Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
1
HHX Matematik A
Forår 2012
Delprøven med hjælpemidler
Vejledende sæt 1
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Ligningen løses i WordMat:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
b)
Forklaringer er givet til hver af linjerne:
1) Ligningen løses for , da kun er defineret for positive værdier.
2) sættes udenfor en parentes
3) Nulreglen er anvendt ( )
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
2
4) Venstre ligning er løst. Der manipuleres nu udelukkende med højre ligning. 1 trækkes fra på begge
sider, hvorefter der divideres med 2 på begge sider.
5) Begge sider sættes som potens af . Der anvendes, at
jf. følgende:
6) bortkastes som løsning, da vi kun søger løsninger, som opfylder . Den fuldstændige
løsningsmængde opskrives.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
3
Opgave 7
a)
Data hentes fra filen grænsehandel. Vi antager, at kroner er den anvendte valuta.
Fordelingen af penge brugt til indkøb kopieres ind i WordMats statistikark, hvor der foretages en optælling
og gruppering. Der tegnes et histogram med en intervallængde på 200 kr.:
b)
En række deskriptorer beregnes i WordMat:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
516,5
Median
867,5
Øvre
1271
Obs. Fraktil
Middeltal
986,306
Spredning
563,7
Vi aflæser 3 udvalgte deskriptorer (enheden er kroner)
Kvartilsæt:
100 3300
Observationer
Histogram
Et tern er 4%
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
4
Gennemsnit (middeltal): 986,3
Standardafvigelse (spredning): 563,7
c)
Et -plot med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og determinationskoefficient
foretages i
Excel:
Regressionsligniningen aflæses, og vi opstiller en lineær model med indkøbsbeløbet i kr. som funktion af
den kørte distance i km.
d)
Der er foretaget en analyse på baggrund af den indsamlede stikprøve. Beløbene pr. kunde fordeler sig som
på histogrammet herunder:
y = 9,4662x + 384,06
R² = 0,5273
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 200 250
Indkøbsbeløb (kr.)
Kørt distance (km)
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
5
Det viser sig, at hver kunde i gennemsnit bruger ca. 990 kroner, mens beløbenes spredning er på omtrent
550 kr. Den fjerdedel som bruger mindst, bruger under 520 kr., mens den fjerdedel, som bruger mest,
bruger over 1270 kr. Halvdelen af kunderne bruger mindre end 870 kr.
Det er undersøgt, om der er en sammenhæng mellem den tilbagelagte distance inden indkøbet og det
beløb, som bruges i butikken. Det viser sig, at omtrent 53% af variationen i indkøbsbeløb kan forklares med
følgende sammenhæng: Hver kunde bruger et grundbeløb på 385 kr., hvortil man skal lægge 9,46 kr. pr.
kørt km.
100 3300
Observationer
Histogram
Et tern er 4%
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
6
Opgave 8
a)
Data fra filen folketingsvalg optælles vha. en pivottabel i Excel, hvorefter der opstilles et skema som det
angivne:
Alment gymnasium
Handelsgymnasium
Teknisk Skole
Total
Dansk Folkeparti
18
20
31
69
Det Konservative Folkeparti
41
12
2
55
Det Radikale Venstre
59
10
4
73
Enhedslisten
30
2
2
34
SF
65
13
4
82
Socialdemokraterne
77
37
26
140
Ved ikke
37
20
33
90
Venstre
62
46
17
125
Total
389
160
119
668
b)
Vi opstiller en nulhypotese og en alternativ hypotese:
: Der er ingen sammenhæng mellem uddannelse og politisk parti
: Der er en sammenhæng mellem uddannelse og politisk parti
Der foretages en
-uafhængighedstest i WordMat på et 5%-signifikansniveau:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
7
De forventede værdier ved antagelse om uafhængighed indsættes i en tabel:
FORVENTET
Alment gymnasium
Handelsgymnasium
Teknisk Skole
Total
Dansk Folkeparti
40,18114
16,52695
12,29192
69
Det Konservative Folkeparti
32,02844
13,17365
9,797904
55
Det Radikale Venstre
42,51048
17,48503
13,00449
73
Enhedslisten
19,7994
8,143713
6,056886
34
SF
47,7515
19,64072
14,60778
82
Socialdemokraterne
81,52695
33,53293
24,94012
140
Ved ikke
52,41018
21,55689
16,03293
90
Venstre
72,79192
29,94012
22,26796
125
Total
389
160
119
668
c)
Vi ser af testresultatet, at . Nulhypotesen forkastes derfor på et 5%-signifikansniveau. Der
kan ikke antages uafhængighed mellem ungdomsuddannelse og elevernes stemmefordeling på de
forskellige politiske partier.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
8
Opgave 9
a)
Funktionerne defineres:
Skæringspunktets førstekoordinat bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Andenkoordinaten kan nu bestemmes som:
Skæringspunktet mellem graferne for og har således koordinatsættet .
b)
Arealet af det skraverede område bestemmes lettest ved at inddele området i to mindre områder.
Det første område afgrænses af grafen for og førsteaksen i intervallet , hvor er førstekoordinaten
til det skæringspunkt mellem førsteaksen og grafen for , som ses på figuren - tilsyneladende i origo. er
førstekoordinaten til skæringspunktet mellem førsteaksen og grafen for . Der må gælde, at
Vi bestemmer :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at
Vi bestemmer nulpunkter for :
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Sammenholder vi løsningerne med grafen, ser vi, at .
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
9
Da i hele intervallet , kan arealet af første område bestemmes som:
Det andet område afgrænses af graferne for og i intervallet , hvor i hele intervallet.
Arealet kan således bestemmes som:
Det samlede areal af det skraverede område kan bestemmes som en sum af de to mindre arealer:
Arealet af det skraverede område er 9.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
10
Opgave 10
a)
Kendte størrelser defineres:
Lånets størrelse:
Antal ydelser:
Månedlig rente:
Ydelsens størrelse bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den månedlige ydelse er således på 16.653,08 kr.
b)
Den månedlige ydelse defineres:
Restgælden kan bestemmes vha. formlen:
Restgælden umiddelbart efter betaling af den 65. ydelse er altså på 799.038,30 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
11
Opgave 11
a)
Prisfunktionerne for hhv. A og B defineres:
Den samlede omsætning er en sum af omsætningen for A og omsætningen for B:
Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Udvid,
Vi kan nu opskrive en funktionsforskrift:
b)
Vi opskriver den generelle ligning for niveaukurverne og isolerer :
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Dvs.
Vi ser nu, at alle niveaukurverne uanset værdien af er parabler (med ligningen:
Øges niveauet, svarer det blot til en lodret parallelforskydning opad ( bliver større).
Da alle niveaukurver er parabler, vil også være det. Parablen tegnes nu i GeoGebra sammen
med det kapacitetsområde, som betingelserne afgrænser:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
12
c)
Som nævnt øges niveauet ved en lodret parallelforskydning opad. Vi ser af grafen, at størsteværdien for
indenfor kapacitetsområdet må findes på linjen, som går fra punkt A til punkt D. Den er tegnet ud fra
ligningen ( defineres):
Med anvendelse af ovenstående definition kan vi substituere ind i funktionsforskriften for , som derved
reduceres til en funktion i én variabel:
defineres som funktion af :
Vi ser, at grafen er en parabel med benene nedad ( ). Der er således kun et stationært punkt, og dette
er globalt maksimum. Vi bestemmer førstekoordinaten i dette maksimum:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Denne værdi indsættes nu i ligningen for linjen fra til , hvorved andenkoordinaten bestemmes:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
13
Størsteværdien for indenfor kapacitetsområdet findes altså i
Virksomheden skal ugentligt afsætte 1800 stk. og stk. for at opnå maksimal omsætning.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
14
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 12A
a)
Vi har følgende oplysninger:
Da det antages, at produktionstiden er normalfordelt, er det uden betydning for vores analyse, at .
Vi har estimater af spredningen og middelværdien, så et 95%-konfidensinterval for middelværdien kan
bestemmes vha. et T estimat i GeoGebra:
Vi aflæser konfidensintervallet (nedre grænse/øvre grænse):
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
15
Der er kun 2,5% sandsynlighed for, at , så den forventede produktionstid på 3,5 er ikke
overholdt (med signifikansniveau på 2,5%).
b)
Produktionstiden er normalfordelt som:
Sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt stol har en produktionstid på under 3,5 timer kan bestemmes
som arealet under grafen for tæthedsfunktionen for ovenstående normalfordeling i intervallet .
Dette bestemmes i WordMat:
Normalfordeling
Middelværdi:
3,65
Spredning:
0,1
Grafvindue
X
min
X
maks
0
10
Areal under frekvensfuntion
X
min
X
maks
3,5
6,68%
Sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt stol har en produktionstid på under 3,5 timer, er således 6,68%
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
16
Opgave 12B
a)
Funktionen defineres:
Vi bestemmer nu:
Afsætningen på dag 40 er således 319,84.
b)
Funktionen differentieres:
Stationære punkter bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi ser af grafen, at der er tale om to ekstrema, hvoraf er det eneste lokale maksimumssted. Vi
undersøger afsætningen i dette punkt og sammenligner med afsætningen i intervalendepunkterne:
Den største afsætning findes således 20 dage efter introduktionen.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – Forår 2012
17
Opgave 12C
a)
Vi anvender, at:
Differentialligningen kan nu løses i WordMat:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen R(0)=20
Funktionen defineres:
b)
Vi løser:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Virksomheden skal bruge omtrent 3,6 mio. kr. på markedsføring for at opnå en omsætning på 120 mio. kr.