Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
1
HHX Matematik A
16. december 2013
Delprøven med hjælpemidler
hhx133-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Vi definerer og i WordMat:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at
b)
Forklaringer er givet til hver af linjerne:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
2
1) Udtrykket er skrevet op.
2) Begge sider er opløftet i anden potens.
3) Der er ganget med på begge sider.
4) Der er divideret med på begge sider
5) Begge sider er opløftet i minus første potens.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
3
Opgave 7
a)
Fordelingen af udbudspriser fra filen golf kopieres ind i WordMats statistikark, hvor vi udregner en række
deskriptorer:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
141400
Median
212400
Øvre
249900
Obs. Fraktil
Middeltal
197661,783
Spredning
85029,7125
Den gennemsnitlige udbudspris i stikprøven er således på 197.661,78 kr.
Kvartilsættet er .
b)
Et -plot med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og determinationskoefficient foretages i Excel:
Regressionsmodellen kan nu aflæses og opskrives:
y = -0,8214x + 278374
R² = 0,7397
-50000
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
450000
00
Udbudspris i kr.
Antal kørte km
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
4
b)
Vi definerer kendte størrelser:
Antal punkter i analysen:
Determinationskoefficient
defineres som for at undgå forvirring af WordMat
Estimat af hældningskoefficient (vi skriver
frem for , da WordMat opfatter ”hat” som vektornotation):
Standardfejlen er givet ved (igen undlades -notation):
Konfidensintervallets grænser kan da bestemmes som:
er betegnelsen for
fraktilen af en -fordeling med frihedsgrader. er
signifikansniveauet (i vores tilfælde 5%), så vi skal finde 0,975-fraktilen. Denne beregnes i GeoGebra:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
5
Vi definerer nu:
Grænserne for 95%-konfidensintervallet kan nu beregnes:
Øvre:
Nedre:
Et 95%-konfidensinterval er således bestemt for hældningskoefficienten : .
Hvis udbudsprisen falder med 1 kr. pr. kørt km., må der gælde, at . Der er kun sandsynlighed
for, at ligger til venstre for konfidensintervallet. Da ligger til venstre for konfidensintervallet,
afvises påstanden på et 2,5%-signifikansniveau.
d)
En analyse er foretaget på baggrund af en stikprøve på 60 stk. brugte VW Golf. Den gennemsnitlige
udbudspris ligger på 197.661,78 kr.
Den billigste fjerdedel af bilerne koster højst 141.400 kr. pr. bil, mens den dyreste fjerdedel koster mindst
249.000 kr. pr. bil. Der er lige mange biler til over som til under 212.400 kr.
Det viser sig, at ca. 74% af variationen i udbudspriser kan forklares med følgende model:
En bil, der har kørt 0 km koster 278.374 kr., hvorefter prisen falder med 82 øre. pr. kørt kilometer.
På baggrund af stikprøven kan vi foretage en generel konklusion:
Prisen på en tilfældigt udvalgt brugt VW Golf falder med 95% sikkerhed med en værdi på mellem 69 øre og
95 øre pr. kørt kilometer.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
6
Opgave 8
a)
Funktionen defineres:
Nulpunkter bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Funktionen har således tre nulpunkter med følgende førstekoordinater:
b)
For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at løse
ligningen:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af alle nulpunkterne:
Vi sammenfatter dette i en monotonilinje:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
7
2
14
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
Vi kan dermed konkludere:
f er voksende i intervallerne og
f er aftagende i intervallet
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
8
Opgave 9
a)
Funktionen defineres (OBS: vinkelenheden indstilles til radianer):
Vi bestemmer nu:
Den forventede efterspørgsel til tiden er ca. 1460,4.
b)
Vi har, at og bestemmer så:
Den samlede efterspørgsel efter de første 6 måneder er ca. 8691,1.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
9
Opgave 10
a)
Registreringerne optælles vha. en pivottabel i Excel. Resultaterne af optællingen ses i skemaet herunder:
Faktureringsvaluta
Antal
DKK
66
EUR
78
Total
144
Et estimat af andelen bestemmes som antal ordrer i stikprøven faktureret i euro divideret med
stikprøvens størrelse:
Det vil sige, at .
b)
Vi har, at:
Den efterspurgte sandsynlighed kan skrives som:
Denne sandsynlighed bestemmes i WordMat:
Binomialfordeling
P(X=
)=
p=
0,54
P(X≤
)=
n=
144
P(
72
≤X≤
144
)=
0,852344
Vi kan således konkludere, at sandsynligheden for, at mindst halvdelen af 144 tilfældigt udtagne ordrer er
faktureret i euro, er
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
10
Opgave 11
a)
Funktionerne defineres:
Området til venstre for skæringspunktet afgrænses af graferne for og i intervallet . Vi ser, at
i hele intervallet. Arealet af dette område kan således bestemmes som:
Området til højre for skæringspunktet afgrænses af graferne for og i intervallet . Vi ser, at i
hele intervallet. Arealet af dette område kan således bestemmes som:
Det samlede areal er en sum af de to arealer:
Det samlede areal af de grå områder er således 9,52
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
11
Opgave 12
a)
Funktionen defineres:
Da og angiver afsætningen pr. uge, mens vi udelukkende oplyses om et antal producerede enheder,
bliver vi nødt til at antage, at alle de producerede enheder afsættes inden for en uge. Dækningsbidraget
kan i så fald bestemmes som:
Det samlede ugentlige dækningsbidrag ved en produktion på 300 stk. af vare A og 600 stk. af vare B (hvor vi
antager, at det hele afsættes inden for en uge) er således på 240.000.
b)
er en kvadratisk funktion på formen:
Konstanterne defineres:
(Den sidste konstant benævnes , da i WordMat er reserveret til Eulers tal).
En række nye konstanter anvendes til at afgøre formen på niveaukurverne:
Da og begge er negative, vil niveaukurverne
være ellipser med centrum i , når
blot
Uligheden løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi har nu vist, at niveaukurverne er ellipser med centrum i , når
Vi beregner koordinatsættet for ellipsernes centrum:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
12
Da vil fremstille en ellipse med centrum i
Ellipsen tegnes i GeoGebra:
c)
Da og begge er negative, findes den største funktionsværdi i ellipsernes centrum dvs. når:
Funktionen er dog kun defineret på et begrænset kapacitetsområde, som afgrænses af ulighederne:
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
13
Kapacitetsområdet indtegnes i GeoGebra. Kapacitetsområdets hjørnepunkter findes vha. GeoGebras
skæringsværktøj:
Vi ser, at et af hjørnepunkterne, har samme koordinatsæt som ellipsernes centrum, hvorfor
funktionens maksimum altså ligger inden for kapacitetsområdet.
Det størst mulige samlede ugentlige dækningsbidrag opnås således ved en ugentlig afsætning på 400 stk. af
vare A og 600 stk. af vare B.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
14
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 13A, 13B og 13C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 13A
a)
Kendte størrelser defineres:
Rente:
Antal terminer:
Slutkapital:
Vi kan nu bestemme startkapitalen
vha. kapitalfremskrivningsformlen:
Ligningen løses for K_0 vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det indsatte beløb (startkapitalen) var således 375.000 kr.
b)
Vi kan opfatte situationen som, at banken har ’lånt’ 442.081,30 kr., som tilbagebetales med en fast årlig
ydelse over 5 år og en årlig rente på 4,2%. Kendte størrelser defineres:
”Lånets” størrelse:
Rente:
Antal ydelser:
Vi kan nu bestemme ydelsens størrelse vha. annuitetsformlen:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den årlige ydelse bliver da på 99.862,04 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
15
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
16
Opgave 13B
a)
Differentialligningen opskrives ( indsættes) og løses vha. WordMat:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion
Den fuldstændige løsning til differentialligningen er således givet ved (funktionen defineres):
b)
bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat.
Forskriften for bliver da:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
17
Opgave 13C
a)
Data fra filen film optælles i en pivottabel i Excel og indsættes i et skema som det angivne:
15-25 år
26-40 år
over 40 år
Total
a) Vil bestemt anbefale
16
16
39
71
b) Vil måske anbefale
20
23
38
81
c) Vil ikke anbefale
7
16
38
61
d) Vil fraråde
11
16
32
59
e) Ved ikke
14
18
21
53
Total
68
89
168
325
Vi opstiller en nulhypotese:
: Der er ingen sammenhæng mellem alder og holdning til filmen.
b)
Nulhypotesen testes på et 5%-signifikansniveau vha. tabellens data i WordMats
-uafhængighedstest:
χ²-test
Observationer
I alt
16
16
39
71
20
23
38
81
7
16
38
61
11
16
32
59
14
18
21
53
I alt
68
89
168
325
P-værdi:
33,77%
Signifikans
niveau:
5%
Da , kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5% signifikansniveau. Vi kan således ikke
afvise, at der er uafhængighed mellem alder og holdning til filmen.
Bidragene er bestemt vha. WordMat og opstillet i en tabel:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 16. december 2013
18
15-25 år
26-40 år
over 40
år
Total
a) Vil bestemt anbefale
0,088193
0,609717
0,143943
0,841853
b) Vil måske anbefale
0,549726
0,0302
0,357836
0,937761
c) Vil ikke anbefale
2,602277
0,029721
1,326609
3,958607
d) Vil fraråde
0,14646
0,001524
0,073926
0,22191
e) Ved ikke
0,764037
0,837357
1,493621
3,095015
Total
4,150692
1,508519
3,395934
9,055146
Jo større bidragene er, desto større er afvigelserne fra de forventede værdier. Aldersgrupperne 15-25 og
26-40 år afviger således mest fra de forventede værdier (ved antagelse af, at
er sand).