Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
1
HHX Matematik A
16. august 2012
Delprøven med hjælpemidler
hhx132-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Vi løser:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at -koordinaten til skæringspunktet mellem graferne for funktionerne og er:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
2
b)
Forklaringer er givet til hver af linjerne :
1) Ligningen er skrevet op og løses for , da kun er defineret for positive værdier af .
2) Nulreglen er anvendt ()
3) Venstre ligning: 4 lægges til på begge sider.
Højre ligning: begge sider tages som eksponent af . Her anvendes, at
, jf. definitionen på
naturlig logaritme,
. Desuden anvendes, at
4) Venstre ligning: Kvadratroden tages på begge sider af lighedstegnet. Da fås:
Højre ligning: 6 lægges til på begge sider, hvorefter begge sider divideres med 3.
5) De løsninger, som ikke opfylder , bortkastes. Løsningsmængden opskrives.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
3
Opgave 7
a)
Data fra filen mælkeindvejning kopieres ind i WordMats statistikark, hvor de optælles og grupperes.
Herefter tegnes et histogram med en intervallængde på 500 kg.
b)
En række deskriptorer bestemmes vha. WordMat:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
11838
Median
12419
Øvre
13138
Obs. Fraktil
Middeltal
12474,13
Spredning
834,3875
Vi aflæser de efterspurgte deskriptorer (enheden er kg alle steder):
Gennemsnit (middeltal): 12.474
Median: 12.419
Spredning: 834,39
16000
Mælkemængde (kg)
Histogram
Et tern er 4%
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
4
c)
Et 95%-konfidensinterval for den sande middelværdi kan bestemmes vha. estimaterne for spredning og
middelværdi bestemt i spørgsmål b). Estimaterne er foretaget ud fra en stikprøve på 183 observationer,
som antages at være tilfældigt udvalgt. Konfidensintervallet bestemmes nu vha. et T estimat i GeoGebras
sandsynlighedslommeregner:
Konfidensintervallet aflæses (nedre grænse/øvre grænse):
d)
Den efterspurgte sandsynlighed kan bestemmes som arealet under grafen for tæthedsfunktionen
(frekvensfunktionen) i intervallet . Dette areal bestemmes i WordMat:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
5
Normalfordeling
Middelværdi:
12500
Spredning:
840
Grafvindue
X
min
X
maks
Areal under frekvensfuntion
X
min
X
maks
12000
72,4%
Det vil sige, at sandsynligheden for, at mælkemængden for en tilfældigt udvalgt indvejning er over 12.000
kg, er 72,4%.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
6
Opgave 8
a)
Funktionen defineres:
Vi bestemmer nu:
Da den anden afledede er lig med 0, er der et stationært punkt på grafen for den første afledede. Vi
undersøger fortegnet for på begge sider af nulpunktet:
Funktionen skifter således fra regressiv vækst form (
) til progressiv vækst (
) omkring
nulpunktet for i . Grafen for skifter dermed fra at være konkav til at være konveks, hvorfor der
må være en vendetangent til grafen i .
b)
Forskriften for de variable enhedsomkostninger bestemmes:
Det vil sige, at:
Omkostningsfunktionen differentieres:
Det vil sige, at:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
7
c)
Skæringspunktets førstekoordinat bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den producerede mængde, der giver de mindste variable enhedsomkostninger er således .
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
8
Opgave 9
a)
Data fra filen pension optælles i Excel vha. en pivottabel og indsættes i et skema som det angivne:
Profil A
Profil B
Profil C
Profil D
Total
Fyn og Jylland
77
187
182
38
484
København
76
242
242
56
616
Sjælland
81
161
127
28
397
Total
234
590
551
122
1497
Der foretages en
-uafhængighedstest i WordMat vha. skemaets oplysninger:
Da forkastes nulhypotesen om uafhængighed på et 5% signifikansniveau. Der kan
således ikke antages uafhængighed mellem region og profil.
b)
De forventede værdier kopieres fra tabellen ovenfor og opstilles i en tabel:
FORVENTET
Profil A
Profil B
Profil C
Profil D
Total
Fyn og Jylland
75,65531
190,7548
178,1456
39,44422
484
København
96,28858
242,7789
226,7308
50,20174
616
Sjælland
62,05611
156,4663
146,1236
32,35404
397
Total
234
590
551
122
1497
Ud for Q-værdien aflæses alle bidragene til teststørrelsen (de små grå tal). De er opstillet række for række
fra venstre mod højre. Vi opstiller en tabel:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
9
Bidrag til Q
Profil A
Profil B
Profil C
Profil D
Total
Fyn og Jylland
0,0239
0,073911
0,083394
0,052879
0,234084
København
4,274924
0,002499
1,028306
0,669695
5,975424
Sjælland
5,783006
0,131369
2,502754
0,585945
6,209508
Total
10,08183
0,207778
3,614453
1,308519
15,21258
c)
Der er foretaget en analyse på baggrund af jeres udleverede stikprøveresultater, som viser, at der er en
statistisk signifikant sammenhæng mellem region og profil. Vi ser i stikprøven, at kunder fra København i
højere grad end forventet ligger i profil C og D, og i mindre grad ligger i profil A og B. Denne tendens gælder
også kunder fra resten af Sjælland.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
10
Opgave 10
a)
Et -plot med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og determinationskoefficient
foretages i
Excel:
Vi aflæser de estimerede værdier af modellens parametre af regressionsligningen:
b)
Vi definerer kendte størrelser:
Antal punkter i analysen:
Determinationskoefficient
defineres som for at undgå forvirring af WordMat
Estimat af hældningskoefficient (vi skriver
frem for , da WordMat opfatter ”hat” som vektornotation):
Standardfejlen er givet ved (igen undlades -notation):
Konfidensintervallets grænser kan da bestemmes som:
er betegnelsen for
fraktilen af en -fordeling med frihedsgrader. er
signifikansniveauet (i vores tilfælde 5%), så vi skal finde 0,975-fraktilen. Denne beregnes i GeoGebra:
y = 7,992x + 636,81
R² = 0,8854
0
200
400
600
800
1000
1200
Aktiekurs
Ugenummer
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
11
Vi definerer nu:
Grænserne for 95%-konfidensintervallet kan nu beregnes:
Øvre:
Nedre:
Et 95%-konfidensinterval er således bestemt for hældningskoefficienten : .
c)
Hældningskoefficienten kan tolkes som den ugentlige stigning i aktiekursen. Den ugentlige stigning i
aktiekursen ligger med 95% sandsynlighed mellem 7 og 9. Modellen med en ugentlig stigning på 8 forklarer
ca. 89% af variationen i aktiekurser og kan således med nogenlunde rimelighed anvendes til at estimere
fremtidige kurser, hvis det antages, at sammenhængen kan fremskrives.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
12
Opgave 11
a)
Funktionen defineres:
Det samlede areal er en sum af to mindre arealer.
Det grå område til venstre for -aksen afgrænses af grafen for og førsteaksen i intervallet , hvor
i hele intervallet. Dette areal kan således bestemmes som:
Området til venstre for -aksen afgrænses af grafen for og førsteaksen i intervallet , hvor i
hele intervallet. Dette areal kan således bestemmes som:
Det samlede areal er en sum af de to arealer:
Det samlede areal af de grå områder er således
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
13
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 12A
a)
Fondens størrelse efter 6 indbetalinger kan bestemmes vha. annuitetsformlen. Kendte størrelser defineres:
Årlig ydelse:
Årlig rente:
Fremtidsværdien,
, kan nu bestemmes vha. formlen:
Fonden vil således have en størrelse på 344.402,60 kr. umiddelbart efter 6 indbetalinger.
b)
Renten omdefineres:
Størrelsen af fonden efter de 4 yderligere år kan beregnes som en sum af to størrelser. Fondens beholdning
umiddelbart efter 6 år fremskrives efter kapitalfremskrivningsformlen.
Startkapitalen defineres
Denne kapital fremskrives 4 gange. Dvs.:
En ny annuitet kan nu fremskrives. Der sker 4 indbetalinger og ydelsen er stadig den samme. Dvs.:
Den samlede størrelse, , af fonden umiddelbart efter sidste indbetaling kan nu bestemmes som summen
af fremtidsværdien af den nye annuitet og fremskrivningen af startkapitalen, som var fremtidsværdien af
den gamle annuitet. Det vil sige:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
14
Den samlede størrelse af fonden umiddelbart efter sidste indbetaling er således 630.309,40 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
15
Opgave 12B
a)
Differentialligningen opskrives og løses vha. begyndelsesbetingelsen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen y(0)=500
Det vil sige, at:
b)
Vi løser nu:
Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det tidspunkt, hvor varens værdi er 75 kr., er således dvs. efter ca. 29 uger.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
16
Opgave 12C
a)
Funktionen defineres:
er en kvadratisk funktion på formen:
Konstanterne defineres:
(Den sidste konstant benævnes , da i WordMat er reserveret til Eulers tal).
En række nye konstanter anvendes til at afgøre formen på niveaukurverne:
Da og begge er negative, vil niveaukurverne
være ellipser med centrum i , når
blot
Uligheden løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
(Det vil sige, at )
Førstekoordinaterne til centrum beregnes:
Da , fremstilller således en ellipse med centrum i .
Niveauet defineres:
Ellipsens halvakser kan bestemmes som:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. august 2013
17
Hvis er den vandrette halvakse og er den lodrette halvakse, har vi da, at:
b)
Da og begge er negative, findes den største værdi af i ellipsernes centrum, og denne værdi har
størrelsen
Vi ser, at centrum,
ligger indenfor polygonområdet, da:
Og
Størsteværdien af indenfor polygonområdet findes således i punktet . Størsteværdien er: