Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007
1
HF Matematik C 15. maj 2007
Vejledende besvarelse
2HF071-MAC
Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en
eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her
medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det
hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at
beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at
bruge formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Trekanterne er ensvinklede, så vi bestemmer længden af siden P
1
Q
1
vha. af størrelsesforholdet mellem de
to trekanter:
Siden P
1
Q
1
er bestemt til 23,4.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007
2
Opgave 2
a)
Vi benytter renteformlen:
Efter 20 år vil der stå 25063,3 kr. (afrundet til 1 decimal) på kontoen.
b)
Vi bestemmer først fremskrivningsfaktoren ved formlen for fordoblingstiden:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi beregner vækstraten:
Den årlige procentvise rate er bestemt til 3,53 % (afrundet til 2 decimaler).
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007
3
Opgave 3
a)
Vi bestemmer S, når x = :
Ifølge modellen er statens boligindtægter i år 2008 ca. 15,1 mia. kr. (afrundet til 1 decimal).
Vi beskriver tallet:
Sammenhængen kan beskrives vha. en lineær model. Tallet 1,82 betegner funktionens
hældningskoefficient – dvs., at hvert år efter år 2000 stiger statens boligindtægter med 1,82 mia. kr.
b)
Vi løser uligheden for x, når S < 19:
Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ca. 10 år efter år 2000, dvs. ca. i år 2010, vil statens årlige boligindtægter overstige 19 mia. kr. (afrundet til
helt år).
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007
4
Opgave 4
a)
Vi aflæser øvre og nedre kvartil fra bilag:
Onsdag:
Nedre Q1: ca. 10,50
Øvre Q3: ca. 10,62
Weekend:
Nedre Q1: ca. 9,58
Øvre Q3: ca. 10,42
Vi sammenligner de 2 boksplot:
Sammenligner vi de to boksplot, står det klart, at benzinpriserne om onsdagen er stort set ens på tværs af
tankstationerne i forhold til benzinpriserne i weekenden, hvor der er stor forskel på benzinpriserne på
tværs af tankstationer. Derudover kan det konkluderes, at benzinpriserne denne onsdag generelt ligger
højere end benzinpriserne i den efterfølgende weekend.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007
5
Opgave 5
a)
Der er tale om en lineær sammenhæng, da udviklingen sker med en fast størrelse hvert år:
f(x) betegner gennemsnitlige antal køretøjer pr. døgn til antal år x efter år 1996.
a betegner funktionens hældningskoefficient – dvs., at ifølge modellen vokser årsdøgnstrafikken med 2460
køretøjer om året i perioden
b betegner funktionsværdien i x = 0. Dvs., at der i året 1996 i gennemsnit var 80000 køretøjer pr. døgn.
Vi opstiller modellen:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007
6
Opgave 6
a)
|DE| bestemmes som differensen mellem |AD| og |BC|:
|DE| er bestemt til længden 85 cm.
|AB| bestemmes som |EC| i trekant ECD:
Vi benytter WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: E = 90°, CD = 170, ED = 85
E = 90°
C = 30°
D = 60°
CD = 170
ED = 85
EC = 147,2243
Vinkel D findes vha. en cosinusrelation:
Vinkel C findes ved, at vinkelsummen = 180 ° i en trekant:
Længden af siden EC findes vha. pythagoras
|EC| aflæses fra WordMats trekantsløser til 147,2243.
|AB| er dermed bestemt til 147,22 cm (afrundet til to decimaler).
b)
Vinkel C og vinkel D kan aflæses af resultaterne fra WordMats trekantsløser i opgave a).
90°
30°
60°
170
85
147
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007
7
Vinkel C er bestemt til 30 °, og vinkel D er bestemt til 60 °.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007
8
Opgave 7
a)
Vi tegner et histogram med WordMats skabelon for grupperede observationer. Resultatet kopieres ind i
besvarelsen:
Vi sammenligner de to histogrammer:
Det står klart, at aldersfordelingen i Hillerød er nogenlunde jævn i intervallet 0-80 år, dog med en lidt lavere
repræsentation i intervallet 60-80 år. I København er der derimod tydeligt flere personer i gruppen 20-40
år, der er næsten dobbelt så stor som den næststørste befolkningsgruppe (40-60 år). Vi kan dermed
konkludere, at beboerne i København gennemsnitligt er relativt unge.
0 100
Observationer
Histogram
Et tern er 4%
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007
9
Opgave 8
a)
Vi bestemmer antallet af nyregistrerede motorcykler i år 2000 ved:
Vi bestemmer antal motorcykler nyregistreret i år 2005:
Der blev registreret ca. 5780 motorcykler (afrundet til helt antal) i år 2005.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 11. december 2007
10
Opgave 9
a)
Sammenhængen kan beskrives vha. en eksponentiel funktion. Vi bestemmer derfor tallene a og b ved
eksponentiel regression:
Vi opstiller tabel med data og foretager regression:
Årstal
År efter år 1950
Antal mio. folk over 60
1950
0
205
2006
56
688
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen.
Tallet a er aflæst til 1,022 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er aflæst til 205.
b)
Tallet b beskriver funktionsværdien i x = 0, dvs. antallet af folk over 60 år i år 1950. Det svarede til 205
millioner mennesker.
Tallet a er fremskrivningsfaktoren, der fortæller, hvordan funktionen udvikler sig. Ud fra
fremskrivningsfaktoren kan vi bestemme vækstraten r:
Dvs., at for hvert år efter år 1950 vil antallet af mennesker over 60 år vokse med 2,2 % om året.
c)
Vi bestemmer y, når x = :
Ifølge modellen vil der i år 2050 være ca. 1781,2 (afrundet til 1 decimal) mio. mennesker over 60.
Udklippets prognose på ”næsten to milliarder” mennesker dette år er ikke så præcis, men det vurderes, at
modellens resultat stemmer overens med prognosen i artiklen.