Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006
1
HF Matematik C 28. august 2006
Vejledende besvarelse
2HF062-MAC
Nogle af opgaveløsningerne inkluderer en reference til en formel i en grå kasse. Disse kræves ikke i en
eksamensbesvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at informationen her
medtages i løsningerne, er, så du kan se, præcis hvilken formel der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaverne i sættet er så vidt muligt løst med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det
hurtigste værktøj at anvende. Husk som første linje i din opgaveløsning at skrive en note om, at
beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat, så censor ved, hvor tallene kommer fra.
NB: Mange af de her i sættet anvendte formler kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre i programmet. Der er store tidsbesparelser at hente ved at
bruge formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Trekanterne er ensvinklede, og vi bestemmer derfor længden af siderne vha. af størrelsesforholdet.
Vi bestemmer længden af siden B
1
C
1
:
Vi bestemmer længden af siden AB:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006
2
Opgave 2
a)
Sammenhængen kan beskrives vha. en lineær funktion, og vi bestemmer derfor tallene a og b vha. lineær
regression:
Vi opstiller en tabel med data og foretager regression:
Længden af slangen (meter)
Pris for slangevogn med slange (kr.)
25
418,50
50
539,50
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Vi aflæser tallene a og b fra regressionsligningen:
Tallet a aflæses til 4,84, og tallet b aflæses til 297,5.
b)
Vi giver en fortolkning af tallene:
Tallet a er hældningskoefficienten for funktionens graf og beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. I
dette tilfælde betyder a, at for hver meter slangen bliver længere, vokser prisen for slangevogn med slange
med 4,8 kr. (afrundet til 1 decimal).
Tallet b er funktionens værdi i x = 0. Det svarer til, at prisen for slangevogn med 0 meter slange er 297,5 kr.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006
3
Opgave 3
a)
Vi tegner trekanten og bestemmer længden af siden AC med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 52,0°, C = 90°, AB = 13,7
A = 52°
B = 38°
C = 90°
BC = 10,79575
AC = 8,434562
AB = 13,7
Længden af siden AC findes vha. en cosinusrelation:
Længden af siden AC aflæses fra WordMats trekantsløser.
Længden af siden AC er bestemt til 8,43.
A
B
C
B
AC
AB
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006
4
Opgave 4
a)
Der er tale om en eksponentiel funktion, da udviklingen sker med en fast procentsats om året.
f(x) beskriver befolkningstallet i Sudan i mio. mennesker x antal år efter 1950.
b beskriver funktionens værdi i x = 0. Dvs., at der i år 1950 var 9,2 mio. mennesker i Sudan.
a er fremskrivningsfaktoren. Den beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. Vi bestemmer
fremskrivningsfaktoren med vækstraten r:
Vi opstiller modellen:
b)
Vi bestemmer x, når y = 24:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen vil befolkningstallet i Sudan nå 24 mio. ca. 37,6 år (afrundet til 1 decimal) efter år 1950, dvs.
ca. i år 1987.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006
5
Opgave 5
a)
Vi aflæser medianen fra bilaget:
Medianen aflæses til ca. 43,5 år.
Medianen beskriver, at 50 % af deltagerne på en diplomlederuddannelse er under 43,5 år gamle. Samtidig
beskriver medianen, at 50 % af deltagerne er over 43,5 år gamle.
b)
Vi aflæser andelen ud fra intervallerne på bilaget:
Vi kan konkludere, at der er flest deltagere i alderen 40-45 år.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006
6
Opgave 6
a)
År
1996
2000
Antal hf-kursister
12901
11079
Indekstal
100
b)
Fra 1996 til 2000 er antallet af hf-kursister faldet procentvist med:
Hf-kursister er i perioden faldet med 14,12 % (afrundet til 2 decimaler).
Fra 1996 til 2000 er antallet af gymnasieelever faldet procentvis med:
Vi kan konkludere, at antallet af hf-kursister er faldet mest i perioden.
(I)
(II)
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006
7
Opgave 7
a)
Vi bestemmer T, når x = 295:
Calypsos omløbstid er bestemt til 1,87 døgn (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi definerer
som den procentvis større afstand til Helene og tallet 1,5 som a:
Vi bestemmer den relativet større omløbstid ved:
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ifølge modellen er omløbstiden for Helene 44,82 % større end for Calypso.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2006
8
Opgave 8
a)
Trappens hældningstal bestemmes med WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: = 90°, 330 mm = 330, 142mm = 142
= 90°
= 66,71764°
v = 23,28236°
= 359,2548
330 mm = 330
142mm = 142
Vinkel v findes vha. en tangensrelation:
Trappens hældningsvinkel aflæses fra WordMats trekantsløser.
Trappens hældningsvinkel er v = 23,28° (afrundet til 2 decimaler).
b)
Vi opstiller to ligninger i overensstemmelse med ”trappereglen” og beregner:
Nedre grænse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Øvre grænse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hvis trappereglen skal overholdes, skal trinhøjden overholde grænserne .
v
330 mm
142mm