Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
1
HF Matematik C
31. maj 2016
Vejledende besvarelse
2hf161-MAT/C-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HF 1. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Beløbet kan fremskrives vha. kapitalfremskrivningsformlen.
Vi definerer startkapitalen:
Vi definerer den årlige rente:
Efter 12 år får vi så:
Efter 12 år står der 80.051,61 kr. på kontoen.
b)
Der er tale om en eksponentiel funktion, så fordoblingstiden kan bestemmes som:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
2
Vi konkluderer, at der skal gå ca. 17,7 år før beløbet er fordoblet. Hvis renten tilskrives årligt, vil beløbet
først være (mere end) fordoblet efter 18 år.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
3
Opgave 2
a)
Vi udfylder en tabel:
Løbetid (minutter)
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
Frekvens (%)
18
26
36
14
6
Middeltallet for løbetiderne bestemmes ved at antage, at middelværdien i hvert enkelt interval er lig med
intervallets midtpunkt. Middelværdien er så en sum af de intervalmidtpunkterne ganget med intervallernes
frekvenser:
Middeltallet for løbetiderne er 40,7 minutter.
b)
Vi aflæser den øvre kvartil af sumkurven som den løbetid, der hører til en kumuleret frekvens på 75%. Vi
ser at løbetiden er ca. 42 plus en tredjedel (i minutter). Altså ca. 42 minutter og 20 sekunder.
Det vil sige, at de 25% langsomste løbere alle tog længere tid end 42 minutter og 20 sekunder om at
gennemføre løbet.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
4
Opgave 3
a)
Vi lader angive indekstal og angive grundløn kr. Vi definerer kendte størrelser:
Vi løser så:
Ligningen løses for i_2010 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi løser også:
Ligningen løses for g_2015 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi konkluderer, at indekstallet for 2010 er , og grundlønnen for er 40.860 kr.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
5
Opgave 4
a)
Vi sætter og definerer funktionen:
En diameter på 12 cm svarer til . Vi bestemmer så:
Det vil sige, at elefanten vejer ca. 1175 kg, hvis dens ekskrement har en diameter på 12 cm.
b)
Vi bestemmer den relative afvigelse af fra :
Elefanten med ekskrementdiameteren vejer altså mere end elefanten med
ekskrementdiameteren . Safari-guiden har altså ikke ret ifølge modellen.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
6
Opgave 5
a)
Da prisen vokser med en konstant størrelse, når vokser med 1, kan vi anvende en lineær model på
formen:
Hvor:
angiver den samlede pris i kr.
angiver tæppets areal i
er hældningskoefficienten og kan tolkes som -tilvæksten, når vokser med 1. Dvs.
angiver -værdien for . Dvs.
Vi har nu en formel:
b)
Vi sætter og definerer funktionen:
En pris på 2600 kr. svarer til . Vi løser så:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Man kan få 15 m
2
tæppe leveret for 2600 kr.
c)
Vi sætter for det andet firma og definerer den nye funktion:
Når er billigere end , vil der gælde, at
. Vi løser uligheden:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
7
Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Man skal altså købe mere end 18 m
2
tæppe, for at firma er det billigste.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
8
Opgave 6
a)
Vi har kun to datapunkter, så det giver dårligt mening at laver regression, da vi kan bestemme en funktion,
som passer perfekt. Vi opstiller to ligninger med to ubekendte:
Ligningssystemet løses for b,a vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Vi konkluderer, at og .
b)
VI sætter og definerer funktionen:
Når medicinudgifterne når 13,2 mia., er
. Vi løser ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Hvilket svarer til år
Funktionen er voksende og egentlig kun defineret for heltallige værdier af .
Udgifterne til medicin overstiger således 13,2 mia. kr. i år 2022.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
9
Opgave 7
a)
Hypotenusens længde kan bestemmes vha. Pythagoras:
Hypotenusen har en længde på ca. 11,31 cm.
Vinkel i trekant kan bestemmes vha. tangens:
Ligningen løses for C vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinkel C i trekant er .
b)
Vinkel i trekant ABC og trekant CDE er begge . Vinkel i hele femkanten er lig med en sum af vinkel
i hver af de tre deltrekanter, så:
Ligningen løses for C_ACE vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vinkel i trekant er .
Længden af siden er lig med længden af siden .
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 30°, CE = 11,31371, AC = 11,31371
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016
10
A = 75°
C = 30°
E = 75°
CE = 11,31371
AE = 5,856407
AC = 11,31371
Længden af siden AE findes vha. en cosinusrelation
Længden af siden er ca. 5,86 cm.
c)
Arealet af trekant ABC og trekant CDE er tilsammen lig med arealet af et kvadrat med sidelængden .
Dertil lægges arealet af trekant ACE, som kan bestemmes som:
Det samlede areal bliver så:
Cairoflisens areal er
.
A
C
E
CE
AE
AC