Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
1
HHX Matematik A
15. december 2014
Delprøven med hjælpemidler
Hhx143-MAT/A-
Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en
besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i
løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.
Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste
værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp
HHX 3. år
NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen
formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge
formelsamlingen!
Opgave 6
a)
Forklaringer er givet til hver af linjerne :
1) For at bestemme ekstrema sættes lig med nul.
2) Funktionen differentieres, og indsættes.
3) 2x lægges til på begge sider.
4) Begge sider ganges med og divideres med 2.
5) Ligningen løses ved at tage kvadratroden af 9 og stille hhv. positivt og negativt fortegn foran.
6) Den negative løsning forkastes, da
. Der må således være en vandret tangent i
. Grafen tegnes, og det konkluderes, at der er tale om et ekstremum. bestemmes og
ekstremumspunktets koordinatsæt opskrives.
b)
Funktionen defineres:
Vi søger vandrette tangenter ved at løse:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
2
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Da vi på forhånd ved, at der er netop ét ekstremum, og vi nu ser, at der er netop én vandret tangent, kan vi
konkludere, at -værdien i dette ekstremum er:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
3
Opgave 7
a)
Vi lader angive det årlige udbytte af honning fra et tilfældigt bistade i kg. vil da være tilnærmelsesvis
normalfordelt som . Sandsynligheden kan bestemmes som arealet under
frekvensfunktionen i intervallet . Dette areal bestemmes i WordMat:
Normalfordeling
Middelværdi:
44
Spredning:
11
Grafvindue
X
min
X
maks
Areal under frekvensfuntion
X
min
X
maks
35
50
50,07%
Sandsynligheden vil således være tilnærmelsesvist 50% for, at et tilfældigt udvalgt bistade giver et udbytte
mellem 35 og 50 kg.
b)
Fordelingen af udbytterne kopieres ind i WordMats statistikark, og en række deskriptorer bestemmes:
Deskriptorer
Kvartilsæt
Nedre
39,5
Median
45
Øvre
49
Obs. Fraktil
Middeltal
45
Spredning
8,0
Det gennemsnitlige udbytte (middeltal) er 45 kg, og udbytterne har spredningen 8,0. Stikprøvens størrelse
er . Både spredningen og middelværdien er estimater, så et 95%-konfidensinterval for
middelværdien kan bestemmes vha. et ”T estimat af middel” i GeoGebras sandsynlighedslommeregner.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
4
Vi kan nu aflæse (og afrunde) et 95%-konfidensinterval for middelværdien (nedre/øvre grænse):
c)
Data optælles vha. en pivottabel i Excel og indsættes i et skema som det angivne:
Højst 44 kg
Over 44 kg
Total
By
14
8
22
Udkant
15
23
38
Total
29
31
60
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
5
d)
Vi opstiller en nulhypotese:
: Der er ingen sammenhæng mellem placering af bistadet og udbyttet i kg.
Nulhypotesen testes nu på et 5%-signifikansniveau ved anvendelse af tabellens data i en
-test i
WordMat:
χ²-test
Observationer
I alt
14
8
22
15
23
38
I alt
29
31
60
P-værdi:
7,11%
Signifikans
niveau:
5%
Da kan nulhypotesen ikke forkastes. På et 5%-signifikansniveau kan vi således ikke afvise,
at udbytte og placering af bistadet er uafhængige af hinanden.
e)
Der er foretaget en analyse af udbytterne med udgangspunkt i jeres erfaringer om udbyttefordelingen. Den
viser, at ca. halvdelen af udbytterne ligger mellem 35 og 50 kg, mens de sidste to fjerdedele ligger hhv.
under og over dette interval.
Der er så udtaget en stikprøve med udgangspunkt i 60 af jeres bistader, som har fundet, at der er 95%
sandsynlighed for, at middelværdien for jeres udbytter generelt ligger mellem 42,9 kg og 47,1 kg.
Middelværdien i stikprøven var på 45 kg.
Slutteligt er der foretaget en undersøgelse med udgangspunkt i spørgsmålet ”Er der en sammenhæng
mellem placeringen af bistadet og udbyttet i kg?”. Det viser sig, at forskellene mellem udbytter i by og
udkant ikke er tydelige nok til, at vi på et 5%-signifikansniveau kan afvise, at der er uafhængighed mellem
placeringen af bistadet og udbyttet.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
6
Opgave 8
a)
Funktionerne for hhv. eksportprisen pr. enhed A og indenlandsk pris pr. enhed B (begge i tusinde kroner)
defineres:
Dan samlede omsætning er givet ved summen af omsætningen for A og B. Det vil sige:
Udtrykket udvides vha. CAS-værktøjet WordMat.
Det vil sige, at (funktionen defineres):
b)
Niveaukurvens ligning opskrives og isoleres
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Ligningen kan altså skrives som:
Denne ligning er på samme form som den generelle form for en parabel:
Niveaukurven er således en parabel.
Begrænsningerne opskrives:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
7
Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Begrænsningerne afgrænser sammen et kapacitetsområde som nu indtegnes i et koordinatsystem i
GeoGebra sammen med :
c)
Den generelle form for niveaukurverne med niveau vil være:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
8
Af ovenstående udtryk ses det, at niveaukurven (parablen) blot parallelforskydes opad, når niveauet
vokser. Det punkt , som giver den største værdi af må således ligge på den linje , som går fra A til D.
Dennes ligning fandt vi ud fra begrænsningen . Det vil sige, at ligningen er
Dette udtryk for kan nu substitueres ind i forskriften for kriteriefunktionen, hvorved vi får en ny funktion i
én variabel:
Forskriften er på formen for et andengradspolynomium
, med . Grafen
har således ét toppunkt, som er globalt maksimum. Førstekoordinaten heri kan bestemmes som:
-værdien i maksimumsstedet findes ved at indsætte i ligningen for linjen :
Det vil sige, at den største omsætning opnås, når
. Denne bestemmes nu:
Virksomheden skal afsætte 10 enheder af produkt A og 8 enheder af produkt B for at opnå den størst
mulige omsætning. Denne omsætning har størrelsen 380.000 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
9
Opgave 9
a)
Kendte størrelser defineres:
Månedlig ydelse:
Månedlig rente:
Gældens størrelse:
Antallet af månedlige ydelser, , bestemmes nu ved at løse:
Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.
Familien skal således betale 154 månedlige ydelser på boliglånet.
b)
Kendte størrelser defineres:
Månedlig rente:
Gældens størrelse:
Antal ydelser:
Størrelsen af de månedlige ydelser, , bestemmes nu ved at løse:
Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.
Den månedlige ydelse på det nye lån er på 5918,29 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
10
c)
Huller i skemaet beregnes:
Løbetid for nyt lån:
Det nye lån betales tilbage over 154 månedlige ydelser. Løbetiden i år bliver da:
Det vil sige 12,83333 år. Dette svarer til 12 år og et antal måneder,
Løbetiden for det nye lån er altså 12 år og 10 måneder.
Realkreditlånets rente:
Kendte størrelser defineres:
Lånets størrelse:
Månedlig ydelse:
Antal terminer:
Renten, , bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.
Renten er selvfølgelig positiv, så:
Vi søger nu at beregne, hvilket lån der er billigst samlet set:
Samlet betaling ved nyt lån:
Samlet betaling ved realkreditlån:
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
11
Besparelse ved at vælge nyt lån frem for realkreditlån:
Præsentation til familien:
I har to muligheder til tilbagebetalingen af jeres gæld, som er på
Den første mulighed er en sammenlægning af jeres kassekredit og boliglån. I vil samlet set skulle betale
911.416,70 kr. ved en månedlig ydelse på 5918,29 kr. i en periode på 5 år og 12 måneder.
Den anden mulighed er at tage hele lånet som et realkreditlån. I vil samlet set skulle betale 1.005.238 kr.
ved en månedlig ydelse på 4188,49 kr. i en periode på 20 år.
Der er en samlet besparelse på 93.821,30 kr. ved at vælge mulighed den første mulighed.
Ovenstående informationer er samlet i nedenstående skema:
Lånets størrelse
Månedlig
rente
Ydelse
Løbetid
Samlet betaling
Nyt lån
652.000 kr.
0,46%
5918,29 kr.
12 år og 10
måneder
911.416,70 kr.
Realkreditlån
652.000 kr.
0,39%
4188,49 kr.
20 år
1.005.238 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
12
Opgave 10
a)
Data opstilles I en tabel, hvorefter der udføres potensregression i WordMat (vi antager at tabellens data er
angivet i de efterspurgte enheder)
Afsætning
Salgspris
120
240,95
150
215,00
210
190,12
270
180,67
300
190,05
375
160,62
450
155,45
600
140,00
900
130,38
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R
2
= 0,9685562
Funktionen defineres:
b)
Formlen for dækningsbidraget anvendes:
Vi kan nu opskrive en forskrift:
Nu bestemmes:
Dækningsbidraget ved en afsætning på 450 kg er således på 25.479,03 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
13
c)
Vi søger stationære punkter ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Af grafen i opgaveteksten ser vi, at funktionen har et lokalt maksimum i det afbildede område, og da vi kun
har fundet ét stationært punkt i hele definitionsmængden, må der være tale om et globalt maksimum.
Den afsætning, som giver det størst mulige dækningsbidrag er således en afsætning på ca. 600 kg.
Salgsprisen ved denne afsætning bestemmes som:
Den tilsvarende salgspris er således 143,47 kr.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
14
Til eksamen skal du kun udvælge én af de tre følgende opgaver, 11A, 11B og 11C. Her bringes alle løsninger,
så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.
Opgave 11A
a)
Differentialligningen opskrives og løses i WordMat vha. begyndelsesbetingelsen
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen T(0)=75
Vi kan nu opskrive og definere den fundne forskrift:
b)
Vi definerer og bestemmer så integralet:
Der tager altså samlet set ca. 620 minutter at producere de første 10 varer.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
15
Opgave 11B
a)
Hvis man opfatter det som en succes, hvis en tilfældigt adspurgt aldrig tænker over, om vedkommende
bliver overvåget, når de bruger deres computer i hjemmet, vil antallet af succeser i en stikprøve med
størrelsen og succesraten være binomialfordelt dvs. .
Undersøgelsen giver et skøn over Nemlig
Antal successer i stikprøven kan da bestemmes som . Der er højst sandsynligt
foretaget en afrunding af , så det rigtige antal succeser er . Vi kan nu bestemme et 95%-
konfidensinterval for den sande værdi af . Dette gøres vha. GeoGebras sandsynlighedslommeregner:
Konfidensintervallet for andelen af personer, som aldrig tænker over, om de bliver overvåget, når de
bruger deres computer i hjemmet, aflæses (øvre/nedre grænse) og opskrives:
b)
Vi antager nu, at . Vi får at vide, at .
Det vil sige
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
16
Vi søger nu vha. WordMat:
Binomialfordeling
P(X=
)=
p=
0,45
P(X≤
20
)=
0,2862
n=
50
P(
≤X≤
)=
Sandsynligheden for, at højst 20 ud af 50 tilfældigt udvalgte personer i alderen 18-74 år aldrig tænker over,
om de bliver overvåget, når de bruger deres computer i hjemmet, er således 28,62%.
Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. december 2014
17
Opgave 11C
a)
Funktionen defineres:
Vi bestemmer nu:
Det forventede daglige salg 6 måneder efter introduktionen af varen er således på 7920 stk.
Stationære punkter søges ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Vi ser nu let af grafen, at maksimum må findes i
Det forventede daglige salg er således størst muligt 9,87 måneder efter introduktionen af varen.
b)
Vendetangenter bestemmes ved at løse:
Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
Der er kun én vendetangent, og det må således være den, der refereres til i opgaven. Det vil sige, at
væksten i det forventede daglige salg er størst 4,93 måneder efter introduktionen.