Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-
Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.
Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig
supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se
hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.
Opgave 1
a)
Da de to trekanter er ensvinklede (ligedannede) kan man bestemme skalafaktoren (jf. formel 9)
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Dermed kan de manglende sidelængder bestemmes som: (jf. fomel 10)
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Det er således bestemt, at:
Opgave 2
a)
Prisen for et 120
stort hus med grund kan bestemmes som grundprisen plus 120
á 13.000 kr. pr.
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Prisen for huset på 120
inkl. grund er således
Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-
b)
Sammenhængen mellem husets størrelse og den samlede pris er lineær efter modellen:
Lad betegne husets størrelse i
og lad være den samlede pris i kr. som en funktion af husets
størrelse. Konstanten er grundens pris (i kr.). Dermed kan sammenhængen mellem husets størrelse, i
og den samlede pris, beskrives med den lineære sammenhæng:
Opgave 3
a)
Den angivne sammenhæng (model)
er en eksponentiel sammenhæng (jf. formel 33),
Den generelle model herfor er:
Man kan således af tallene og udlede, at:
Internethandlen i 2002 var på 2,6 mia. kr. (svarende til -værdien i år 2002, hvor ).
Internethandlen forøgedes med
om året
i årene efter 2002.
b)
Året, hvor Internethandlen passerede 3,4 mia. kr., kan bestemmes (vha. den givne model) ved at løse
nedenstående ligning i . WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes hertil:
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Internethandlen passerede således 3,4 mia. kr. i det tredje år efter 2002, hvilket var
c)
Internethandlen i 2008 (6 år efter 2002) kan if. modellen bestemmes som:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Internethandlen i 2010 (8 år efter 2002) kan if. modellen bestemmes som:
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-
Det oplyses, at Internethandlen i 2008 faktisk var på 4,5 mia. kr., hvilket er i overensstemmelse med den
forventede værdi på 4,6 mia. kr. if. modellen.
Til gengæld var den faktiske Internethandel i 2010 på 7,8 mia. kr. væsentligt større end den forventede
handel på ca. 5,6 mia. kr. if. modellen. Dette kan skyldes, at Internethandel blev mere populær blandt
forbrugerne, end man oprindelig havde kalkuleret med, samt at antallet af danske hjem med adgang til
Internettet steg mere end forventet. Dermed fik flere forbrugere adgang til at handle på nettet.
Modellen kan således ikke benyttes til at estimere udviklingen i Internethandlen efter 2008.
Opgave 4
a)
I trekant kan kan bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant):
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 35° , H = 90° , AB = 7,0
A = 35°
B = 55°
H = 90°
BH = 4,015035
AH = 5,734064
AB = 7
Længden af linjestykket i trekant er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
A
B
H
BH
AH
AB
Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-
b)
Længden af siden kan bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant):
WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 35° , AC = 8,0 , AB = 7,0
A = 35°
B = 84,43876°
C = 60,56124°
BC = 4,610311
AC = 8
AB = 7
Længden af siden i trekant er således bestemt til:
Resultatet er afrundet til én decimal.
c)
Af forrige beregning vha. WordMat fremgår det, at ingen af vinklerne i trekant er en ret vinkel .
Det kan derfor konkluderes, at trekant ikke er en retvinklet trekant.
Pythagoras’ læresætning (jf. formel 11) kan alternativt benyttes til at undersøge, hvorvidt trekant
er en retvinklet trekant, idet sidelængderne skal opfylde sætningen, hvis trekanten er retvinklet.
Summen af kvadraterne på to af siderne skal således være lig med kvadratet på den tredje side.
Opgave 5
a)
Den angivne sammenhæng er en potenssammenhæng og værdierne for og bestemmes nemmest vha.
en potensregression over tabellens data. Tabellen oprettes og WordMat benyttes til regressionen.
WordMat (Statistik/sands. - Regression - Potens) (markér hele tabellen, - også teksten)
Tykkelse (mm)
120
265
Varmetab (W/m
2
/grad)
0,40
0,17
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 1
Af resultatet fremgår det, at: og
Begge resultater er afrundet til to decimaler.
A
B
C
BC
AC
AB
Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-
b)
Sammenhængen defineres som en funktion i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion),
hvor (alternativt kan definitionslighedstegnet := benyttes)
Varmetabet ved en isoleringstykkelse på 145 mm kan bestemmes som :
WordMat (CAS - Beregn) benyttes.
Da
kan det konkluderes, at kravet i Bygningsreglementet er overholdt.
c)
For potensfunktioner gælder det: (jf. formel 3 og 48)
, hvor
Hvilket betyder, at når tallet ganges med tallet
så ganges med tallet
samt indsættes i den ovenstående ligning, og
bestemmes.
Heraf kan derefter udledes, hvor mange procent varmetabet ændres, når isoleringstykkelse øges med 50 %.
WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes:
Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.
hvilket svarer til et fald på 35,5 %, når der afrundes til én decimal.
(at resultatet er negativt viser, at varmetabet faktisk nedsættes)
Ovenstående betyder, at varmetabet reduceres med når tykkelsen af isoleringen forøges med 50 %.
Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-
Opgave 6
Intervallerne og hyppighederne indtastes i WordMat’s indbyggede værktøj for grupperede observationer.
WordMat (Graftegning - Statistik - Grupperede observationer). Beregningsark åbner i et Excel-vindue.
Resultaterne kopieres herefter over i MS Word efter behov.
Grupperede observationer
Deskriptorer
Interval
50
Kvartilsæt
Fra
Til
Hyp.
Frekvens
Kumuleret
Mindste
0
0
20
2
4%
4%
Nedre
30,5
20
40
20
40%
44%
Median
42,4
40
60
25
50%
94%
Øvre
52,4
60
80
3
6%
100%
Største
80
Observation Fraktil
Middeltal
41,6
Spredning
13,32
a)
Af ovenstående beregning med WordMat fremgår det, at middeltallet for perioden er:
b)
De kumulerede frekvenser fremgår tillige af ovenstående beregning (herunder markeret med gult).
Interval
50
Fra
Til
Hyp.
Frekvens
Kumuleret
0
20
2
4%
4%
20
40
20
40%
44%
40
60
25
50%
94%
60
80
3
6%
100%
Skriftlig matematik HF C 2hf133-MAT/C-
c)
Sumkurven fremkommer automatisk, når WordMat benyttes som beskrevet øverst på forrige side.
Sumkurven er kopieret over i Word.
For at besvare spørgsmålet vedr. de 20 % mest solrige december måneder i perioden, tegnes på sumkurven
en vandret linje gennem 80 % på andenaksen. Skæringspunktet mellem denne linje og sumkurven
projiceres på førsteaksen og projektionen aflæses så nøjagtigt som muligt, - i dette tilfælde aflæses
projektionen til ca. 54 solskinstimer.
Af dette konkluderes det, at en december måned blandt de 20 % mest solrige i 50 års-perioden,
har haft mellem 54 og 80 solskinstimer.
0%
25%
50%
75%
100%
0 100
Solskinstimer
Sumkurve