Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
1
HF Matematik C
7. december 2015
Vejledende besvarelse
2hf153-MAT/C-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HF 1. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 1
a)
Kendte størrelser defineres, hvorefter slutkapitalen
bestemmes vha. kapitalfremskrivningsformlen:
Startkapital:
Årlig rente:
Antal terminer:
Efter 5 år står der således 33.122,42 kr. på kontoen.
b)
Kendte størrelser defineres hvorefter antal terminer bestemmes vha. kapitalfremskrivningsformlen:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
2
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der vil på intet tidspunkt stå præcist 30.000 kr., da er et naturligt tal (dvs. kan kun antage positive, hele
talværdier). Der vil derfor først være 30.000 kr. til rådighed efter 10 år (umiddelbart efter den 10.
fremskrivning).
Opgave 2
a)
Kvartilsættet bestemmes ved aflæsning af 25%-, 50%- og 75%-fraktilen. Disse aflæses som de tilhørende -
værdier til -værdierne givet ved disse procenttal.
Kvartilsæt: .
b)
Først bestemmes andelen af kvinder med en indkomst på under 400.000 kr. ved aflæsning af den -værdi,
som hører til -værdien 400.000 kr. Vi ser, at omtrent 79% har en indkomst på under 400.000 kr.
Det vil sige, at 21% har en indkomst på mere end 400.000 kr.
Opgave 3
a)
Modellen kan defineres som en funktion
.
I år 2015 er det gået 6 er efter år 2009. Vi bestemmer så:
Det årlige udlån af bøger i år 2015 vil ifølge modellen være på ca. 26,7 mio.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
3
b)
Der er tale om en lineær model på formen
er hældningskoefficienten og angiver -tilvæksten, når vokser med 1. Det vil sige, at det årlige
udlån af bøger falder med 0,9 mio. om året ifølge modellen
angiver . Der blev således udlånt 32,12 mio. bøger i år 2009 ifølge modellen.
Opgave 4
a)
Længden af den røde piste (længden af siden ) bestemmes vha. den retvinklede trekant . Alle sider
og vinkler bestemmes vha. WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 90°, A = 25°, CA = 272
C = 90°
B = 65°
A = 25°
BA = 300,1188
CA = 272
CB = 126,8357
Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
Længden af siden BA findes vha. cosinus
Længden af siden CB findes vha. tangens
Det vil sige, at længden af den røde piste er 300,1.
C
B
A
BA
CA
CB
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
4
b)
For at bestemme vinklen, den grønne piste danner med vandret, skal vi bruge længden af siden . Vi ser,
at:
Vi kan nu vinkel i den retvinklede trekant .
Alle sider og vinkler bestemmes vha. WordMats trekantsløser:
WordMats trekantsløser anvendes med input: E = 90°, AF = 700, EA = 73,1643
E = 90°
A = 84,00046°
F = 5,999537°
AF = 700
EF = 696,1659
EA = 73,1643
Den vinkel, som den grønne piste danner med vandret, er således
Opgave 5
a)
Da befolkningstallet vokser med en fast procentdel om året, er der tale om en eksponentiel udvikling. Vi
kan således opstille en model på formen:
Hvor:
E
A
F
AF
EF
EA
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
5
angiver befolkningstallet i mio.
angiver antal år efter år 2000
angiver . Dvs.
er den årlige vækstrate. Dvs.
Modellen opskrives endeligt:
b)
Kendte størrelser defineres:
Efter 10 år er populationen vokset med:
Det vil sige, at Tanzanias befolkning vokser med ca. 33% på 10 år.
Opgave 6
a)
angiver kilopris i kr., og angiver indekstal:
Der gælder, at:
Ligningen løses for p_2013 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Prisen på lammekød i 2013 var således 135,50 kr.
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
6
Der gælder, at:
Ligningen løses for i_2007 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Indekstallet for kiloprisen på lammekød i 2007 var således 111,1
Opgave 7
a)
Potensfunktionen defineres i det
Vi omskriver punkternes information til to ligninger med to ubekendte:
Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,
Det vil sige, at
og
Potensfunktionen gendefineres:
b)
Vi bestemmer:
Vi løser:
Matematik C HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015
7
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at , når , mens , når .
Opgave 8
a)
VI definerer relevante størrelser:
beregnes
Kvindens hvilstofskifte, da hun var 20 år og vejede 60 kg, var på kcal.
b)
defineres
defineres:
Vægten bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for m vha. CAS-værktøjet WordMat.
Som 30-årig vejer kvinden 64,7 kg.