:
For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af alle nulpunkterne:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje
0
1
2
-
0
+
0
-
0
+
↘
↗
↘
↗
Vi kan dermed konkludere:
f er voksende i intervallerne
og
f er aftagende i intervallerne og
f har lokalt minimum for og
f har lokalt maksimum for
hfe111-MAT/B-
9
b)
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet
er givet ved (formel 119)
c)
Førstekoordinaten til hvert af de punkter på grafen for f, hvor tangenthældningen er 0,375 kan bestemmes
ved at løse ligningen
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.