Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
a)
Beløbet på kontoen efter 5 år bestemmes vha. kapitalfremskrivningsformlen: jf. formel 4
, hvor
De kendte værdier indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes:
Karl har således på kontoen efter 5 år.
b)
Den årlige procentvise rente bestemmes ved at indsætte de kendte værdier i formlen for
kapitalfremskrivning og løse ligningen i , som derefter omregnes til procent. jf. formel 4
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
kendte værdier indsættes:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hvilket svarer til 3,3 % når der afrundes til én decimal.
Den årlige procentvise rente for denne bank er således på:
Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-
Opgave 2
a)
Da antallet af A-kassemedlemmer faldt med det samme antal personer om året i perioden,
kan udviklingen beskrives med en lineær sammenhæng, hvortil modellen er: .
Indsættes de kendte værdier, fremkommer følgende model for antallet af A-kassemedlemmer
i periode :
hvor er antal år efter 2000 og er antal A-kassemedlemmer, som en funktion af .
Koefficienten til er negativ, da medlemstallet er oplyst som have været faldende.
b)
Sammenhængen defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Antallet af A-kassemedlemmer i år 2014 (14 år efter år 2000) kan bestemmes som .
Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn):
Ifølge modellen vil medlemstallet i år 2014 således være faldet til:
Opgave 3
a)
Tabellen oprettes i MS Excel og de kumulerede frekvenser bestemmes som summen af de forrige
frekvenser samt den aktuelle frekvens. Tabellen kopieres herefter over i MS Word.
Størrelsen (m
2
)
25-50
50-75
75-100
100-125
125-150
150-175
175-
Frekvens (%)
6
20
23
17
14
9
11
Kumuleret frekvens (%)
6
26
49
66
80
89
100
Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-
Sumkurven kan tegnes med WordMat (Statistik - Sumkurve).
Intervalendepunkterne og den kumulerede frekvens indtastes i regnearket.
Sumkurve 1
Sumkurve 2
Sumkurve 3
Kvartilsæt
kurve 1
Kurve 2
Kurve 3
interval
endepunkt
Kum. Frek
interval
endepunkt
Kum. Frek
interval
endepunkt
Kum. Frek
vis?
x
25
0%
0%
0%
Nedre
73,75
0
0
50
6%
Median
101,47
0
0
75
26%
Øvre
141,07
0
0
100
49%
Fraktiler
125
66%
150
80%
175
89%
100%
Størrelsen på de 25 % største af boligerne kan bestemmes vha. den øvre kvartil i kvartilsættet.
Af resultatet herover fremgår det således, at de 25 % største af boligerne er på
eller derover.
Resultatet er afrundet til et helt tal.
0%
25%
50%
75%
100%
5 165 185
Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-
Opgave 4
a)
Formlen til beregning af terningens overfladeareal defineres som en funktion af terningens
sidelængde i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Overfladearealet af en terning med sidelængden 1,8 cm kan bestemmes som .
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
En terning med en sidelængde på 1,8 cm har således et overfladeareal på
Sidelængden på en terning med overfladearealet 13,5 cm
2
kan bestemmes ved at løse
ligningen
. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den negative løsning forkastes, da en længde ikke angives som værende negativ.
En terning med et overfladeareal på 13,5 cm
2
har således en sidelængde på
b)
For potensfunktioner gælder det: (jf. formel 3 og 48)
, hvor
Hvilket betyder, at når tallet ganges med tallet
så ganges med tallet
samt indsættes i den ovenstående ligning, og
bestemmes.
Heraf udledes, hvor mange procent overfladearealet af den store terning er større end den lille ternings.
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes:
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
hvilket svarer til 35 %, når der afrundes til et helt tal.
Dette betyder, at overfladearealet af den store terning er større end den lille ternings overfladeareal,
når sidelængden af den store terning er 16 % større end sidelængden af den lille terning.
Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-
Opgave 5
a)
Trekantløseren i WordMat (CAS - Diverse - Trekant) benyttes til bestemmelse af og
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 20,0° , BC = 4,3 , AC = 7,5
A = 20°
B = 36,62298°
C = 123,377°
BC = 4,3
AC = 7,5
AB = 10,49878
WordMat finder to mulige trekanter, der opfylder de givne input, men da oplyses værende spids,
kan den ene mulighed let sorteres fra. Ovenstående er den korrekte trekant jf. de givne oplysninger.
Vha. ovenstående beregning er vinklerne B og C bestemt til (afrundet til én decimal):
b)
Af beregningerne i a) fremgår det desuden, at
(afrundet til én decimal).
Derved kan højden
fra på siden bestemmes jf. formel 13
Kendte værdier indsættes og
bestemmes. WordMat (CAS - Beregn) benyttes:
Arealet af trekant kan nu bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn).
er afrundet til én decimal.
jf. formel 16
Arealet af trekant er således bestemt til:
A
B
C
BC
AC
AB
Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-
c)
Længden af højden
fra på siden kan bestemmes vha. formlen for trekantens areal: jf. formel 16
kendte værdier indsættes og WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes:
Ligningen løses for h_c vha. CAS-værktøjet WordMat.
Højden
fra på siden er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til en enkelt decimal.
Opgave 6
Den angivne sammenhæng
er eksponentiel.
Tabellen oprettes direkte i MS Word og der foretages en eksponentiel regression over tabellens data.
Herved bestemmes værdierne for og .
WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel) benyttes.
Antal uger, slankemidlet er benyttet
0
4
A’s vægt (kg)
120
108
Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Værdierne for tallene og er således bestemt (værdien for er afrundet til tre decimaler):
b)
For at bestemme antal uger, før person
vægt er nede på 80 kg, indsættes i
ligning,
som derefter løses mht. . WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
vægt kommer således ned på 80 kg i slutningen af den fjerde uge, slankemidlet benyttes.
Skriftlig matematik HF C 2hf132-MAT/C-
c)
Af producentens oplysning om et gennemsnitligt vægttab på 2,7 % pr. uge bestemmes
fremskrivningsfaktoren
, hvor
indsættes som negativ, da der er tale om en
eksponentiel aftagende udvikling. WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
jf. formel 3 og 39
Fremskrivningsfaktoren
for person er bestemt i a) til:
Fremskrivningsfaktoren
for person fremgår af opgaveteksten:
Ved sammenligning af fremskrivningsfaktor for person og samt for producentens udsagn, ses at disse
kan betragtes som identiske, dog med en lille afvigelse på tredje decimal for . Herved konkluderes, at
producentens oplysning om forventet vægttab stemmer overens med de to personers vægttab.
Opgave 7
a)
WordMat (Graftegning - Statistik - Grupperede observationer) benyttes til beregningerne.
Tabellens intervaller og hyppigheden af de grupperede observationerne aflæses og noteres i tabellen.
Den fremkomne tabel (MS Excel) kopieres over i MS Word.
Grupperede observationer
Deskriptorer
Interval
154
Kvartilsæt
Fra
Til
Hyp.
Frekvens
Kumuleret
Mindste
10
10
20
5
3%
3%
Nedre
35,36
20
30
11
7%
10%
Median
44,04
30
40
42
27%
38%
Øvre
53,09
40
50
47
31%
68%
Største
80
50
60
34
22%
90%
Observation Fraktil
60
70
8
5%
95%
70
80
7
5%
100%
Middeltal
44,48
Spredning
12,98
I ovenstående er hyppigheden for de givne intervaller anført (med rød skriftfarve).
Middeltallet for de 154 patienter kan aflæses af resultaterne (markeret med gult) til:
Resultatet er afrundet til et helt tal.