Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne er, at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
Kapitalfremskrivningsformlen (jf. formel 4) benyttes:
Kapitalen efter terminer , antal terminer samt den årlige rente
indsættes og startkapitalen
bestemmes ved at løse ligningen med WordMat (CAS - Løsning(er) -
Numerisk):
Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der blev således indsat på kontoen.
Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-
Opgave 2
a)
Flagstangens højde (m)
8,0
12,0
Flagets højde (m)
1,70
2,45
Tallene og kan bestemmes vha. en lineær regression over tabellens data.
WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær) benyttes hertil
Husk at markere hele tabellen inden du bruger WordMat
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Af resultatet aflæses værdierne for og til:
og
b)
Sammenhængen mellem flagstangens højde og flagets højde defineres som en funktion i
WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Højden på flaget til en flagstang på 15m bestemmes med WordMat (CAS - Beregn) som:
Flagets højde skal således være for at passe til en 15m høj flagstang.
Resultatet er afrundet til to decimaler.
c)
Flagstangens højde bestemmes ved at løse ligningen
for .
Hertil benyttes WordMat (CAS - Løsning(er) - Numerisk):
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Højden på flagstangen ved Brøndby Stadion er således (afrundet til én decimal)
Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-
Opgave 3
a)
Indekstal bestemmes som: (jf. formel 8)
er basisårets indekstal, er basisværdien,
det aktuelle års indekstal og det aktuelle års værdi.
Beløbet (1200 kr.) i 2011 og indekstallet for 2011 (104,7) benyttes som basis.
Prisen (beløbet) i 2012 bestemmes vha. formlen
, hvor
, og
indsættes og
bestemmes med WordMat (CAS - Løsning(er) - Numerisk):
Ligningen løses for S_2012 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Han skulle således betale i 2012 for den samme mængde alkohol (afrundet til et helt tal).
Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-
Opgave 4
a)
Vinkel og længden af snoren bestemmes vha. trekantløseren i WordMat (Diverse - Trekant):
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 38° , B = 57° , AB = 60
A = 38°
C = 85°
B = 57°
CB = 37,08079
AB = 60
AC = 50,51245
Af resultatet fremgår det, at: og længden af snoren:
(afrundet til én decimal)
b)
Kaldes fodpunktet for højden i for , fremkommer en retvinklet trekant , hvor længden af
siden er højde over jorden, hvilket bestemmes vha. trekantløseren i WordMat (Diverse - Trekant):
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 38° , D = 90° , AC = 50,5
A = 38°
C = 52°
D = 90°
CD = 31,0909
AD = 39,79454
AC = 50,5
Punktet (dragen) er således over jorden (resultatet er afrundet til én decimal).
A
C
D
CD
AD
AC
A
C
B
CB
AB
AC
Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-
Opgave 5
a)
Sammenhængen mellem alder i antal uger og fosterets vægt (målt i gram) defineres
som en funktion i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):
Vægten på et 20 uger gammelt foster bestemmes ved at bestemme værdien .
Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn):
Et 20 uger gammelt foster vejer altså ifølge modellen (afrundet til et helt tal).
b)
Alderen på et foster, der vejer 1200 g, bestemmes ved at løse ligningen
i .
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Et foster, der vejer 1200 g, er således gammelt if. modellen (afrundet til et helt tal).
Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-
Opgave 6
a)
Tabellens tal indtastes i Excel og de kumulerede frekvenser bestemmes ved at addere frekvensen for
et interval med de forrige intervallers frekvenser, - resultatet kopieres over i Word:
Blodsukkertal
3,0 - 3,5
3,5 - 4,0
4,0 - 4,5
4,5 - 5,0
5,0 - 5,5
5,5 - 6,0
6,0 - 6,5
Frekvens (%)
6
18
28
18
10
12
8
Kumuleret frekvens (%)
6
24
52
70
80
92
100
De kumulerede frekvenser fremgår af ovenstående tabel (med røde tal).
Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-
Sumkurven tegnes i WordMat (Graftegning - Statistik - Sumkurve):
b)
Som en del af sumkurvetegningen (i WordMat) fremkommer tillige kvartilerne:
Af dette resultat aflæses den øvre kvartil til
Tallet (øvre kvartil) betyder, at 75 % af kursisterne har et blodsukkertal, der ikke overstiger 5,25 mmol/liter.
c)
Middeltallet for grupperede observationer fordelt i intervaller, kan bestemmes som et vægtet
gennemsnit med følgende formel:
Hvor er et intervalmidtpunkt og er intervallets frekvens som decimaltal.
0%
25%
50%
75%
100%
3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0
Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-
Intervalmidtpunktet beregnes for de givne intervaller som:
.
Frekvensen omregnes til decimaltal som:
Intervalmidtpunkter, frekvens, frekvens som decimal opstilles i tabel i Excel.
Produktet af de enkelte intervalmidtpunkter og frekvensen som decimal beregnes med Excel.
Disse summeres derefter (med autosumfunktionen), hvorved middeltallet fremkommer.
Tabellen er kopieret over i Word bagefter.
Intervalmidtpunkt ()
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
5,75
6,25
Frekvens (%)
6
18
28
18
10
12
8
frekvens som decimal ()
0,06
0,18
0,28
0,18
0,1
0,12
0,08
sum ()
0,195
0,675
1,19
0,855
0,525
0,69
0,5
4,63
Middeltallet for fordelingen af blodsukkertallet er således:
Skriftlig matematik HF C 2hf131-MAT/C-
Opgave 7
a)
En fast årlig procentvis udvikling betyder, at der er tale om en eksponentiel udvikling.
Modellen herfor er:
hvor vækstraten
, og er den procentvise ændring pr. år.
(jf. formel 3 og 33)
En forskrift for udviklingen i antallet af mobilabonnementer i USA er således:
hvor
er antal mobilabonnementer (målt i mio.), som en funktion af antal år efter år 2000.
og hvor er antal år efter år 2000.
b)
Fordoblingskonstanten
bestemmes som: (jf. formel 37)
indsættes og fordoblingstiden bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):
Der skal således gå (afrundet til én decimal), før antallet af mobilabonnementer er fordoblet.
c)
Forskriften for udviklingen i abonnementer defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion):
Antallet af mobilabonnementer i 2010 (10 år efter 2000) bestemmes if. modellen som tallet .
WordMat (CAS - Beregn) benyttes:
Ifølge modellen skulle der altså i år 2010 have været omkring mobilabonnementer i USA.
Resultatet er afrundet til én decimal.
Det oplyses efterfølgende, at antallet af mobilabonnementer i 2010 var 301 mio. abonnenter, hvilket er
væsentligt færre abonnenter, end modellen forudsiger. Dette betyder, at en eksponentiel udviklingsmodel
for antallet af mobilkunder i USA ikke kan forventes at resultere i en korrekt prognose, hvis modellen
benyttes til vurdering af det forventede antal mobilabonnenter et givent år efter observationsperioden.