Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
1
HHX Matematik A
27. maj 2013
Delprøven med hjælpemidler
hhx131-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Ligningen løses vha. WordMat:
Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.
b)
Forklaringer er givet til hver af linjerne:
1) sættes lig niveauet 2500.
2) Funktionsforskriften indsættes i stedet for .
3) Begge sider ganges med -1. 4 sættes udenfor en parentes på venstre side.
4) Anden kvadratsætning anvendes på omskrevet form:
5) 12500 lægges til på begge sider
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
2
6) Begge sider divideres med 10000. På venstre side splittes brøken i to brøker, som reduceres.
Nævneren omskrives i begge brøker til den anden potens af sin kvadratrod (dvs. værdien er
uændret, men halvakserne kan nu aflæses let).
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
3
Opgave 7
a)
Fordelingen af årlige lønsummer optælles og grupperes i WordMat, hvorefter der tegnes et histogram med
en intervallængde på 5 mio.:
b)
Vi bestemmer en række deskriptorer i WordMat:
Vi udvælger og aflæser 3 deskriptorer (alle enheder er mio. dollars)
Middeltal: 64,4
Median: 64
Spredning: 9,04
85 90
Årlig lønsum i mio. dollars
Et tern er 4%
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
58
Median
64
Øvre
70
Obs. Fraktil
Middeltal
64,4
Spredning
9,0355
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
4
c)
Vi foretager et -plot i Excel med tilhørende tendenslinje, regressionsligning og determinationskoefficient
:
Regressionsligningen har
. Sammenhængen afrundes opskrives:
d)
Der er foretaget en analyse af de årlige lønsummer på baggrund af de registrerede oplysninger fra sæsonen
i NBA. De årlige lønsummer pr. hold fordeler sig som vist på nedenstående histogram med
intervallængden 5 mio. dollars:
Analysen har vist, at den gennemsnitlige årlige lønsum er på 64,4 mio. dollars. Lønsummerne har en
spredning på ca. 9 mio. dollars. Den laveste halvdel af lønsummerne ligger på højst 64 mio. dollars, mens
y = 0,6084x - 6,1785
R² = 0,2947
0
10
20
30
40
50
60
80 90
Årlig lønsum (mio. dollars)
Antal sejre
85 90
Årlig lønsum i mio. dollars
Et tern er 4%
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
5
den højeste halvdel ligger på mindst 64 mio. dollars. Omtrent 29,5% af variationen i antallet af sejre kan
forklares ud fra, at en årlig lønsum på 10 mio. dollars giver 0 sejre. Herefter opnås 0,61 ekstra sejre for hver
ekstra million, lønsummen vokser med). Det vil sige, at der opnås en ekstra sejr for hver gang, lønsummen
øges med
mio. dollars. Der er dog stadig mange andre faktorer, som kan forklare de sidste
70,5%, så man kan ikke bruge modellen til hverken at forudsige antal sejre ud fra den årlige lønsum eller
den årlige lønsum ud fra antallet af sejre.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
6
Opgave 8
a)
Funktionen defineres:
Vi bestemmer nu:
Prisen ved en afsætning på 25 tons er således 41.639,07 kr.
b)
Omsætningsfunktionen defineres:
Vi bestemmer stationære punkter ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi ser på grafen for , at der er tale om et globalt maksimum.
Omsætningen bestemmes:
Det vil sige, at den størst mulig omsætning er på 1.256.449 kr.
c)
Omkostningsfunktionen defineres:
Overskuddet kan bestemmes som:
Det vil sige, at:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
7
Vi bestemmer stationære punkter:
Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.
Vi ser tydeligt af graferne i opgaveteksten, at denne løsning er globalt maksimum.
Prisen ved denne afsætning kan nu bestemmes som:
Den pris pr. ton, som giver det største overskud er således 35.569,12 kr. pr. ton.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
8
Opgave 9
a)
Data fra filen ISS optælles vha. en pivottabel i Excel og indsættes i en tabel som den angivne:
Fyn
Jylland
Sjælland og
øerne
Total
Institutionsrengøring
6
85
54
145
Kontorrengøring
74
369
522
965
Skolerengøring
20
79
82
181
Total
100
533
658
1291
b)
Vi opstiller en nulhypotese og en alternativ hypotese:
: Der er ingen sammenhæng mellem servicetype og landsdel
: Der er en sammenhæng mellem servicetype og landsdel.
De forventede værdier ved antagelse om uafhængighed bestemmes i WordMats
-uafhængighedstest
ved anvendelse af tabellens data:
De forventede værdier kopieres ind i en tabel:
FORVENTET
Fyn
Jylland
Sjælland og
øerne
Total
Institutionsrengøring
11,2316
59,86445
73,90395
145
Kontorrengøring
74,74826
398,4082
491,8435
965
Skolerengøring
14,02014
74,72734
92,25252
181
Total
100
533
658
1291
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
9
c)
Vi aflæser af testresultatet i b), at: , samt at . Da forkastes
nulhypotesen på et 5%-signifikansniveau. Der kan således ikke antages uafhængighed mellem de
servicetyper, der leveres i de forskellige landsdele.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
10
Opgave 10
a)
Vi anvender, at:
Ligningen kan nu opskrives og løses i WordMat:
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen A(0)=0
Det vil sige, at er givet ved forskriften:
b)
Afsætningen bestemmes:
Den forventede afsætning efter 30 dage er således på 155.374 stk.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
11
Opgave 11
a)
Funktionen defineres:
Evt. vendetangenter søges ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi undersøger fortegnet for på begge sider af nulpunktet:
Da funktionen skifter fra progressiv vækst
til regressiv vækst
omkring , skifter
grafen for fra at være konveks til at være konkav. Grafen har således en vendetangent i .
En ligning for tangenten til grafen for i
, kan bestemmes som:
Tangenten har således ligningen:
b)
Det grå område kan opdeles i to mindre områder.
Det første område afgrænses af grafen for og førsteaksen i intervallet , hvor angiver
førstekoordinaten til skæringspunktet mellem og førsteaksen. Vi bestemmer ved at løse tangentens
ligning for :
Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi ser, at i hele intervallet . Arealet af dette delområde kan således bestemmes som:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
12
Tangenten kan beskrives ved funktionen
Det resterende område afgrænses af grafen for og i intervallet ( er røringspunktets
førstekoordinat). Vi ser, at i hele intervallet. Arealet af dette delområde kan nu bestemmes som:
Det samlede areal kan beregnes som:
Arealet af det grå område er 90.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
13
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 12A, 12B og 12C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 12A
a)
Kendte størrelser defineres:
Lånets størrelse:
Årlig rente:
Antal ydelser:
Den årlige ydelse, , kan nu bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at den årlige ydelse er på 19.686,56 kr.
b)
Ydelsen defineres:
Størrelsen af den sidste ydelse skal svare til restgælden efter 9 ydelser plus rente. Restgælden kan beregnes
som:
Restgælden forrentes 1 gang, hvorfor den sidste ydelse bliver:
Den sidste ydelse er således på 6486,05 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
14
Opgave 12B
a)
Vi bestemmer et 95%-konfidensinterval for vha. et Z estimat på proportion i GeoGebra med anvendelse
af:
Konfidensintervallet afrundes og opskrives (nedre grænse/øvre grænse):
Et estimat for
er
Vi ser, at andelen på landsplan er mindre end estimatet for købmandens andel. Hvis andelen på landsplan
skal være signifikant mindre end købmandens andel, skal den ligge til venstre for konfidensintervallet,
hvilket efterlader en sandsynlighed på under 2,5% for, at
.
ligger dog indenfor konfidensintervallet, og vi kan derfor ikke afvise på et -
signifikansniveau, at
.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
15
b)
Den efterspurgte sandsynlighed skrives som:
Ovenstående sandsynlighed beregnes i WordMat, idet og
Binomialfordeling
P(X=
)=
p=
0,28
P(X≤
)=
n=
1500
P(
450
≤X≤
1500
)=
0,045625
Det vil sige, at sandsynligheden for, at der mindst er 450 liter økologisk mælk i en tilfældig stikprøve er 4,6%
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
16
Opgave 12C
a)
Funktionen defineres:
Niveaukurverne kan alle skrives på formen:
isoleres af niveaukurverne:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Alle niveaukurverne kan således skrives på formen:
Alle niveaukurverne er således parabler, og voksende værdier af vil blot svare til en parallelforskydning
lodret opad af niveaukurven.
er således en parabel.
Herunder tegnes sammen med kapacitetsområdet vha. GeoGebra:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2013
17
b)
Der må være en fejl i opgaven. Vi gives ingen informationer om omsætningen i opgaven. Den korrekte
opgaveformulering må være:
”Bestem det antal A og det antal B, virksomheden skal producere og sælge for at opnå størst muligt
dækningsbidrag.”
Det største niveau opnås ved at lade parablen parallelforskydes til toppunktet tangerer linjen med
ligningen
Vi indsætter nu i kriteriefunktionen, hvorved vi får:
Vi har nu en funktion i én variabel (da nu er konstant):
Vi ser på ligningen, at der er tale om et andengradspolynomium (
, hvis graf er en
parabel med benene nedad . Førstekoordinatet til det globale maksimum (toppunktet) kan da
bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Virksomheden skal således producere og sælge 750 stk. A og 6000 stk. B for at opnå det størst mulige
dækningsbidrag.