Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015
1
HF Matematik C
28. august 2015
Vejledende besvarelse
2hf152-MAT/C-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HF 1. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Vi definerer kendte størrelser og bestemmer slutkapitalen
vha. kapitalfremskrivningsformlen.
Startkapital:
Årlig rente:
Antal terminer:
Efter 4 år er der således 10.930,83 kr. på højrentekontoen
b)
Vi definerer relevante størrelser:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015
2
Vi løser nu:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da der kun tilskrives renter én gang årligt, skal være et naturligt tal. Beløbet overstiger således først
13.000 kr. efter 12 år.
Opgave 2
a)
De opgivne priser indskrives i WordMats regneark til ugrupperede observationer, hvorved en række
deskriptorer bestemmes:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
78
Median
169
Øvre
278,5
Obs.
Fraktil
Middeltal
209,8462
Spredning
173,6357
Vi afrunder og opskriver resultaterne:
Middeltal:
Kvartilsæt: .
b)
Et boksplot tegnes i WordMat:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015
3
Ved første kig på de to boksplots ser matematikbøgerne generelt ud til at være dyrere end bøgerne i dansk.
Ved nærmere kig på matematikbøgernes boksplot kan vi se, at den billigste fjerdedel (nedre kvartil) koster
højst ca. 180 kr. hver især - det tilsvarende tal er 78 kr. for danskbøgerne.
Medianen fortæller os, at den dyreste halvdel af matematikbøgerne koster mindst ca. 225 kr. hver især -
det tilsvarende tal er 169 kr. for danskbøgerne.
Den øvre kvartil for matematikbøgerne er ca. 335 kr., mens den for danskbøgerne er 278,5 kr.
Den billigste matematikbog koster 30 kr., mens den dyreste koster 565 kr. For danskbøgerne er disse tal
hhv. 16 kr. og 725 kr.
Opgave 3
a)
Vi definerer en funktion, som opfylder, at
.
Vi kan nu anvende de opgivne data til at opskrive 2 ligninger med 2 ubekendte:
Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
0
Boksplot
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015
4
Venstre løsning har , hvilket ikke er muligt i en eksponentiel model. Denne løsning bortkastes, og vi
konkluderer, at:
b)
Tallet er fremskrivningsfaktoren og fortæller os noget om vækstraten idet:
Det vil sige, at kinesiske fabriksarbejdere ifølge modellen oplever en årlig lønstigning på 14,6%.
c)
Vi definerer funktionen:
I år 2013 er der gået 8 år siden 2005. Vi bestemmer så:
Ifølge modellen var årslønnen ca. Yuan. i år 2013. Den sande værdi er . Dette giver en
afvigelse på:
Der er således tale om en meget præcis forudsigelse med en afvigelse på under en kvart procent.
Opgave 4
a)
Længden af kan bestemmes vha. Pythagoras’ læresætning:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015
5
Det vil sige, at længden af er 12,75.
Vinkel i trekant ABC kan bestemmes vha. tangens:
Ligningen løses for A vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at fuglekassens taghældning er .
Opgave 5
a)
Funktionen defineres:
Vi bestemmer nu:
Det vil sige, at det daglige foder for en hund på 15 kg skal indeholde ca. 4000 kJ.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015
6
b)
Hvis en collie vejer kg og en cockerspaniel vejer kg, må der gælde, at
Vi kan nu bestemme den relative forskel som:
Det vil sige, at energiindholdet i det daglige foder for en collie skal være ca. 68% større end for en
cockerspaniel.
Opgave 6
a)
Resterende sider og vinkler i trekant bestemmes.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 42°, B = 116°, BC = 3,8
A = 42°
B = 116°
C = 22°
BC = 3,8
AC = 5,104261
AB = 2,127395
Vinkel findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siderne og findes vha. sinusrelationerne
A
B
C
BC
AC
AB
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015
7
Det vil sige, at længden af siden er ca. 5,1.
b)
Trekanterne er ensvinklede, så vinklerne fra trekant kan genbruges.
Resterende sider og vinkler i trekant
bestemmes.
WordMats trekantsløser anvendes med input: A1 = 42°, B1 = 116°, C1 = 22°, A1C1 = 3,2
A1 = 42°
B1 = 116°
C1 = 22°
B1C1 = 2,382323
A1C1 = 3,2
A1B1 = 1,333722
Længden af siden B1C1 findes vha. sinusrelationerne
Det vil sige, at længden af siden
er ca. 2,4.
Opgave 7
a)
Da der er tale om en konstant årlig stigning, kan vi anvende en lineær model på formen:
Hvor:
angiver antallet af beskæftigede i den danske offshore-branche
angiver antal år efter år 2010 (fra januar 2010 antager vi)
A1
B1
C1
B1C1
A1C1
A1B1
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 28. august 2015
8
er hældningskoefficienten og angiver funktionstilvæksten, når vokser med 1. Det vil sige, at
angiver det vil sige, at
Vi opstiller den endelige model:
b)
Vi løser:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at antallet af beskæftigede passerer 40.000 ca. halvvejs inde i år 2016 ifølge modellen.
Opgave 8
a)
angiver indekstal
angiver prisen på en pakke smør i kr.
Vi har, at
Vi aflæser nu:
Der gælder, at:
Ligningen løses for p_2012 vha. CAS-værktøjet WordMat.
En pakke smør kostede således ca. 18,79 kr. i 2012.