Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
1
HF Matematik C
5. december 2014
Vejledende besvarelse
2hf143-MAT/C-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HF 1. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, CA = 37, CB = 25
C = 90°
B = 55,95406°
A = 34,04594°
BA = 44,65423
CA = 37
CB = 25
Længden af siden BA findes vha. Pythagoras
C
B
A
BA
CA
CB
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
2
Vinkel A findes vha. tangens
Det vil sige at siden har længden 44,65, og vinkel er .
Opgave 2
a)
Der er tale om en lineær model på formen , hvor:
er hældningskoefficienten, som angiver -tilvæksten, når vokser med 1. Det vil sige, at det
gennemsnitlige antal tilskuere pr. kamp vokser med 38 pr. år.
angiver -værdien for . Det vil sige, at det gennemsnitlige antal tilskuere pr. kamp i år 2007
var 379.
b)
Vi sætter i modellen og løser ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det gennemsnitlige antal tilskuere pr. kamp vil nå 700 tilskuere cirka halvvejs inde i år 2015, hvis
udviklingen fortsætter.
Opgave 3
a)
Kvartilsættet aflæses af bilaget (enhed: gram pr. kilometer)
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
3
b)
De opgivne data indsættes i WordMats regneark til ugrupperede observationer, hvor de optælles, og
kvartilsættet bestemmes:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
119
Median
128
Øvre
131
Den mindste observation er 110, og den største er 140. Et boksplot tegnes nu på bilaget:
Vi ser af de to boksplots, at
-udledningen er faldet fra år 2012 til år 2013. Alle kvartiler og begge
ekstreme værdier ligger lavere i år 2013 end i år 2012. Dog ser vi, at der i 2013 stadig er mere end 25% af
bilerne, som udleder mere end EU’s grænseværdi på 130 gram/km.
Opgave 4
a)
Oplysningerne anvendes til opstilling af to ligninger med to ubekendte:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
4
Ligningssystemet løses for b,a vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Konstanterne er nu bestemt og kan defineres:
b)
Funktionen defineres, idet vi vedtager, at
. Dvs.:
Vi bestemmer:
En rundballe med diameteren 0,9m har således en vægt på ca. 79,5 kg.
c)
Hvis er diameteren af den lille rundballe, vil diameteren af den store rundballe være . Den relative
forskel i vægt kan da bestemmes som:
Det vil sige, at den store rundballe vejer 87,15% mere end den lille rundballe.
Opgave 5
a)
Vi definerer kendte størrelser:
Indekstal for hhv. 2009 og 2013:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
5
Prisen i år 2009:
Prisen i år 2013,
, kan bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for p_2013 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at prisen på en tilsvarende pakke havregryn i år 2013 var på 12,01 kr.
b)
Den samlede stigning i indekstal perioden var på . Dette svarer til en samlet
procentmæssig stigning på 52,6%. Hvis den årlige, procentvise stigning, , er konstant, må udviklingen i
indekstal således opfylde ligningen for eksponentiel vækst:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at den årlige procentvise stigning i prisen på havregryn fra 2000 til 2013 var 3,3%
Opgave 6
a)
Da antallet af danskere med astma vokser med en fast årlig procentdel anvendes en eksponentiel funktion
på formen:
Hvor:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
6
angiver -værdien for - altså år 2005. Dvs.
er fremskrivningsfaktoren, som fortæller os noget om den årlige vækstrate, , da:
En formel for kan nu opskrives:
b)
I år 2022 vil
kan nu bestemmes:
Det vil sige, at antallet af danskere med astma i år 2022 vil være ca. ifølge modellen.
c)
Fordoblingstiden for en eksponentiel model kan bestemmes som:
Fordoblingstiden for antallet af danskere med astma er altså cirka. 23 år ifølge modellen. Dette fortæller os,
at antallet af danskere med astma vil fordobles hvert 23. år ifølge modellen.
Opgave 7
a)
Længden af ruten A-C bestemmes.
WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 94°, BA = 158, BC = 426
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
7
B = 94°
C = 19,83222°
A = 66,16778°
CA = 464,5754
BA = 158
BC = 426
Længden af siden CA findes vha. en cosinusrelation
Den direkte rute har altså en længde (i meter) på
Længden af ruten A-B-C kan bestemmes som:
Med enheden meter får vi:
Forskellen i rutelængde bestemmes som:
Ruten A-B-C er således 119,43 meter længere end ruten A-C
Opgave 8
a)
Funktionen defineres:
B
C
A
CA
BA
BC
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 5. december 2014
8
Vi bestemmer:
Og vi løser:
Ligningen løses for FG vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at alkoholstyrken er hvis .
skal være 1,028, hvis der kun ønskes en alkoholstyrke på 3,5%.