Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007
1
HF Matematik C
27. august 2007
Vejledende besvarelse
2HF072-MAC
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HF 2. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Vi benytter renteformlen:
Efter 10 år står der 19014,8 kr. på kontoen (afrundet til 1 decimal).
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007
2
Opgave 2
a)
Vi bestemmer tallene a og b ved at løse to ligninger med to ubekendte:
Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Tallet a er bestemt til 0,75, og tallet b er bestemt til 6,5.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007
3
Opgave 3
a)
Sumkurven tegnes med WordMats skabelon for grupperede observationer. Resultatet kopieres ind i
beskrivelsen:
b)
Medianen aflæses fra sumkurven til 73,71 (afrundet til to decimaler).
Vi forklarer medianen:
Medianen beskriver, at gennemsnittet af boligstørrelsen i en etageejendom i 2006 er 73,71 m
2
(afrundet til
2 decimaler).
0%
25%
50%
75%
100%
130
Observationer
Sumkurve
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007
4
c)
Vi aflæser på sumkurven (se blå linje):
Vi kan konkludere, at 20 % af boligerne var større end 95 m
2
.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007
5
Opgave 4
a)
Vi bestemmer |AB| og vinkel B i trekant ABC med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, CA = 8,0, BC = 20,0
B = 21,80141°
A = 68,19859°
C = 90°
CA = 8
BC = 20
AB = 21,54066
|AB| findes vha. Pythagoras’ sætning:
Vinkel B findes vha. en tangensrelation:
Vi aflæser siden og vinklen fra WordMats trekantsløser:
Siden |AB| er bestemt til 21,54 (afrundet til 2 decimaler), og vinkel B er bestemt til 21,80° (afrundet til 2
decimaler).
b)
Vi bestemmer vinkel B i trekant ABD med WordMats trekantsløser:
Først bestemmer vi vinkel B i trekant BCD:
B
A
C
CA
BC
AB
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007
6
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, BC = 20,0 , CD = 15,32
C = 90°
D = 52,54789°
B = 37,45211°
DB = 25,1933
BC = 20
CD = 15,32
Vinkel B findes vha. en tangensrelation:
Vi trækker vinkel B i trekant ABC fra vinkel B i BCD, og derved får vi vinkel B i trekant ABD:
Vinkel B i trekant ABD er bestemt til 15,65° (afrundet til 2 decimaler).
C
D
B
DB
BC
CD
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007
7
Opgave 5
a)
Der er tale om en eksponentiel udvikling, da udviklingen sker med en fast procentvis størrelse om året.
f(x) beskriver antal tilfælde af modermærkekræft i Danmark til året x efter år 2003.
x betegner antal år efter år 2003.
b betegner funktionens begyndelsesværdi til året x = 0, dvs. der i år 2003 var 1222 tilfælde af
modermærkekræft i Danmark.
a betegner fremskrivningsfaktoren. Vi kender vækstraten r, og med den kan vi beregne
fremskrivningsfaktoren:
Vi opstiller modellen:
b)
Vi bestemmer x, når f(x) = 2100:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen vil der være 2100 konstaterede tilfælde af modermærkekræft ca. 10,11 år efter år 2003,
dvs. ca. i år 2013.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007
8
Opgave 6
a)
Vi bestemmer y, når x = 80:
Når bilens fart er 80 km/timen, er luftmodstanden 224 N.
b)
Der er tale om en potentiel udvikling, så vi bestemmer den relative tilvækst ved denne fremgangsmåde:
Vi definerer tilvæksten for bilens fart og konstanten a som 2:
Vi bestemmer den relative tilvækst:
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Når bilens fart vokser med 30 %, så vokser luftmodstanden ifølge modellen med 69 %.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007
9
Opgave 7
Vi benytter renteformlen:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den årlige procentvise vækst i perioden er bestemt til 1,05 % (afrundet til 2 decimaler).
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 27. august 2007
10
Opgave 8
a)
Vi opstiller en model for prisen af en spalteannonce. Der er tale om en lineær udvikling, da udviklingen er
proportional med spaltehøjden:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi opskriver og definerer den samlede model, hvor x beskriver spaltehøjden målt i mm:
Vi bestemmer f(x), når x = 70:
Prisen for en 70 mm høj spalteannonce er bestemt til 4830 kr.
Vi bestemmer x, når f(x) = 8970:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
En spalteannonce til 8970 kr. er bestemt til at være 130 mm høj.
b)
Vi opstiller en model. Modellen vil være den samme som i a) men yderligere med et fast tillæg på 2710 kr.